江西省新余市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高三第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題說明：1．本卷共有四個(gè)大題，22個(gè)小題，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．本卷分為試題卷和答題卷，答案要求寫在答題卷上，在試題卷上作答不給分．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求函數(shù)定義域得集合A，解一元二次不等式得集合B，然后利用交集運(yùn)算求解即可.【詳解】依題意可知，解得，所以集合，由，解得，所以，所以.故選：D2.已知復(fù)數(shù)滿足：，則（）A.1 B. C. D.5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)得出的表達(dá)式即可求出.【詳解】由，,得，所以．故選：A．3.在中，“”是“為直角三角形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】逐步分析條件，否定充分性，舉例子否定必要性即可.【詳解】在中，若，則，故，或，或，故充分性不成立，令，，不符合，故必要性不成立，故選：D4.為慶祝我國(guó)第39個(gè)教師節(jié)，某校舉辦教師聯(lián)誼會(huì)，甲?乙兩名數(shù)學(xué)老師組成“幾何隊(duì)”參加“成語猜猜猜”比賽，每輪比賽由甲?乙兩人各猜一個(gè)成語，已知甲每輪猜對(duì)的概率為，乙每輪猜對(duì)的概率為.在每輪比賽中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，則“幾何隊(duì)”在一輪比賽中至少猜對(duì)一個(gè)成語的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用事件的相互獨(dú)立性求解.法一，所求事件轉(zhuǎn)化為互斥事件的和事件，利用概率加法公式求解即可；法二，利用對(duì)立事件的概率和為，間接法可得.【詳解】設(shè)事件“甲猜對(duì)”，“乙猜對(duì)”，“幾何隊(duì)至少猜對(duì)一個(gè)成語”，所以，則.由題意知，事件相互獨(dú)立，則與，與，與也相互獨(dú)立，法一：，且兩兩互互斥，則.法二：事件的對(duì)立事件“幾何隊(duì)一個(gè)成語也沒有猜對(duì)”，即，則.故選：B.5.如圖，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用兩角差的正切展開式求出，可得，再由兩角和的正弦展開式可得答案.【詳解】由圖可知，，，所以，因?yàn)榈谝幌笙藿?，所以可得，所?故選：C.6.已知向量，，且，若，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)垂直向量的坐標(biāo)運(yùn)算建立方程求得參數(shù)，結(jié)合投影的定義，可得答案.【詳解】，故，解得，所以，則在方向上的投影向量為.故選：A.7.已知等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為，，若，則（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)與等差數(shù)列前項(xiàng)和得出，，即可代入已知得出答案.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，則，即，，故選：C.8.已知三棱錐的棱長(zhǎng)均為6，其內(nèi)有個(gè)小球，球與三棱錐的四個(gè)面都相切，球與三棱錐的三個(gè)面和球都相切，如此類推，…，球與三棱錐的三個(gè)面和球都相切(，且)，則球的表面積等于()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正四面體的內(nèi)切球的半徑是高的可求得的半徑，得其體積，把底面向上平移，平移到與內(nèi)切球相切，這個(gè)平面以上的部分仍然是正四面體，而第二個(gè)球就是這個(gè)正四面體的內(nèi)切球，此球半徑是第一個(gè)球半徑的一半，依次類推可得第個(gè)球．【詳解】如圖，是三棱錐的高，是的外心，設(shè)，則，，是三棱錐的外接球和內(nèi)切球的球心，在上，設(shè)外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，由得：，，所以，過中點(diǎn)作與底面平行的平面與三條棱交于點(diǎn)，則平面與球相切，由題意球是三棱錐的內(nèi)切球，注意到三棱錐的棱長(zhǎng)是三棱錐棱長(zhǎng)的，所以其內(nèi)切球半徑，同理球的半徑為，則是公比為的等比數(shù)列，所以，即，．故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：四面體的內(nèi)切球問題，掌握正四面體的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．實(shí)質(zhì)上正四面體的高是，其外接球半徑是，內(nèi)切球半徑是．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.某校1500名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)（單位：分），成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，則（）A.頻率分布直方圖中a的值為0.005 B.估計(jì)這40名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的第60百分位數(shù)為75C.估計(jì)這40名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)為80 D.