江西省新余市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

新余市2023—2024學(xué)年度上學(xué)期期末質(zhì)量檢測高一數(shù)學(xué)試題卷說明：1．本卷共有四個大題，22個小題，全卷滿分150分，考試時問120分鐘．2．本卷分為試題卷和答題卷，答案要求寫在答題卷上，在試題卷上作答不給分．一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合的交運(yùn)算即可求解.【詳解】集合，.故選：D.2.已知，那么是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得.【詳解】因?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，所以，又在R上單調(diào)遞減,所以,所以，成立，時，不能得出成立.故選：A.3.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】得出函數(shù)的單調(diào)性后借助零點(diǎn)的存在性定理即可得.【詳解】由，故在上單調(diào)遞增，又，，故函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.

故選：C.4.若冪函數(shù)圖象過點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先由條件求得的值，即得函數(shù)；分別判斷該函數(shù)的奇偶性和在區(qū)間上的單調(diào)性；最后將抽象不等式轉(zhuǎn)化成，再通過兩邊平方化成一元二次不等式求解即得.【詳解】把代入可得：，易得：，則，顯然函數(shù)的定義域?yàn)镽，由知為偶函數(shù).且，由，因故，即，故函數(shù)在上為增函數(shù).由，將兩邊平方整理可得：，解得：或.故選：C.5.已知函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，進(jìn)而可得，結(jié)合基本不等式和指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)而得到答案．【詳解】當(dāng)時，，故函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，由點(diǎn)在直線上，則,故，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?故的最小值是.故選：B6.一個電路如圖所示，A，B，C，D，E，F(xiàn)為6個開關(guān)，其閉合的概率為，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】設(shè)與中至少有一個不閉合的事件為與至少有一個不閉合的事件為，則，所以燈亮的概率為，故選B.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立事件、對立事件的概率公式，屬于難題.解答這類綜合性的概率問題一定要把事件的獨(dú)立性、互斥性與對立性結(jié)合起來，要會對一個復(fù)雜的隨機(jī)事件進(jìn)行分析，也就是說能把一個復(fù)雜的事件分成若干個互斥事件的和，再把其中的每個事件拆成若干個相互獨(dú)立的事件的積，這種把復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為簡單事件，綜合事件轉(zhuǎn)化為單一事件的思想方法在概率計(jì)算中特別重要.7.今年月日，日本不顧國際社會的強(qiáng)烈反對，將福島第一核電站核污染廢水排入大海，對海洋生態(tài)造成不可估量的破壞.據(jù)有關(guān)研究，福島核污水中的放射性元素有種半衰期在年以上；有種半衰期在萬年以上.已知某種放射性元素在有機(jī)體體液內(nèi)濃度與時間（年）近似滿足關(guān)系式為大于的常數(shù)且.若時，；若時，.則據(jù)此估計(jì)，這種有機(jī)體體液內(nèi)該放射性元素濃度為時，大約需要（

）（參考數(shù)據(jù):）A.年 B.年 C.年 D.年【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件得，解方程組求出的值，當(dāng)時，在等式兩邊取對數(shù)即可求解.【詳解】由題意得:，解得，所以，當(dāng)時，得，即，兩邊取對數(shù)得，所以，即這種有機(jī)體體液內(nèi)該放射性元素濃度為時，大約需要年.故選：B.8.對于函數(shù)，若存在，使得，則稱點(diǎn)與點(diǎn)是函數(shù)的一對“隱對稱點(diǎn)”，若函數(shù)的圖象存在“隱對稱點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程在給定的區(qū)間上有解，求參數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則時，.則原問題轉(zhuǎn)化為方程：在上有解，求的取值范圍問題.由在有解得：.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)“隱對稱點(diǎn)”的概念，把函數(shù)位于軸左側(cè)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱后，必與函數(shù)位于軸右側(cè)的圖象有公共點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上有零點(diǎn)的問題解決是該問題的關(guān)鍵.屬于中檔題.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，不選或有選錯的得0分）9.已知一組樣本數(shù)據(jù)，，…，均為正數(shù)且互不相等．若由生成一組新的數(shù)據(jù)，，…，，則這組新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)可能相等的是（）A.中位數(shù) B.極差 C.平均數(shù) D.標(biāo)準(zhǔn)差【答案】AC【解析】【分析】由樣本特征數(shù)的概念進(jìn)行判斷.【詳解】不妨令．對于A選項(xiàng)，當(dāng)時，，，…，的中位數(shù)為，，，…，的中位數(shù)為，可知當(dāng)時，中位數(shù)相等，故A正確；對于B選項(xiàng)，，，…，的極差為，，，…，的極差為，因?yàn)椋?，故B錯誤；對于C選項(xiàng)，設(shè)，，…，的平均數(shù)為，即，所以，，…，的平均數(shù)為，由可知，當(dāng)時，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故C正確；對于D選項(xiàng)，設(shè)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為，，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為，則，，因?yàn)椋?，則，故兩組樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差不可能相等，故D錯誤．故選：AC10.下列說法正確的是（）A.數(shù)據(jù)的分位數(shù)是23.5B.