浙江省杭州市浙里特色聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題 含解析

2024學(xué)年第一學(xué)期浙里特色聯(lián)盟期中聯(lián)考高一數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本試題卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號.3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選、多選、錯(cuò)選均不得分．）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的定義求解得答案.【詳解】集合，，則.故選：B2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用量詞命題否定的規(guī)則：改量詞，否結(jié)論即可得解.【詳解】因?yàn)榱吭~命題否定的規(guī)則為：改量詞，否結(jié)論，所以命題“”的否定為.故選：D.3.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用具體函數(shù)的定義域求法即可得解.【詳解】對于，有，解得且，所以的定義域?yàn)?故選：D.4.下列函數(shù)在定義域上為減函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)解析式逐項(xiàng)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】對于A，函數(shù)在定義域R上單調(diào)遞增，A不是；對于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，在定義域上不單調(diào)，B不是；對于C，函數(shù)在定義域R上單調(diào)遞減，C是；對于D，函數(shù)的定義域?yàn)?，在定義域上不單調(diào)，D不是.故選：C5.下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)定義域和對應(yīng)關(guān)系均相同則函數(shù)相同，對選項(xiàng)逐一判斷即可得解.【詳解】A選項(xiàng)，與，對應(yīng)關(guān)系不同，不表示同一函數(shù)，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，的定義域是，的定義域也是，則兩函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，表示同一函數(shù)，故B正確；C選項(xiàng)，的定義域是，的定義域?yàn)?，所以兩函?shù)的定義域不同，不表示同一函數(shù)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由且，解得，則定義域?yàn)?，由，解得或，則定義域?yàn)榛颍詢珊瘮?shù)定義域不同，不表示同一函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B.6.不等式的解集為（）A. B.C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】利用二次不等式的解法即可得解.【詳解】因?yàn)椋裕獾茫缘慕饧癁?故選：A.7.已知是定義在上的偶函數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用充分必要條件的判定方法，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，顯然成立，即充分性成立；當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)是上的偶函數(shù)，取，則滿足，但不成立，即必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.8.的定義域是，則下列命題中不正確的是（）A.若是偶函數(shù)，則也是偶函數(shù)B.若是奇函數(shù)，則也是奇函數(shù)C.若是單調(diào)遞減函數(shù)，則也是單調(diào)遞減函數(shù)D.若是單調(diào)遞增函數(shù)，則也是單調(diào)遞增函數(shù)【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的定義與判定方法，逐一分析各選項(xiàng)即可得解.【詳解】對于A，因?yàn)榕己瘮?shù)，定義域?yàn)椋瑒tf?x=fx，的定義域也為故，則為偶函數(shù)，故A正確；對于B，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，定義域?yàn)椋瑒tf?x=?fx，的定義域也為故，則為奇函數(shù)，故B正確；對于C，取，則為單調(diào)遞減函數(shù)，滿足條件，但此時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，結(jié)論不成立，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)槭菃握{(diào)遞增函數(shù)，任取，且，則，所以，則也是單調(diào)遞增函數(shù)，故D正確.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于，熟練掌握函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的定義與判定方法，從而得解.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中有多個(gè)是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，不選、錯(cuò)選得0分．）9.若集合，，且，則的值為（）A. B.0 C.1 D.3【答案】ABD【解析】【分析】利用集合的包含關(guān)系得到關(guān)于的方程，解之即可得解.【詳解】因?yàn)?，，且，所以或，解得或或，?dāng)時(shí)，，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，，不滿足集合的互異性，舍去；綜上，或，故ABD正確，C錯(cuò)誤.故選：ABD.10.下列命題正確的是（）A.若，則的最小值為2B.若，則的最小值為1C.若，，且，則的最小值為D.若，，且，則的最大值為【答案】BC【解析】【分析】舉反例排除A，利用配湊法，結(jié)合基本不等式可判斷B，利用基本不等式“1”的妙用可判斷C，利用基本不等式“一正二定三相等”可判斷D，從而得解.【詳解】對于A，因?yàn)?，取，則，顯然的最小值不可能為2，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為1，故B正確；對于C，因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為，故C正確；對于D，因?yàn)椋?，所以?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，顯然等號無法取得，D錯(cuò)誤.故選：BC.11.設(shè)，定義：，，下列式子正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】理解函數(shù)新定義可直接判斷A，舉反例排除B，分類討論的大小關(guān)系，利用絕對值的相關(guān)知識可判斷C，分類討論的大小關(guān)系可判斷D，從而得解.【詳解】因?yàn)椋?，則表示中較大的數(shù)，表示中較小的數(shù)，對于A，，所以，故A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，，所以，而，此時(shí)不成立，故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則；當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則；綜上，，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；綜上，，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解新定義題型的步驟：（1）理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.