估計(jì)總體中成績(jī)落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為225【答案】AD【解析】【分析】先根據(jù)頻率之和為1可得，進(jìn)而可求每組的頻率，再結(jié)合統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】由，可得，故A正確；前三個(gè)矩形的面積和為，所以這名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的第百分位數(shù)為，故B錯(cuò)誤；由成績(jī)的頻率分布直方圖易知，這名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)為，故C錯(cuò)誤；總體中成績(jī)落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，故D正確.故選：AD10.已知定義在上的函數(shù)滿足，且函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A.函數(shù)是周期函數(shù) B.函數(shù)為上的偶函數(shù)C.函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù) D.函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，由可得，即可判斷；對(duì)于B，由函數(shù)為奇函數(shù)可得，從而可得，即可判斷；對(duì)于C，根據(jù)函數(shù)為上的偶函數(shù)可判斷；對(duì)于D，由，從而有即可判斷.【詳解】對(duì)于A，由可得，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，則，所以函數(shù)為上的偶函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)B的解析可知函數(shù)為上的偶函數(shù)，所以函數(shù)在上沒有單調(diào)性，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，且函?shù)周期為，所以，即的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D正確.故選：ABD11.“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（）A.若，則M為的重心B.若M為的內(nèi)心，則C.若M為的垂心，，則D.若，，M為的外心，則【答案】ABC【解析】【分析】A選項(xiàng)，，作出輔助線，得到三點(diǎn)共線，同理可得M為的重心；B選項(xiàng)，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，，，代入后得到；C選項(xiàng)，得到，作出輔助線，由面積關(guān)系得到線段比，設(shè)，，，則，，，結(jié)合三角函數(shù)得到，，進(jìn)而求出正切值的比；D選項(xiàng)，設(shè)外接圓半徑，由三角形面積公式求出三個(gè)三角形的面積，得到比值.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，取的中點(diǎn)，則，所以，故三點(diǎn)共線，且，同理，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，可得三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，所以M為的重心，A正確；B選項(xiàng)，若M為的內(nèi)心，可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，，，所以，即，B正確；C選項(xiàng)，若M為的垂心，，則，如圖，⊥，⊥，⊥，相交于點(diǎn)，又，，即，，即，，即，設(shè)，，，則，，，因?yàn)椋?，所以，即，同理可得，即，故，，則，故，，則，故，，故，同理可得，故，C正確；D選項(xiàng)，若，，M為的外心，則，設(shè)的外接圓半徑為，故，，故，，，所以，D錯(cuò)誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的重心，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的垂心，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的外心，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的內(nèi)心，12.已知長(zhǎng)方體的表面積為10，十二條棱長(zhǎng)度之和為16，則該長(zhǎng)方體（）A.一定不是正方體B.外接球的表面積為C.長(zhǎng)、寬、高的值均屬于區(qū)間D.體積的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為，由即可判斷A，由即可判斷B，由不等關(guān)系代入計(jì)算即可判斷C，由，結(jié)合的范圍，利用導(dǎo)數(shù)即可判斷D.【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，則可得，即，又因，所以，由不等式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，而，取不到等號(hào)，所以得不到，即該長(zhǎng)方體一定不是正方體，故A正確；設(shè)長(zhǎng)方體外接球的半徑為，則，即，則外接球的表面積為，故B正確；由可得，，代入可得，，即，因?yàn)?，由基本不等式可得，即，設(shè)，則，則，化簡(jiǎn)可得，即，所以，即，又因?yàn)?