2024-2025學(xué)年福建省福州市格致中學(xué)高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年福建省福州市格致中學(xué)高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.i(1?3i)1+i=(

)A.2+i B.2?i C.?2+i D.?2?i2.已知集合A={x|x2?3x≥0}，B={0,1,2,3}，則(A.{3} B.{1,2,3} C.{1,2} D.{0,1,2,3}3.已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x100的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差均為4，則數(shù)據(jù)?x1?1，?x2A.?5，4 B.?5，16 C.4，16 D.4，44.已知函數(shù)f(x)=cosxex+2x，則曲線y=f(x)在x=0A.2x?2y+1=0 B.x+y?1=0 C.x?y+1=0 D.2x?y+1=05.已知拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M(1,m)(m>0)到其焦點(diǎn)F的距離為5，該拋物線的頂點(diǎn)在直線MF上的射影為點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

)A.(6425,4825) B.(6.已知函數(shù)f(x)=sinωx+acosωx(ω>0)圖象的對(duì)稱軸方程為x=kπ+π4(k∈Z)，則f(A.1 B.?1 C.22 7.已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，若橢圓CA.(0,sin2α] B.(0,sinα] C.[sin2α,1) D.[sinα,1)8.已知A，B，C，D是半徑為2的圓O上的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AB=CD=2，則CA?CB+DAA.6 B.12 C.24 D.32二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知二項(xiàng)式(xm+1x)n(x>0且x≠1，n∈N?A.n=6 B.m=2

C.Cn?1m+10.已知定義在R上的函數(shù)f(x)=log2(x2+ax+b)，g(x)=(x?a)(x+b)，其中a，b分別是將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲兩次得到的點(diǎn)數(shù).設(shè)“函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,+∞)”為事件A，“函數(shù)g(x)A.P(AB)=118 B.P(A+B)=736 C.11.一般地，我們把三組對(duì)棱分別相等的四面體叫做等面四面體.下列結(jié)論正確的是(

)A.若一個(gè)四面體的四個(gè)面的周長(zhǎng)都相等，則該四面體是等面四面體

B.等面四面體的一組對(duì)棱中點(diǎn)的連線與這組對(duì)棱都垂直

C.三組對(duì)棱長(zhǎng)度分別為a，b，c的等面四面體外接球的表面積為4π(a2+b三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1+a13.某金屬晶體的原子排列的正八面體最密堆積(表示金屬晶體原子的六個(gè)等徑球按如圖1所示的方式排列：相鄰的兩個(gè)等徑球相切且六個(gè)球體中心的連線成正八面體形狀，如圖2)依然存在空隙(最密堆積中六個(gè)球所圍成的中間空著的地方).若等徑球的半徑為rA，空隙中能容納的最大外來(lái)原子(圖3中位于中間的小球)的半徑為rB，則rBr14.max{x1,x2,x3四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且b=4acosC．

(1)求tan(C?A)的最大值，并判斷此時(shí)△ABC的形狀；

(2)若b=4，tanB=2，求△ABC的面積．16.(本小題15分)

如圖，已知在多面體ABCDEF中，AD//BC，AB⊥BC，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，

(1)求證：平面BCF//平面ADE；

(2)若BC=AE=2，AB=AD=CF=1，求二面角E?BD?F的余弦值．17.(本小題15分)

某學(xué)校在2023—2024年度體育節(jié)活動(dòng)中設(shè)置了一項(xiàng)趣味輪滑比賽，比賽設(shè)置了2個(gè)動(dòng)作項(xiàng)目組，其中項(xiàng)目組一中有3個(gè)規(guī)定動(dòng)作，項(xiàng)目組二中有2個(gè)自選動(dòng)作，比賽規(guī)則：每位運(yùn)動(dòng)員從2個(gè)項(xiàng)目組的5個(gè)動(dòng)作中選擇3個(gè)參賽，最后得分越多者，排名越靠前.評(píng)分規(guī)則：對(duì)于項(xiàng)目組一中的每個(gè)動(dòng)作，若沒(méi)有完成得0分，若完成得10分.對(duì)于項(xiàng)目組二中的動(dòng)作，若沒(méi)有完成得0分，若只完成1個(gè)得20分，若完成2個(gè)得50分.已知運(yùn)動(dòng)員甲完成項(xiàng)目組一中每個(gè)動(dòng)作的概率均為12，完成項(xiàng)目組二中每個(gè)動(dòng)作的概率均為13，且每個(gè)動(dòng)作是否能完成相互獨(dú)立．

(1)若運(yùn)動(dòng)員甲選擇項(xiàng)目組一中的3個(gè)動(dòng)作參賽，設(shè)甲的最后得分為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(2)18.(本小題17分)

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P，Q是雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)若點(diǎn)P，Q在雙曲線E的右支上且直線PQ的斜率為2，點(diǎn)T在雙曲線E的左支上且OT=λOQ(λ∈R)，∠QPT=π4，求雙曲線E的漸近線方程；19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=(a+1a)lnx+1x?x(a>0)．

