2023年中考第二次模擬考試卷：數(shù)學(xué)（江蘇南京卷）（解析版）

2023年中考數(shù)學(xué)第二次模擬考試卷

數(shù)學(xué)-全解全析

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題旨上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）

1.8的相反數(shù)是（）

A.—8B.8C.-D.—

88

【答案】A

【分析】根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)進(jìn)行解答即可得.

【詳解】解：8的相反數(shù)是-8,

故詵A.

【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的定義，掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.截止北京時(shí)間2022年6月11日全球新冠肺炎確診病例超過5.32億例,5.32億在科

學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.5.32x10sB.53.2xlO7C.0.532xlO9D.5.32xlO7

【答案】A

【分析】利用科學(xué)記數(shù)法的表示方法進(jìn)行解題即可.

【詳解】解：5.32億=5.32x1（）s

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法：4X10",其中l(wèi)W|a|V10.

3.某工程甲單獨(dú)完成要25天，乙單獨(dú)完成要20天.若乙先單獨(dú)干10天，剩下的由甲

單獨(dú)完成，設(shè)甲、乙一共用x天完成，則可列方程為（）

x+1010?■x+1010,10X-10x-1010

A.--------+—=1B.--------+—=1C.-----1---------D.----------------1

2025252025202520

【答案】D

【分析】設(shè)甲、乙一共用x天完成，根據(jù)題意，列出方程，即可求解.

【詳解】解：設(shè)甲、乙?共用x天完成，根據(jù)題意得：

x-IO10,

-------+—=1.

2520

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了?元?次方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的

關(guān)鍵.

4.如圖1,點(diǎn)A,B,C是數(shù)軸上從左到右排列的三個(gè)點(diǎn)，分別而應(yīng)的數(shù)為-5,兒4,

某同學(xué)將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數(shù)字0對(duì)齊數(shù)軸上的點(diǎn)A,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)8對(duì)應(yīng)刻

度1.8cm,點(diǎn)C對(duì)齊刻度5.4cm.則數(shù)軸上點(diǎn)8所對(duì)應(yīng)的數(shù)。為（）

AB_C?

-^5~~4

圖1

A.3B.-1D.-3

【答案】C

【分析】結(jié)合圖1和圖2求出1個(gè)單位長(zhǎng)度=0.6cm,再求出求出48之間在數(shù)軸上的距

離，即可求解：

【詳解】解：由圖1可得AC=4?（-5）=9,由圖2可得AC=5.4cm,

???數(shù)軸上的一個(gè)長(zhǎng)度單位對(duì)應(yīng)刻度尺上的長(zhǎng)度為=54+9=0.6（cm）,

1.8cm,

???48=1.8+0.6=3（單位長(zhǎng)度），

，在數(shù)軸上點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)斤-5+3=2；

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是本題的關(guān)鍵.

5.不透明的袋子中裝有紅、綠小球各一個(gè)，除顏色外兩個(gè)小球無其他差別，從中隨機(jī)

摸出一個(gè)小球，放回并搖勻，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)小球，那么第一次摸到紅球、第二次

摸到綠球的概率是（）

1I13

C

----

A.4B.32D.4

【答案】A

【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與第一次摸到紅球,

第二次摸到綠球的情況.然后利用概率公式求解即可求得答案.

【詳解】解：畫樹狀圖得:

開始

第一次紅基

第二次公A

?.?共有4種等可能的結(jié)果，第一次摸到紅球，第二次摸到綠球有I種情況，

???第一次摸到紅球，第二次摸到綠球的概率對(duì)’

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了畫樹狀法或列表法求概率，列出所有等可能的結(jié)果是解決本題的關(guān)

鍵.

6.已知四邊形A8C。兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)￡AB=AC=AD,AE=3,EC=\,則8E?D￡

的值為（）

D

工

A.6B.7C.12D.16

【答案】B

【分析】根據(jù)AB=4C=AD,可知點(diǎn)。、C、8在以點(diǎn)A為圓心的圓上，延長(zhǎng)CA交0A

EFDE

于點(diǎn)尸，連接。REF=AF+AE=AC+AE,再證明△尸。——=——,即8E?。石

BECE

=CE?EF,則問題得解.