已知關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集是C.函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)镈.若，則的值為1【答案】ABD【解析】【分析】由百分位數(shù)概念可判斷A；根據(jù)不等式的解集可知，以及的關(guān)系，進(jìn)而可判斷結(jié)果B；對于C，可求得的定義域，利用抽象函數(shù)的定義域的求法可判斷結(jié)果；對于D，利用指對互化可得，再利用換底公式代入即可求得結(jié)果.【詳解】對于A，由，可知樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)是第7項(xiàng)和第8項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為，故A正確；對于B，不等式的解集為，可知，由題意可得與是關(guān)于的方程的兩根，所以,解得.所以不等式可化為，解得:，故B正確；對于C，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，則，所以，解得:，所以的定義域?yàn)?，故C錯誤；對于D，因?yàn)?，所以，所以，故D正確.故選：ABD11.伯努利試驗(yàn)是在同樣的條件下重復(fù)地、相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種隨機(jī)試驗(yàn)，其特點(diǎn)是每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果．若連續(xù)拋鄭一枚質(zhì)地均勻的硬幣次，記錄這次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，設(shè)事件表示“次實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，既出現(xiàn)正面又出現(xiàn)反面”，事件表示“次實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，最多只出現(xiàn)一次反面”，則下列結(jié)論正確的是（）．A.若，則與不互斥 B.若，則與不相互獨(dú)立C.若，則與相互獨(dú)立 D.若，則與互斥【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)已知條件，分析和時所有的基本事件的結(jié)果，利用事件互斥和兩事件相互獨(dú)立的定義分別判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)：時，若兩次實(shí)驗(yàn)中結(jié)果為一次正面，一次反面，則事件與同時發(fā)生，由互斥事件定義，與不互斥，A正確；B選項(xiàng)：時，兩次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）種，，，，，所以與不相互獨(dú)立，B正確；C選項(xiàng)：時，三次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果有（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）種情況，，，，，所以與相互獨(dú)立，C正確；D選項(xiàng)：時，若三次實(shí)驗(yàn)結(jié)果為（正，正，反），則事件與同時發(fā)生，由互斥事件定義，與不互斥，D錯誤.故選：ABC12.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，，當(dāng)時，，則下列說法正確的是（）A. B.當(dāng)時，的取值范圍為C.為奇函數(shù) D.方程僅有6個不同實(shí)數(shù)解【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)和可得的圖象關(guān)于對稱，且周期為8，并得到在一個周期所有解析式，作出圖象逐一判斷即可.【詳解】由可得：的圖象關(guān)于對稱，所以，又因?yàn)?，所以，故，所以的周期?，令，則，所以，令，則，所以令，則，所以所以得到在一個周期內(nèi)所有解析式，作出在圖象并根據(jù)周期補(bǔ)充在的圖象如下所示：對于A，，故A不正確；對于B，當(dāng)時，由圖可知，故B正確；對于C，的圖象可以由的圖像向左平移三個單位，從而得到圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故為奇函數(shù)，即C正確；對于D，在同一坐標(biāo)系作出的圖象如下圖：當(dāng)時，，當(dāng)時，，由圖可知有5個交點(diǎn)，所以D不正確.故選：BC三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知函數(shù)，則等于___________.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)代入計(jì)算函數(shù)值即可.【詳解】由題意可知.故答案為：614.若函數(shù)，函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則的單調(diào)減區(qū)間是______．【答案】【解析】【分析】由指對數(shù)的關(guān)系易知在定義域上的單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷，即可知目標(biāo)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.【詳解】因?yàn)榕c函數(shù)互為反函數(shù)，所以，在定義域上為減函數(shù)，令，解得：，可知的定義域?yàn)?，則上遞增，在上遞減，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：在上遞減，在上遞增.故答案為：.15.已知，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】化為，分別求出，，根據(jù)已知條件確定，確定原式滿足基本不等式成立的條件，利用基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以有，所以，即；因?yàn)?，即；又因?yàn)樗裕?，?dāng)且僅當(dāng)時，解得，又因?yàn)?，所以，時等號成立，所以的最小值為；故答案為：16.設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的函數(shù)恰好有六個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________．【答案】【解析】【分析】畫出圖象，換元后得到方程在內(nèi)有兩個不同的實(shí)數(shù)根，利用二次函數(shù)根的分布列出不等式組，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖，令，則當(dāng)，方程有個不同的實(shí)數(shù)解，則方程化為，使關(guān)于的方程恰好有六個不同的實(shí)數(shù)解，則方程在內(nèi)有兩個不同的實(shí)數(shù)根，令所以,解得:，所以實(shí)數(shù)取值范圍為故答案【點(diǎn)睛】復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題，要先畫出函數(shù)圖象，然后適當(dāng)運(yùn)用換元法，將零點(diǎn)個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或其他函數(shù)根的分布情況，從而求出參數(shù)的取值范圍或判斷出零點(diǎn)個數(shù).