2024-2025學(xué)年甘肅省慶陽(yáng)市高三（上）第一次模擬數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年甘肅省慶陽(yáng)市高三（上）第一次模擬數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若集合A={5,6,9,10,14}，B={6,9,12,15,16}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為(

)A.1 B.2 C.3 D.42.已知復(fù)數(shù)z=?5?2i，則z2的實(shí)部為(

)A.20 B.21 C.?21 D.?203.若雙曲線x29?y211=1的右支上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為A.3 B.12 C.15 D.3或154.已知某圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為2，高為23，則該圓臺(tái)的體積為(

)A.63π B.14335.函數(shù)f(x)=lg10?2xA.(?∞,1] B.(0,1] C.(0,12]6.在平行四邊形ABCD中，AB=2AE，BF=2BC，則A.2AB+12AD B.127.若銳角θ滿足sinθcosθ+cos2θ=35A.17 B.?43 C.28.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(f(x+y))=f(x)+f(y)，f(1)=1，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A.f(0)=0B.f(x)是奇函數(shù)C.f(2024)=2024D.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知橢圓M：x2+y2A.M的焦點(diǎn)在x軸上 B.M的焦距為10

C.M的離心率為52626 D.M10.設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(2nx?π3)(n∈A.f(x)的圖象過(guò)定點(diǎn)(0,?3) B.f(x)的最小正周期為π2n+1

C.{an}11.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為π3，故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為2π?3×π3=π.如圖，在正方體ABCD?A1B1A.在四面體ABCD1中，點(diǎn)A的曲率為11π12

B.在四面體ABCD1中，點(diǎn)D1的曲率大于7π6

C.四面體ABCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知一組數(shù)據(jù)1，2，3，3，5，1，6，8，則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為_(kāi)_____；若從這組數(shù)據(jù)中任意抽取2個(gè)數(shù)據(jù)，則這2個(gè)數(shù)據(jù)不相等的概率為_(kāi)_____．13.為了讓自己漸漸養(yǎng)成愛(ài)運(yùn)動(dòng)的習(xí)慣，小明10月1日運(yùn)動(dòng)了5分鐘，從第二天開(kāi)始，每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)比前一天多2分鐘，則從10月1日到10月的最后一天，小明運(yùn)動(dòng)的總時(shí)長(zhǎng)為_(kāi)_____分鐘．14.若過(guò)圓C：x2+(y?2)2=r2(r>0)外一點(diǎn)P(2,?2)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，AB=5，AC=43，A=π6．

(1)求BC的長(zhǎng)；

(2)設(shè)D為AC邊上一點(diǎn)，且BD=316.(本小題15分)

如圖，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)位于平面ABCD的兩側(cè)．

(1)證明：平面BDF⊥平面AECF．

(2)若CF=2，AE=3，AD=4，求平面ABF與平面AECF夾角(銳角)的余弦值．17.(本小題15分)

貴妃杏是河南省靈寶市黃河沿岸地區(qū)的一種水果，其果實(shí)個(gè)大似鵝蛋，外表呈橙黃色，陽(yáng)面有暈.貴妃杏口感甜美，肉質(zhì)實(shí)心鮮嫩多汁，營(yíng)養(yǎng)豐富，是河南省的知名特產(chǎn)之一.已知該地區(qū)某種植園成熟的貴妃杏(按個(gè)計(jì)算)的質(zhì)量M(單位：克)服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，且P(96≤M≤106)=0.7，P(94≤M≤96)=0.1.從該種植園成熟的貴妃杏中選取了10個(gè)，它們的質(zhì)量(單位：克)為101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，這10個(gè)貴妃杏的平均質(zhì)量恰等于μ克．

(1)求μ．

(2)求P(100<M≤104)．

(3)甲和乙都從該種植園成熟的貴妃杏中隨機(jī)選取1個(gè)，若選取的貴妃杏的質(zhì)量大于100克且不大于104克，則贈(zèng)送1個(gè)貴妃杏；若選取的貴妃杏的質(zhì)量大于104克，則贈(zèng)送2個(gè)貴妃杏.記甲和乙獲贈(zèng)貴妃杏的總個(gè)數(shù)為X，求18.(本小題17分)

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在拋物線C：y2=2px(p>0)上，Q(?2,3)，點(diǎn)P到C的準(zhǔn)線的距離為d，且d+|PQ|的最小值為5．

(1)求C的方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且直線QA的斜率與直線QB的斜率之積為?1219.(本小題17分)

定義：對(duì)于函數(shù)f(x)，g(x)，若?a，b，c∈(0,+∞)，f(a)+f(b)>g(c)，則稱“f(x)?g(x)“為三角形函數(shù)．

(1)已知函數(shù)f(x)=x?lnx，若g(x)為二次函數(shù)，且g(2?x)=g(x)，寫出一個(gè)g(x)，使得“f(x)?g(x)”為三角形函數(shù)；

(2)已知函數(shù)f(x)=2x+t2x+2，x∈(0,+∞)，若“f(x)?f(x)”為三角形函數(shù)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；