【詳解】a：AB=AC=AD,

工點(diǎn)D、C、B在以點(diǎn)力為圓心的圓周上運(yùn)動(dòng)，

如圖，延長(zhǎng)CA交。A于點(diǎn)F,連接DF,

*：AE=3,EC=\,

?\AC=AF=AE+CE=3+\=4,

即EF=AE+AF=3+4=7,

ZF=ZCBD,NFDB=NFCB,

:?△FDEs^BCE,

.EFDE

??正一ZF'

即BE-DE=CE-EF=M=1,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)A8=4C=40,

確定點(diǎn)。、C、B在以點(diǎn)A為圓心的圓上，是解答本港的關(guān)鍵.

第n卷

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

7.函數(shù))，=>/rz的自變量x的取值范圍是.

【答案】%>1

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，列出不等式，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得，.r-l>0,

解得心1.

故答案為X21.

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的自變量取值范圍，掌握二次根式有意義的條件，是解題的

關(guān)鍵.

8.分解因式：6A2>?-3xy=.

【答案】3歲(2x-l)

【分析】直接提取公因式進(jìn)行因式分解即可.

【詳解】解：原式=3沖(2x—1).

故答案為：3不，(2x7).

【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

9.設(shè)?個(gè)圓錐的底面積為10,它的側(cè)面展開后平面圖為?個(gè)半圓，則此圓錐的側(cè)面積

是.

【答案】20

【分析】根據(jù)圓錐底面周長(zhǎng)得到半徑和母線的關(guān)系，然后計(jì)算側(cè)面積即可，

【詳解】解：???側(cè)面展開圖是半圓，

7tl=Inr

：.l=2r

???仃2=10

???=；乃尸=；乃（2r>=2笈/=2x10=20

故答案為20；

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積，掌握并熟練使用相關(guān)知識(shí)，同時(shí)注意解題中需注意

的事項(xiàng)是木題的解題關(guān)爨.

10.已知二次函數(shù)），=a—〃?）2,當(dāng)爛1時(shí)，y隨x的增大而減小，則〃?的取值范圍是

【答案】m>l

【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)的開口方向，再由當(dāng)xWl時(shí)，函數(shù)值y

隨x的增大而減小可知二次函數(shù)的對(duì)稱軸1.

【詳解】解：???二次函數(shù)），=（A-/7I）2,中，。=1>0,

???此函數(shù)開口向上，

???當(dāng)xWl時(shí)，函數(shù)值y隨X的增大而減小，

，二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=m^1.

故答案為：加N1.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的增減性是解答此題的關(guān)鍵.

II.如圖，已知函數(shù)丁二工十。和），=。丫十3的圖象交點(diǎn)為產(chǎn)，則不等式x+/?>ov+3的解

集為.

【答案】x>\

【分析】根據(jù)圖象直接解答即可.

【詳解】解：從圖象上得到函數(shù)產(chǎn)%+力和產(chǎn)點(diǎn)+3的圖象交點(diǎn)尸，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為I,

在x>l時(shí)，函數(shù)產(chǎn)x+方的值大于產(chǎn)at+3的函數(shù)值，

故可得不等式x+b>^3的解集x>1.

故答案為；x>l.

【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，認(rèn)真體會(huì)一次函數(shù)與一元一次方程及

一元一次不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系是解決本題的關(guān)鍵.

12.某校規(guī)定學(xué)生體育成績(jī)滿分為100分，將課外活動(dòng)成績(jī)、期中成績(jī)、期末成績(jī)的比

按2：3：5計(jì)算學(xué)期成績(jī)?nèi)粜∶鬟@學(xué)期的三項(xiàng)成績(jī)分別為90分、90分、96分，則小明

本學(xué)期的體育成績(jī)?yōu)榉?

【答案】93

【分析】根據(jù)加權(quán)平:均數(shù)的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可.

235

【詳解】解:90x+90x+96x二93,

2+3+52+3+52+3+5

故答案為：93.

【點(diǎn)睛】本題考查加權(quán)不均數(shù)的意義和計(jì)算方法，理解加權(quán)平均數(shù)的意義，掌握加權(quán)平

均數(shù)的計(jì)算方法是正確解答的前提.