，則，同理可得，故C錯(cuò)誤；設(shè)長(zhǎng)方體的體積為，則，且，，即，其中，化簡(jiǎn)可得，，，且，，令，則或，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，有極小值，且，當(dāng)時(shí)，有極大值，且，又因?yàn)?，所以，故D正確；故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用以及利用導(dǎo)數(shù)解決立體幾何中體積最值問題，難度較大，解決問題的關(guān)鍵在于將長(zhǎng)方體的體積轉(zhuǎn)化為關(guān)于長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高的函數(shù)關(guān)系，然后利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若直線與圓相切，則實(shí)數(shù)_________．【答案】或【解析】【分析】利用幾何法列方程即可求解.【詳解】圓可化為.因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，解得：或7.故答案為：或14.已知正實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】通過構(gòu)造函數(shù)，通過判斷其單調(diào)性得到，再利用基本不等式求最值.【詳解】令，明顯其在上單調(diào)遞增，又由得，即，所以，即，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.15.杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日舉辦，杭州亞運(yùn)會(huì)競(jìng)賽項(xiàng)目設(shè)置為40個(gè)大項(xiàng)，61個(gè)分項(xiàng)，481個(gè)小項(xiàng)，并增設(shè)電子競(jìng)技、霹靂舞兩個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到乒乓球、電子競(jìng)技、霹靂舞三個(gè)項(xiàng)目志愿服務(wù)，其中每個(gè)項(xiàng)目至少一名志愿者，甲必須在霹靂舞項(xiàng)目，則不同的志愿服務(wù)方案共有______種（用數(shù)字作答）.【答案】50【解析】【分析】分霹靂舞項(xiàng)目只有1人、霹靂舞項(xiàng)目有2人、霹靂舞項(xiàng)目有3人三種情況討論，利用加法原理和排列組合分配即可求解.【詳解】①若霹靂舞項(xiàng)目只有1人，則乒乓球項(xiàng)目2人、電子競(jìng)技項(xiàng)目2人或乒乓球項(xiàng)目1人、電子競(jìng)技項(xiàng)目3人或乒乓球項(xiàng)目3人、電子競(jìng)技項(xiàng)目1人，則不同的志愿服務(wù)方案有（種）；②若霹靂舞項(xiàng)目有2人，則乒乓球項(xiàng)目2人、電子競(jìng)技項(xiàng)目1人或乒乓球項(xiàng)目1人、電子競(jìng)技項(xiàng)目2人，則不同的志愿服務(wù)方案有（種）；③若霹靂舞項(xiàng)目有3人，則乒乓球項(xiàng)目1人、電子競(jìng)技項(xiàng)目1人，則不同的志愿服務(wù)方案有（種）.綜上所述：不同的志愿服務(wù)方案共有（種）.故答案為：5016.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)作傾斜角為的直線l與C的左、右兩支分別交于點(diǎn)P，Q，若，則C的離心率為______．【答案】【解析】【分析】由，的平分線與直線PQ垂直，結(jié)合圖像，根據(jù)雙曲線的定義，找出各邊的關(guān)系，列出等式，求解.【詳解】依題意，由，得，即的平分線與直線PQ垂直，如圖，設(shè)的平分線與直線PQ交于點(diǎn)D，則，，又，所以，所以，．由題得，，設(shè)，，，在中，，，則，，由雙曲線的性質(zhì)可得，解得，則，所以在中，，又，，所以，即，整理得，所以．故答案為：四、解答題：（本大題共6小題，17題10分，18～22題各12分，共70分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟）17.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，且．（1）求；（2）若為的中點(diǎn)，且，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，先利用正弦定理邊化角，再利用兩角和的正弦公式，進(jìn)而化簡(jiǎn)整理得到；（2）由的兩邊平方得，再利用余弦定理可得，從而利用三角形的面積公式可得答案.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，由正弦定理得，化?jiǎn)得．因?yàn)?，，所以．因?yàn)?，所以．【小?詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，等式兩邊平方得，即①．在中，由余弦定理得②，聯(lián)立①②解得，所以．18.如圖，與都是邊長(zhǎng)為2正三角形，平面平面，平面且．（1）證明：平面.（2）求平面與平面的夾角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，利用面面垂直、線面垂直，以及線段長(zhǎng)度求證線面垂直即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，進(jìn)而求出其夾角大小即可.【小問1詳解】取中點(diǎn)，連接都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，又，面，面，面，又平面平面，面且又面且，，，是正方形，又，平面，平面，平面【小問2詳解】由（1）知兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系由于軸垂直面∴平面的法向量為又，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，所以∴平面與平面的夾角為19.