四、解答題（本大題共6小題，17題10分，18~22題各12分，共70分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟）17.已知集合，集合．（1）當(dāng)時，求；（2）若是的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入值，再根據(jù)并集和補(bǔ)集的運(yùn)算即可；（2）由題意得，分和討論即可.【小問1詳解】當(dāng)時，集合，所以或，.【小問2詳解】由已知，，因?yàn)槭堑谋匾獥l件，于是得，①當(dāng)時，，解得；②當(dāng)時，由得，解得：,綜上所述，.18.某中學(xué)為研究本校高三學(xué)生在市聯(lián)考中的語文成績，隨機(jī)抽取了100位同學(xué)的語文成績作為樣本，得到以分組的樣本頻率分布直方圖如圖.（1）請估計(jì)本次聯(lián)考該校語文成績的中位數(shù)和平均數(shù)；（2）樣本內(nèi)語文分?jǐn)?shù)在的兩組學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，求選出的兩名學(xué)生中恰有一人成績在中的概率.【答案】（1）中位數(shù)為，平均數(shù)為；（2）【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖各小矩形面積和為1求出，再求出中位數(shù)和平均數(shù)即得.（2）求出在內(nèi)抽的人數(shù)，再利用列舉法結(jié)合古典概型概率公式求解即得.【小問1詳解】由頻率分布直方圖知，解得語文成績在的頻率依次為，顯然語文成績的中位數(shù)落在，則，解得，所以語文成績的中位數(shù)為；語文成績的平均數(shù)為.【小問2詳解】語文成績在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)比為，因此5名學(xué)生中分?jǐn)?shù)在的學(xué)生應(yīng)抽4名，記為，在的學(xué)生應(yīng)抽1名，記為，則所有抽取情況有，共10種，恰有一人成績在有，共4種，所以這5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，恰有一人成績在中的概率為.19.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．（1）求的值，判斷的單調(diào)性并說明理由；（2）若存在，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；是上的單調(diào)遞增函數(shù)，理由見解析；（2）,【解析】【分析】（1）由函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)求的值，得到的解析式，用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，不等式轉(zhuǎn)化為在,上有解，利用參數(shù)分離法結(jié)合基本不等式可求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【小問1詳解】函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，即，，則是上的單調(diào)遞增函數(shù)，理由如下：任取、x2∈R，且，則，則，所以，即，所以是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)．【小問2詳解】因?yàn)?，故是奇函?shù)且在上單調(diào)遞增，則不等式等價(jià)于，所以，即，即存在,不等式有解，即在,上有解，由,，可得，由對勾函數(shù)性質(zhì)易知：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，故在的最大值為，所以，即所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是,．20.國內(nèi)某大型機(jī)械加工企業(yè)在過去的一個月內(nèi)（共計(jì)30天，包括第30天），其主營產(chǎn)品在第x天的指導(dǎo)價(jià)為每件（元），且滿足，第天的日交易量（萬件）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：第x天12510Q(x)（萬件）14.011210.810.38（1）給出以下兩種函數(shù)模型：①，②，其中為常數(shù).請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從①②中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來擬合該產(chǎn)品日交易量（萬件）的函數(shù)關(guān)系；并且從四組數(shù)據(jù)中選擇你認(rèn)為最簡潔合理的兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的推理和運(yùn)算，求出的函數(shù)關(guān)系式；（2）若該企業(yè)在未來一個月（共計(jì)天，包括第天）的生產(chǎn)經(jīng)營水平維持上個月的水平基本不變，由（1）預(yù)測并求出該企業(yè)在未來一個月內(nèi)第天的日交易額的函數(shù)關(guān)系式，并確定取得最小值時對應(yīng)的.【答案】20.選擇模型②，21.，4【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)的變化得到選擇模型②，并選擇中間兩組數(shù)據(jù)，待定系數(shù)法求出，檢驗(yàn)后得到答案；（2）求出的解析式，分和兩種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求出最小值，比較后得到結(jié)論.【小問1詳解】由給出數(shù)據(jù)可知：隨著自變量增大，函數(shù)值在變小，同時函數(shù)模型①是遞增的指數(shù)型函數(shù)，又模型②為遞減的反比型函數(shù)，故選擇模型②，觀察表格中的4組數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)簡潔并且易于計(jì)算的角度，理應(yīng)選擇中間兩組數(shù)據(jù)，即，解得，可以檢驗(yàn)相對合理，從而；【小問2詳解】由（1）可得，當(dāng)時，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時取到最小值，當(dāng)時，，由單調(diào)性的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，故在時，有最小值，最小值為萬元，又，綜上所述，當(dāng)時取得最小值.21.已知函數(shù)