13.如圖，點(diǎn)E,F在BC上，BE=CF,ZA=ZD.請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件

使4ABF^ADCE

【答案】NB=NC（答案不唯一）

【分析】求出再根據(jù)全等三角形的判定定理判斷即可.

【詳解】解：???BE=C/，

：.BE+EF=CF+EF,

:?BF=CE,

添加N8=/C,

在AABr和△￡>（2￡中，

4B=4C

<ZA=ZD,

BF=CE

:.△AB24DCE（AAS）,

故答案為：ZB=ZC（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的

關(guān)鍵.

14.如圖，（Q的半徑為2cm,正六邊形內(nèi)接于則圖中陰影部分面積為.

【分析】如圖，連接8。，CO,OA.由題意得，△08C,AAOB都是等邊三角形，證

明△OBC的面積=△A8C的面積，可得圖中陰影部分的面積等于扇形OBC的面積，再

利用扇形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可.

由題意得，△OBC,zkaoB都是等邊三角形,

???N4O8=/OBC=60。，

：,OA//BC,

???△OBC的面積=△48c的面積，

，圖中陰影部分的面積等于扇形08C的面積=駟立=生.

3603

故答案為：y

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓、扇形的面積公式、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的扇形思考問題，屬于中考常考題型.

15.已知在中，ZC=30°,ABLAD,AO=2cm,則8c的長(zhǎng)等于

【答案】6

【分析】過A作AE_L8c交于E,根據(jù)AB=AC,NC=30。得至ijNB=30°,由

可得8。=4,再根據(jù)勾股定理求出AB,即可得到3￡,即可得到答案.

【詳解】解：過人作AE_L8C交8C于E,

々=30。,

*.*AB±AD，AD=2cm,

，BD=4,

在RtMBD中，

"8=42-22=2百,

VAELBC,NB=30。，

:.AE=0

,此=｛（2揚(yáng)2-（揚(yáng)2=3,

*.*AB=AC,AELBC,

：.BC=2BE=6,

故答案為6,.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)，含30。角的直角三角形性質(zhì)及勾股定理，解題的關(guān)

鍵是求出A8.

16.如圖，等腰”8C的底邊長(zhǎng)為4,面積是12,腰AC的垂直平分線E尸分別交4C,

AB邊于E,F點(diǎn).若點(diǎn)Z）為8C邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段E戶上一動(dòng)點(diǎn)，則VCDM的周

長(zhǎng)最小值為：—.

【答案】8

【分析】連接AO,由于一43c是等腰三角形，點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，故ADJ.BC,再

根據(jù)三角形的面積公式求出AO的長(zhǎng)，再根據(jù)E尸是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)C

關(guān)于直線律的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)4故AO的長(zhǎng)為的最小值，由此即可得出結(jié)論

【詳解】解：連接AO,AM,

C

ED

?J./WO是等腰三角形，點(diǎn)。是8C邊的中點(diǎn)，

，AD1BC,

???M是線段AC的垂直平分線，

:.點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A,

???A0與E尸的交點(diǎn)為點(diǎn)M時(shí)，VCDM的周長(zhǎng)最小，

故A。的長(zhǎng)為AM+MD的最小值，

在一ABC中，8c=4,5AABC=12,

=-BC*AD=-X4XAD=\2,CD=-BC=2

?AI）C222

解得AO=6,

/.NCDM的周長(zhǎng)最小為：AM+MD+I3C>AD+BC=6+2=S,

故答案為：8

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答

此題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共11小題，共88分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟等）

17.（7分）已知6。+3的立方根是3,3〃+力-1的算術(shù)平方根是4.

⑴求力的值；

⑵求爐的平方根.

【答案】（1）4；5

（2）±3

【分析】（1）運(yùn)用立方根和算術(shù)平方根得出方程求解即可得；

（2）先求出代數(shù)式的值，然后計(jì)算平方根即可.

【詳解】（1）解：?.?&/+3的立方根是3,的算術(shù)平方根是4,

.,?金（+3=27,3。+/?-1=16,

?=4,b=5；

（2）解：由（1）知。=4,b=5,

???/?2-?2=52-42=9，

V9的平方根為±3,

/的平方根為±3.