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．

(2)給定x1，x2∈D且x1<x2，對(duì)于兩個(gè)大于1的正實(shí)數(shù)α，β，若存在實(shí)數(shù)m滿足：α=mx1+(1?m)x2，β=(1?m)x參考答案1.B

2.C

3.B

4.C

5.A

6.A

7.D

8.C

9.AB

10.BC

11.ABD

12.12

13.214.2

15.解：(1)由b=4acosC及正弦定理，得sinB=4sinAcosC，

所以sin(A+C)=4sinAcosC，所以sinAcosC+cosAsinC=4sinAcosC，

所以cosAsinC=3sinAcosC，

易得cosAcosC≠0，則tanC=3tanA，

所以tan(C?A)=tanC?tanA1+tanCtanA=2tanA1+3tan2A，

易得tanA>0，所以tan(C?A)=21tanA+3tanA≤33，

當(dāng)且僅當(dāng)tanA=33時(shí)，tan(C?A)取得最大值33，

此時(shí)tanC=3tanA=3，所以A=π6，C=π3，由三角形內(nèi)角和定理得B=π2，

所以當(dāng)tan(C?A)取得最大值時(shí)△ABC為直角三角形；

(2)由題可知，tan(A+C)=?tanB=?2，得tanA+tanC1?tanAtanC=?2，

由(1)可得tanC=3tanA>0，所以3tan2A?2tanA?1=0，

所以tanA=1，16.(1)證明：因?yàn)锳D//BC，BC?平面ADE，AD?平面ADE，

所以BC/?/平面ADE，

因?yàn)锳E⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，所以AE/?/CF，

因?yàn)镃F?平面ADE，AE?平面ADE，

所以CF/?/平面ADE，

又BC∩CF=C，BC，CF?平面BCF，

所以平面BCF/?/平面ADE．

(2)解：因?yàn)锳D//BC，AB⊥BC，

所以AB⊥AD，

又AE⊥平面ABCD，且AB、AD?平面ABCD，

所以AE⊥AB，AE⊥AD，

所以AB，AD，AE兩兩垂直，

故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則B(1,0,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)，F(xiàn)(1,2,1)，

所以BD=(?1,1,0)，BE=(?1,0,2)，BF=(0,2,1)，

設(shè)平面BDE的法向量為m=(x1,y1,z1)，則m?BD=0m?BE=0，即?x1+y1=0?x1+2z1=0，

令x1=1，則y1=1，z1=1217.解：(1)由題意得X的所有可能取值為0，10，20，30，

所以P(X=0)=C30×(1?12)3=18，X0102030P1331所以E(X)=0×18+10×38+20×38+30×18=308+608+308=15；

(2)由題意，運(yùn)動(dòng)員甲的參賽方案有3個(gè)：

方案1：從項(xiàng)目組一中選擇3個(gè)動(dòng)作參賽，

方案2：從項(xiàng)目組一中選擇2個(gè)動(dòng)作、從項(xiàng)目組二中選擇1個(gè)動(dòng)作參賽，

方案3：從項(xiàng)目組一中選擇1個(gè)動(dòng)作、從項(xiàng)目組二中選擇2個(gè)動(dòng)作參賽，

對(duì)于方案1：由(1)知甲的最終得分的數(shù)學(xué)期望為15，

對(duì)于方案2：設(shè)甲的最終得分為Y，則Y的所有可能取值為0，10，20，30，40，

則P(Y=0)=(1?12)2×(1?13)=16，

P(Y=10)=C21×12×(1?12)×(1?13)=13，

P(Y=20)=(12)2×(1?13)+(1?12)2×13=118.解：(1)取PQ的中點(diǎn)M，連接OM，

由OT=λOQ以及雙曲線的對(duì)稱性可知O為線段QT的中點(diǎn)，

此時(shí)OM//PT，

不妨設(shè)直線PQ的傾斜角為α，直線OM的傾斜角為β，

可得tanα=2，kOM=tanβ，

易知β=α?π4，

所以kOM=tan(α?π4)=tanα?tanπ41+tanαtanπ4=2?11+2×1=13，

不妨設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

因?yàn)镻，Q兩點(diǎn)均在雙曲線上，

所以x12a2?y12b2=1x22a2?y22b2=1，

兩式相減得x12?x22a2?y12?y22b2=0，

整理得y1+y22x1+x22?y1?y2x1?x2=b2a2，

即b2a2=kOM?19.解：(1)函數(shù)f(x)=(a+1a)lnx+1x?x(a>0)的定義域?yàn)?0,+∞)，

f′(x)=a+1ax?1x2?1=?x2?(a+1a)x+1x2=?(x?a)(x?1a)x2，

令f′(x)=0，解得x=a或x=1a．

當(dāng)0<a<1時(shí)，0<a<1<1a，

∴當(dāng)0<x<a或x>1a時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)a<x<1a時(shí)，f′(x)>0，

故函數(shù)f(x)在(a,1a)上單調(diào)遞增，在(0,a)和(1a,+∞)上單調(diào)遞減．

當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)=?(x?1)2x2≤0恒成立，

∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減．

當(dāng)a>1時(shí)，0<1a<1<a，

∴當(dāng)0<x<1a或x>a時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)1a<x<a時(shí)，f