(3)若函數(shù)f(x)=x?lnx，g(x)=ln(x+1)?xlnx+x參考答案1.B

2.B

3.C

4.B

5.D

6.C

7.C

8.D

9.BC

10.ACD

11.ABD

12.3

131413.1085

14.2或4

15.解：(1)∵在△ABC中，AB=5，AC=43，A=π6，

∴由余弦定理得BC=AB2+AC2?2AB?ACcosA=52+(43)216.解：(1)證明：連接AC，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以AC⊥BD，

因?yàn)锳E⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以AE⊥BD，

因?yàn)锳E∩AC=C，所以BD⊥平面AECF，

因?yàn)锽D?平面BDF，所以平面BDF⊥平面AECF；

(2)因?yàn)锳E⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，

所以AB，AD，AE兩兩互相垂直，

則以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

因?yàn)镃F=2，AE=3，AD=4，

所以A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,4,0)，D(0,4,0)，E(0,0,3)，F(xiàn)(4,4,?2)，

所以AB=(4,0,0)，AF=(4,4,?2)，AC=(4,4,0)，

設(shè)平面ABF的法向量為m=(x,y,z)，

則m?AB=4x=0m?AF=4x+4y?2z=0，解得x=0，令z=2，則y=1，所以m=(0,1,2)，

設(shè)平面AECF的法向量為n=(a,b,c)，

則m?AF=4a+4b?2c=0m?AC=4a+4b=0，令a=1，得b=?1，c=0，所以n=(1,?1,0)，

設(shè)平面ABF與平面AECF夾角(銳角)17.解：(1)由題可得，μ=101+102+100+103+99+98+100+99+97+10110=100；

(2)因?yàn)棣?100，所以P(94≤M≤96)=P(104≤M≤106)=0.1，

故P(100<M≤104)=0.7?0.12=0.3；

(3)設(shè)1人獲贈(zèng)貴妃杏的個(gè)數(shù)為Y，

由題可得，P(Y=2)=0.2，P(Y=1)=0.3，P(Y=0)=0.5，

則X的所有可能取值為0，1，2，3，4，

P(X=4)=0.2×0.2=0.04，

P(X=3)=0.3×0.2×2=0.12，

P(X=2)=0.32+0.5×0.2×2=0.29，

P(X=1)=0.5×0.3×2=0.3X01234P0.250.30.290.120.04所以E(X)=0×0.25+1×0.3+2×0.29+3×0.12+4×0.04=1.4．

18.解：(1)設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為F(p2,0)，由拋物線的定義可得|PF|=d(d為P到準(zhǔn)線的距離)，

則d+|PQ|=|PF|+|PQ|≥|FQ|，

當(dāng)Q，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線且點(diǎn)P在線段QF上時(shí)，|PF|+|PQ|取得最小值5，

則|FQ|=(p2+2)2+32=5，整理得(p2+2)2=16，解得p=4或p=?12(舍去)，

故C的方程為y2=8x．

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線l：x=my+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立y2=8xx=my+1，消元得y219.解：(1)由f(x)=x?ln?x，x∈(0,+∞)，

得f′(x)=1?1x=x?1x，

令f′(x)=0，解得x=1．

當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)<0，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增．

所以f(x)min=f(1)=1．

因?yàn)間(x)為二次函數(shù)，且g(2?x)=g(x)，

所以g(x)的對(duì)稱軸為x=1，

設(shè)g(x)=ax2?2ax+c(a≠0)，

要使“f(x)?g(x)”為三角形函數(shù)，

只要2f(x)min>g(x)max，

取a=?1，c=0，

則g(x)=?x2+2x=?(x?1)2+1，g(x)max=g(1)=1，

滿足2f(1)=2>1=g(1)，

則?a，b，c∈(0,+∞)，f(a)+f(b)≥2f(1)>g(1)≥g(c)，

即f(a)+f(b)>g(c)成立．

故若f(x)=x?ln?x，

取g(x)=?x2+2x，可使得“f(x)?g(x)”為三角形函數(shù)(答案不唯一)；

(2)f(x)=2x+t2x+2=1+t?22x+2，x∈(0,+∞)，

①當(dāng)t=2時(shí)，f(x)=1，

則任意?a，b，c∈(0,+∞)，f(a)+f(b)=2>1=f(c)，

故“f(x)?f(x)”為三角形函數(shù)；

②當(dāng)t>2時(shí)，由x>0，2x+2>3,0<12x+2<13，

則0<t?221+2<t?23，1<f(x)<1+t?23=t+13，

要使“f(x)?f(x)”為三角形函數(shù)，

由2×1≥t+13，解得t≤5，

則有?a，b，c∈(0,+∞)，f(a)+f(b)>2≥t+13>f(c)，

所以2<t≤5；

③當(dāng)t<2時(shí)，則t?23<t?22x+2<0,t+13<f(x)<1，

要使“f(x)?f(x)”為三角形函數(shù)，

由2×t+13≥1，解得t≥12，

則有?a，b，c∈(0,+∞)，f(a)+f(b)>2(t+1