【點(diǎn)睛】本題考查了平方根、算術(shù)平方根、立方根及解方程，理解題意，根據(jù)題意得出

方程是解題關(guān)健.

⑻（7分）先化簡(jiǎn)，再求值：島（…山、4v一~—4v+^1，其中

1

【答案】

1-2%*9

【分析】先將括號(hào)內(nèi)的通分加減，再根據(jù)除以不為零的數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，最后

約分化簡(jiǎn)即可，把匯=~4的值代入即可求解.

r_￡__x2-2x4-1\(2x-l)22大一11-x

【詳解】解:原式=x-1X(2x-1)2

kx-lx-1)1-x

=\-2x，

將x=T代入匕'得已毋=3

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，掌握乘法公式在分式中的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

19.（7分）請(qǐng)把下面證明過程補(bǔ)充完整.

如圖，ADBE,Z1=Z3,N2=NB,求證：DE//AC，

證明：（已知），

AZ2+=180°().

VZ2=ZB(已知)，

，4+NDC8=18O。(),

/.8AB(),

??.Z3=().

VZ1=Z3(己知)，

???N1=(等量代換)，

ADE//AC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

E

【答案】NDCB；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；等量代換；CD；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直

線平行；Z4；兩直破平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；Z4

【分析】已知人。BE,可以得出N2+NQC6=180。，結(jié)合N2=4可以得出CO〃AB,

可以得出N3=/4,由已知N1=N3,即可得到結(jié)論.

【詳解】證明：???A。BE（己知）

/.Z2+ZDCB=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

VZ2=Z?（已知）

/.ZZ?+ZDCZ?-180°（等量代換）

：.CD//AB（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

???/3=/4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

VZ1=Z3（已知）

AZ1=Z4（等量代換）

/.DE//AC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和判定，熟記平行線的判定定理和性質(zhì)，并靈活運(yùn)

用是解題的關(guān)鍵.

20.（8分）新冠疫情期間，學(xué)生居家上網(wǎng)課，為了解我市初中生每周鍛煉身體的時(shí)長(zhǎng)，

（單位:小時(shí)）的情況，在全市隨機(jī)抽取部分初中生進(jìn)行調(diào)查，按五個(gè)組別:人組（33<4）,

8組（4</<5）,C組（5勺<6）,。組（64/<7）,E組（7</<8）進(jìn)行整理，繪制如下兩

幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖中提供的信息，解決下列問題:

所抽取學(xué)生周鍛煉時(shí)長(zhǎng)的扇形統(tǒng)計(jì)圖

（I）這次抽樣調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為

⑵抽取的學(xué)生中，每周鍛煉身體的時(shí)長(zhǎng)大于等于6小于7的頻數(shù)是

⑶求C組所在扇形的圓心角.

【答案】(1)500

(2)150

(3)115.2°

【分析】(1)由8組人數(shù)及其所占百分比可得學(xué)生總?cè)藬?shù)；

(2)根據(jù)總?cè)藬?shù)分別減去A、B、C、E組的人數(shù)即可得出答案；

(3)先求出。組所占總?cè)藬?shù)的百分比，再用360。乘以C組所占總?cè)藬?shù)的百分比即可.

【詳解】(1)1004-20^=500(人)

故答案為：500.

(2)每周鍛煉身體的時(shí)長(zhǎng)大于等于6小于7的頻數(shù)：

500-50-100-160-40=150(人)

故答案為：150.

(3)C組所占總?cè)藬?shù)的百分比為：黑xl00%=32%

50()

。組所在扇形的圓心角：360°x32%=l15.2°

:.。組所在扇形的圓心角為115.2°.

【點(diǎn)睛】本題考查了頻數(shù)分布直方圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖，理解兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)量之間的關(guān)系

是解決問題的前提，掌握頻率二頻數(shù)-總數(shù)是正確解答的關(guān)鍵.

21.(8分)為了解某校中學(xué)生有多少人已患上近視眼，判斷下列選取對(duì)象的方案是否

恰當(dāng)？不恰當(dāng)?shù)恼?qǐng)說明理由.

(1)在學(xué)校門口數(shù)有多少人戴眼鏡；

(2)在低年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取一個(gè)班作調(diào)查；

(3)從每個(gè)年級(jí)每個(gè)班級(jí)都隨機(jī)抽取幾個(gè)學(xué)生作調(diào)查.