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，，直線的斜率為，直線的斜率為.證明：為定值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線定義及焦準(zhǔn)距即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）先設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，消元后整理成一元二次方程，得出韋達(dá)定理，再利用斜率定義，得到的表達(dá)式，整理成的對(duì)稱式，代入韋達(dá)定理即得定值.【小問1詳解】因動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，故可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是拋物線，設(shè)其方程為，由題意得，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：【小問2詳解】如圖，因直線的斜率不能為零（否則直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)），又過點(diǎn)，可設(shè)由消去并整理得：，顯然設(shè)，則由韋達(dá)定理，（*）則，將（*）代入得：,故為定值.20.魔方，又叫魯比可方塊，最早是由匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院厄爾諾·魯比克教授于1974年發(fā)明的機(jī)械益智玩具．魔方擁有競(jìng)速、盲擰、單擰等多種玩法，風(fēng)靡程度經(jīng)久未衰，每年都會(huì)舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一．通常意義下的魔方，是指狹義的三階魔方．三階魔方形狀通常是正方體，由有彈性的硬塑料制成．常規(guī)競(jìng)速玩法是將魔方打亂，然后在最短的時(shí)間內(nèi)復(fù)原．廣義的魔方，指各類可以通過轉(zhuǎn)動(dòng)打亂和復(fù)原的幾何體．魔方與華容道、法國(guó)的單身貴族（獨(dú)立鉆石棋）并稱為智力游戲界的三大不可思議．在2018WCA世界魔方蕪湖公開賽上，杜宇生以3.47秒的成績(jī)打破了三階魔方復(fù)原的世界紀(jì)錄，勇奪世界魔方運(yùn)動(dòng)的冠軍，并成為世界上第一個(gè)三階魔方速擰進(jìn)入4秒的選手．（1）小王和小吳同學(xué)比賽三階魔方，已知小王每局比賽獲勝的概率均為，小吳每局比賽獲勝的概率均為，若采用三局兩勝制，兩人共進(jìn)行了局比賽，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）小王和小吳同學(xué)比賽四階魔方，首局比賽小吳獲勝的概率為0.5，若小王本局勝利，則他贏得下一局比賽的概率為0.6，若小王本局失敗，則他贏得下一局比賽的概率為0.5，為了贏得比賽，小王應(yīng)選擇“五局三勝制”還是“三局兩勝制”？【答案】（1）分布列見解析；（2）小王應(yīng)選擇“五局三勝制”【解析】【分析】（1）依題意得到的可能取值，再利用獨(dú)立事件與互斥事件的概率公式求得其對(duì)應(yīng)的概率，從而得解；（2）分類討論小王不同選擇下對(duì)應(yīng)的獲勝概率，從而得解.【小問1詳解】因?yàn)椴捎萌謨蓜僦?，所以的可能取值為，表示小王或小吳連勝兩局；表示小王與小吳前兩局一勝一負(fù)；所以，，所以的分布列為：則的數(shù)學(xué)期望為.【小問2詳解】若小王選擇“三局兩勝制”，則小王獲勝的情況為：勝勝；勝負(fù)勝；負(fù)勝勝；則小王獲勝的概率為；若小王選擇“五局三勝制”，則小王獲勝的情況為：勝勝勝；勝勝負(fù)勝；勝負(fù)勝勝；負(fù)勝勝勝；勝勝負(fù)負(fù)勝；勝負(fù)勝負(fù)勝；勝負(fù)負(fù)勝勝；負(fù)負(fù)勝勝勝；負(fù)勝負(fù)勝勝；負(fù)勝勝負(fù)勝；則小王獲勝的概率為，因?yàn)椋孕⊥鯌?yīng)選擇“五局三勝制”.21.已知等差數(shù)列與等比數(shù)列滿足，，，且既是和的等差中項(xiàng)，又是其等比中項(xiàng)．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記，其中，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）記，其前n項(xiàng)和為，若對(duì)恒成立，求的最小值．【答案】（1），；（2）（3）【解析】【分析】（1）由已知條件，列方程組求出等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比，可得數(shù)列的通項(xiàng)；（2）根據(jù)數(shù)列的特征，運(yùn)用分組求和法求前項(xiàng)和；（3）利用函數(shù)思想，求出A的最大值和B的最小值，可得的最小值．【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，，，所以，解得，，既是和的等差中項(xiàng)，又是其等比中項(xiàng)，得，，解得，即，所以，．【小問2詳解】∵，∴．又∵，∵①∴②①減②得：∴，∴．【小問3詳解】，，，則是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，，，令，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，且遞減，可得的最大值為，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，且遞增，可得