（2）重視“舉例”，利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”；歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.（3）類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.非選擇題部分三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）12.已知集合，，則的值為________.【答案】##【解析】【分析】利用元素與集合的關(guān)系得到關(guān)于的方程，解之即可得解.【詳解】因?yàn)?，，所以是的一個(gè)解，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.故答案為：13.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)（2，），則___________【答案】【解析】【分析】由冪函數(shù)所過的點(diǎn)求的解析式，進(jìn)而求即可.【詳解】由題設(shè)，若，則，可得，∴，故.故答案為：14.對于函數(shù)，若對于任意的，，，為某一三角形的三邊長，則稱為“可構(gòu)成三角形的函數(shù)”，已知函數(shù)是“可構(gòu)成三角形的函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍________.【答案】【解析】【分析】利用可構(gòu)成三角形的函數(shù)的定義，得到，進(jìn)而分類討論與兩種情況，分析的最值情況，從而得到關(guān)于的不等式，解之即可得解.【詳解】由題意知對任意的，恒成立，則，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，顯然滿足；當(dāng)時(shí)，，，則，所以，，所以，即，此時(shí)沒有最小值，所以，解得，故；綜上，.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個(gè)要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或，（2）【解析】【分析】（1）解二次不等式化簡集合，再根據(jù)題意化簡集合，從而利用集合的補(bǔ)集與交集運(yùn)算即可得解；（2）由題意可得，分類討論與兩種情況，從而得到關(guān)于的不等式（組），解之即可得解.【小問1詳解】解，得，故，當(dāng)時(shí)，，所以或，.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，由?）可知，又，當(dāng)時(shí)，，解得，滿足題意；當(dāng)時(shí)，且，解得；綜上，或，即實(shí)數(shù)a取值范圍為.16.已知定義域是的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）若，求的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（3）若，不等式在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）代入后求得，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可得解；（2）根據(jù)題意，考慮在上的單調(diào)性，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得解；（3）利用函數(shù)的奇偶性求得當(dāng)時(shí)，的解析式，再利用參變分離法與二次函數(shù)的最值性質(zhì)即可得解.【小問1詳解】當(dāng)，時(shí)，，則，又y=fx定義域是的奇函數(shù)，所以.【小問2詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以此時(shí)只需考慮在上的單調(diào)性即可，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，其圖象開口向下，對稱軸為，所以，解得，即的取值范圍為.【小問3詳解】因?yàn)椴坏仁皆趨^(qū)間上恒成立，所以此時(shí)只需考慮在0,+∞上的解析式即可，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，又y=fx定義域是的奇函數(shù)，所以，因?yàn)椴坏仁皆趨^(qū)間上恒成立，所以，即在上恒成立，令，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，則，所以，即.17.某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本（萬元）與年產(chǎn)量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為噸.（1）求年產(chǎn)量多少噸時(shí)，總成本最低，并求最低成本（2）若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為萬元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤最大利潤是多少【答案】（1）當(dāng)年產(chǎn)量為噸時(shí)，其生產(chǎn)的總成本最低，最低成本為萬元（2）當(dāng)年產(chǎn)量為噸時(shí)，可獲得最大利潤萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得總成本的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得總成本的最小值并求得此時(shí)對應(yīng)的年產(chǎn)量.（2）利用求得總利潤的表達(dá)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大利潤以及此時(shí)對應(yīng)的年產(chǎn)量.【小問1詳解】因?yàn)?，所以?dāng)年產(chǎn)量為噸時(shí)，其生產(chǎn)的總成本最低，最低成本為萬元.【小問2詳解】設(shè)該工廠年獲得總利潤為萬元，則.因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，有最大值為.故當(dāng)年產(chǎn)量為噸時(shí)，可獲得最大利潤萬元.18.已知，，函數(shù)．（1）若，求的最小值；（2）若，求不等式的解集（用表示）．【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）由得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.（2）由得到，即代入不等式中分類討論解不等式即可.【小問1詳解】由，得，即，而，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.【小問2詳解】由，得，即，不等式，當(dāng)時(shí)，解得或；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，解得或，所以當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為R；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.19.已知實(shí)數(shù)集，定義（1）若，求；（2）若，求集合；（3）若中的元素個(gè)數(shù)為9，求的元素個(gè)數(shù)的最小值．【答案】（1）；（2）或；（3）13.【解析】【分析】（1）根據(jù)集合的新定義直接求解即可.（2）根據(jù)給定定義可得，再按中4個(gè)非零元素，符號為一負(fù)三正或者一正三負(fù)分類討論列式計(jì)算.（3）按中沒有負(fù)數(shù)和中至少有一個(gè)負(fù)數(shù)兩種情況分類討論求解.【小問1詳解】依題意，.【小問2詳解】依題意，，且中有4個(gè)非零元素，符號為一負(fù)三正或者一正三負(fù)，記，不妨設(shè)或者，①當(dāng)時(shí)，且，相乘得，解得，因此，；②當(dāng)時(shí)，同理得到，，所以或.【小問3詳解】先證明中元素個(gè)數(shù)不小于13，若將中的所有元素均變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)時(shí)，集合不變，