【答案】(1)不恰當(dāng)，理由見解析

(2)不恰當(dāng)，理由見解析

(3)恰當(dāng)

【分析】根據(jù)選取的樣本是否具有代表性依次判斷即可求解.

【詳解】(1)不恰當(dāng)；因?yàn)榭赡苡凶⌒W(xué)生沒調(diào)查到.

(2)不恰當(dāng)；因?yàn)榈湍昙?jí)學(xué)生的視力一般比高年級(jí)學(xué)生好.

(3)樣本具有代表性，因此恰當(dāng).

【點(diǎn)睛】本題考查了樣本的代表性，解題關(guān)鍵是掌握選取的樣本應(yīng)該具有代表性，要求

學(xué)生能根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行判斷.

22.（7分）如圖，在半徑為10cm的。。中，4B是。。的直徑，CO是過。O上一點(diǎn)C

的直線，且AZXLOC于點(diǎn)。，AC平分NBA。，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，OE=6cm.

（I）求證：C。是。。的切線;

⑵求4。的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析

⑵AO專

【分析】（1）連接0C，由AC平分NBA。，OA=OC,可得NDAC=NOC4,AD//OC,

根據(jù)AO_LOC,即可證明C。是。。的切線；

ADAC

（2）由OE是aAAC的中位線，得AC=12,再證明△DACS/\C48,—,即

ACAB

AD12..k加&[f36

■ry=—＞從而得至14。=彳.

【詳解】（1）證明：連接oc,如圖：

〈AC平分NBA。，

：.ZDAC=ZCAO,

VOA=OC,

???NCAO=NOCA,

???NOAC=NOCA,

：.AD//OC,

VAD1DC,

???CO±DC,

???OC是。。的半徑,

???CD是。。的切線；

（2）解：YE是8c的中點(diǎn)，且。4=。8,

是△A8C的中位線，AC=2OE,

<0E=6,

：.AC=\2t

??》B是。。的直徑，

/.4（78=90。=NADC,

又NQ-C4B,

/.△DAC^ACAB,

.ADACAD12

??,RHPI1="",

ACAB1220

?An36

..AD=——.

5

【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的判定定理，相似三角形的判定及性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是熟練應(yīng)用圓的相關(guān)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化圓中的角和線段.

23.（8分）某書店計(jì)劃同時(shí)購(gòu)進(jìn)A,8兩類圖書，已知購(gòu)進(jìn)3本A類圖書和4本5類圖

書共需288元；購(gòu)進(jìn)6本A類圖書和2本8類圖書共普306元.A,8兩類圖書每本的

進(jìn)價(jià)各是多少元？

【答案】4類圖書每本的進(jìn)價(jià)是36元，B類圖書每本的進(jìn)價(jià)是45元.

［分析】根據(jù)“購(gòu)進(jìn)3本A類圖書和4本B類圖書共需288元；購(gòu)進(jìn)6本A類圖書和2

本8類圖書共需306元'列出方程組進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：設(shè)4類圖書每本的進(jìn)價(jià)是。元，B類圖書每本的進(jìn)價(jià)是〃元.根據(jù)題意得：

3。+3288

6?+2/?=306，

。=36

解得

445

答：A類圖書每本的進(jìn)價(jià)是36元，8類圖書每本的進(jìn);介是45元.

【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系列出二元一次方

程.

24.（8分）勝利黃河大橋猶如?架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天

塹變通途''.已知主塔A8垂直于橋面8c于點(diǎn)8,其中兩條斜拉索A。、AC與橋面BC的

夾角分別為60。和45。，兩周定點(diǎn)。、。之間的距離約為33m,求主塔A8的高度（結(jié)果

保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：72?1.41,73?1.73）

A

【答案】主塔A3的高度約為78m.

【分析】在即aAB。中，利川正切的定義求出A8=GB。，然后根據(jù)NC=45。得出AB

=BC,列方程求出即，即可解決問題.

【詳解】解：???A3_L3C,

:.NA4c=90。,

在mA/W。中，人B=8Oian600=x/5B。,

在R/A44c中，ZC=45°,

：.AB=BC,

???6BD=BD+33,

33

BD=-P—=

V3-12

.「33x(0+1)

??AB=BC=8。+33=——i------^+33?78m?

2

答：主塔/W的高度約為78m.

【，點(diǎn):睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵.

3

25.(8分)如圖，拋物線狀+c交x軸于A,B兩點(diǎn),交軸于點(diǎn)。，點(diǎn)A,8的

備用圖

⑴求拋物線的解析式：

⑵點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求^CP8的面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)若M是拋物線上一點(diǎn)，且NMCB=NABC,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

ao

【答案】⑴尸/丁-3

⑵力昌

（3）”的坐標(biāo)為（3,-3）或停詈

【分析】（1）待定系數(shù)法求解即可；

（2）待定系數(shù)法求直線的解析式，如圖1,過尸作交于O,設(shè)

,39、（3、1q

Pm.-m1--w-3,則。rn,-m-3,S=一。?乂4=-二+6加，求解△CPB面

k44）14）22

積最大時(shí)的加值，進(jìn)而可得P點(diǎn)坐標(biāo)：

（3）由題意知，分兩種情況求解：①如圖2,作兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，

可知直線C。與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)M,根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求解M的坐標(biāo)即可；

②如圖2,作直線?！晔?比5=/人8c交ABJ-F,可知直線C￡與拋物線的交點(diǎn)即為

點(diǎn)M,根據(jù)勾股定理求出/點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求CE的解析式，聯(lián)立求交點(diǎn)坐標(biāo)即可.

—~b+c=（）

【詳解】（1）解：將AB點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式得

—x4?+4b+c=0

14

解得4

c=-3

T.Q

工拋物線的解析式為丁=92一x—3.

44

（2）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=-3

???0（0,-3）

4k+b=0

設(shè)直線BC的解析式為y=kxb將比C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得

+fb=-3

k=）

解得4

b=-3

3

???直線8C的解析式），=9-3

4

（39、（3A

如圖1,過戶作尸力_LAB交8c于。，設(shè)尸則。

144）4J

3

???一一<0,0<w<4

2

，〃?=2時(shí)，△CP4面積最大

???巾號(hào)）

（3）解：由題意知，分兩種情況求解;

①如圖2,作CQ〃A8,

'：CD//AB

/.ZABC=ZDCB

???直線CO與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)"

9

???CM關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線x=-一與=:對(duì)稱

2x-2

4

???M（3,-3）；

②如圖2,作直線CE使NEC5=NA2c交A3于尸

?.*/ECB=/ABC

???直線CE與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)M

，F(xiàn)C=FB

設(shè)^\FC=FB=4-a

在RjCOF中,由勾股定理得OC'R^—o尸，即3'=（4-〃）2-/

7

解得。二三

8

設(shè)直線CE的解析式為尸心+〃，將C尸點(diǎn)坐標(biāo)代入得j8”一

b=-3

k=24

解得~T

b=-3

???直線CE的解析式為）=半24工-3

53

x=0八x=一7

），=一31125

由

..153■,1方12"5、J；

<531125、

綜上所述，NMCB=NANC時(shí)，點(diǎn)例的坐標(biāo)為（3,-3）或

【點(diǎn)睛】本題考杳了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與面積綜合，二次函數(shù)與

角度綜合.解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用.

26.（9分）在菱形A8CO中，ZABC=60°,P是宜線3。上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊向右側(cè)

作等邊，4P￡（A,P,￡按逆時(shí)針排列），點(diǎn)E的位置隨點(diǎn)。的位置變化而變化.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段8。上，且點(diǎn)E在菱形48CQ內(nèi)部或邊上時(shí)，連接CE,則

8尸與CE的數(shù)量關(guān)系是,BC與CE的位置關(guān)系是；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在線段8。上，且點(diǎn)￡在菱形A8CQ外部時(shí)，（1）中的結(jié)論是否

還成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由：

（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線3。上時(shí)，其他條件不變，連接8E.若AB=26,BE=2M,請(qǐng)

直接寫出AP￡的面積.

【答案】（1）BP=CE,CEVBC,（2）仍然成立，見解析；（3）316

【分析】（1）連接人C,根據(jù)菱形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)證明即可證

得結(jié)論；

（2）（1）中的結(jié)論成立，用（1）中的方法證明即可；

（3）分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)P在8。的延長(zhǎng)線上時(shí)或點(diǎn)〃在線段OB的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接

AC交8。于點(diǎn)0,由NBC￡=90。，根據(jù)勾股定理求出CE的長(zhǎng)即得到8P的長(zhǎng)，再求

A。、P0、尸。的長(zhǎng)及等邊三角形4PE的邊長(zhǎng)可得結(jié)論.

【詳解】解：（1）如圖1,連接AC,延長(zhǎng)CE交A。于點(diǎn)從

圖1

;四邊形人8C。是菱形，

：,AB=BC,

,/ZABC=60°,

???△A8C是等邊三角形，

：,AB=AC,NBAC=60。：

???△APE是等邊三角形，

：.AP=AE.N%E=60°,

???N84P=NC4E=60。-N%C,

/.△BAP^ACAE(SAS),

：.BP=CE；

???四邊形48co是菱形，

???NA8P=；NA8c=30。，

???ZABP=ZACE=30°,

,rZACB=60°,

???NBCE=600+30°=90°,

故答案為：BP=CE,CE1BC；

(2)(1)中的結(jié)論：BP=CE,CEA.AD仍然成立，理由如下:

如圖2中，連接AC,設(shè)CE與AO交于從

???菱形48c。，/A8C=60°,

.??△ABC和AAC。都是等邊三角形，

：.AB=AC,ZBAD=\20\N84P=120。+/QAP,

???△A?石足等邊三角形，

：.AP=AE,/%E=60°,

，NC4E=60°+60°+ND4P=120°+N。”,

/.△ABP^AACE(SAS),

:?BP=CE,ZACE=ZABD=30°,

???NOC￡=30",

,?NAOC=60°,

o

AZDCE+Z/lDC=90t

.\ZCHD=90°,

：.CELAD；

/.(1)中的結(jié)論：BP=CE,CELAD仍然成立；

(3)如圖3中，當(dāng)點(diǎn)尸在8。的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AC交BO于點(diǎn)0,連接CE,BE,

作EFLAP于F,

°；

圖3

???四邊形ABC。是菱形，

：,AC1BDBD平分NABC,

VZABC=60Q,AB=2用

JN48O=30。，

，A0=；AB=50B=640=3,

:?BD=6,

由（2）知CE_LAQ,

'：AD//BC,

:?CEtBC,

,:BE=2M,BC=AB=2+,

；?CE=7（2>/19）2-（2>/3）2=8,

由（2）知BP=CE=8,

:?DP=2,

：,OP=5,

?"P=ylOA^OP2=7（\/3）2+52=26，

「△APE是等邊三角形，

:,SAAEP=BX（2/7）2=76

4

如圖4中，當(dāng)點(diǎn)P在。8的延長(zhǎng)線上時(shí)，同法可得AP=尸=?廚+1/=

【點(diǎn)睛】此題是四邊形的綜合題，重點(diǎn)考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角

形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確地作出解題所需要的輔助線,

將菱形的性質(zhì)與三角形全等的條件聯(lián)系起來，此題難度較大，屬于考試壓軸題.

27.(II分)【解決問題】如圖①，在四邊形A8CO中，ND44=N/SC=90。，點(diǎn)E是

邊A4的中點(diǎn)，ZD￡C=90。，求證：。石平分/4力C.(提示：延長(zhǎng)￡)￡交射線CB于點(diǎn)

F)

【應(yīng)用】如圖②,在矩形ABCD中，點(diǎn)尸是邊BC上的?■點(diǎn)，將沿直線AF折疊，

若點(diǎn)8落在邊。。的中點(diǎn)E處，MsinZBAF=.

【拓展】在矩形A8CD中，AO>A8,點(diǎn)E為邊A。的中點(diǎn)，將345石沿直線跖折直，

得到，尸BE,延長(zhǎng)跳'交直線CD于點(diǎn)G,直線EF交邊BC于點(diǎn)H.若CG=1,DG=2,

直接寫出〃尸的長(zhǎng).

圖②

【答案】【解決問題】見解析：【應(yīng)用】；；【拓展】正或立

244

【分析】解決問題如圖①，延長(zhǎng)OE交射線8于