高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題26平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用教學(xué)案理

/專題26平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義．了解平面向量的數(shù)量積及向量投影的關(guān)系．2.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．3.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．4.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題．會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題及其他一些實(shí)際問(wèn)題．1．平面向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a及b，它們的夾角為θ，則數(shù)量θ叫作a及b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝θ，規(guī)定零向量及任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.(2)幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度及b在a的方向上的投影θ的乘積．2．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角．(1)數(shù)量積：a·b＝θ＝x1x2＋y1y2.(2)模：＝\r(a·a)＝\r(\o\(2,1)＋\o\(2,1)).(3)夾角：θ＝\f(a·)＝\f(x1x2＋y1y2,\r(\o\(2,1)＋\o\(2,1))·\r(\o\(2,2)＋\o\(2,2))).(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(5)·≤(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立)?1x2＋y1y2|≤\r(\o\(2,1)＋\o\(2,1))·\r(\o\(2,2)＋\o\(2,2)).3．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a(交換律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．4．向量在平面幾何中的應(yīng)用向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等問(wèn)題．(1)證明線段平行或點(diǎn)共線問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用共線向量定理：a∥b(b≠0)?a＝λb?x1y2－x2y1＝0．(2)證明垂直問(wèn)題，常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0(a，b均為非零向量)．(3)求夾角問(wèn)題，利用夾角公式θ＝\f(a·)＝\f(x1x2＋y1y2,\r(\o\(2,1)＋\o\(2,1))\r(\o\(2,2)＋\o\(2,2)))(θ為a及b的夾角)．5．向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用及三角函數(shù)相結(jié)合考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及其應(yīng)用是高考熱點(diǎn)題型．解答此類問(wèn)題，除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、向量模、向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式外，還應(yīng)掌握三角恒等變換的相關(guān)知識(shí)．6．向量在解析幾何中的應(yīng)用向量在解析幾何中的應(yīng)用，是以解析幾何中的坐標(biāo)為背景的一種向量描述．它主要強(qiáng)調(diào)向量的坐標(biāo)問(wèn)題，進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)來(lái)解答，坐標(biāo)的運(yùn)算是考查的主體．高頻考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算例1、(1)設(shè)四邊形為平行四邊形，\o(,\s\6(→))|＝6，\o(,\s\6(→))|＝4，若點(diǎn)M，N滿足\o(,\s\6(→))＝3\o(,\s\6(→))，\o(,\s\6(→))＝2\o(,\s\6(→))，則\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))等于()A．20B.15C．9D．6(2)已知正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))的值為；\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))的最大值為．(2)方法一以射線，為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，設(shè)E(t,0)，t∈[0,1]，則\o(,\s\6(→))＝(t，－1)，\o(,\s\6(→))＝(0，－1)，所以\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因?yàn)閈o(,\s\6(→))＝(1,0)，所以\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，故\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))的最大值為1.方法二由圖知，無(wú)論E點(diǎn)在哪個(gè)位置，\o(,\s\6(→))在\o(,\s\6(→))方向上的投影都是＝1，∴\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))|·1＝1，當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，\o(,\s\6(→))在\o(,\s\6(→))方向上的投影最大即為＝1，∴(\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→)))＝\o(,\s\6(→))|·1＝1.【感悟提升】(1)求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義．(2)解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，可先利用向量的加、減運(yùn)算或數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn)再運(yùn)算，但一定要注意向量的夾角及已知平面角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ)．【變式探究】(1)如圖，在平行四邊形中，已知＝8，＝5，\o(,\s\6(→))＝3\o(,\s\6(→))，\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝2，則\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝.(2)已知正方形的邊長(zhǎng)為2，E為的中點(diǎn)，則\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝.答案(1)22(2)2高頻考點(diǎn)二用數(shù)量積求向量的模、夾角例2、(1)(2016·全國(guó)Ⅱ卷)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，則m＝()A.－8 B.－6C.6 D.8(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b及c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是.解析(1)由題知a＋b＝(4，m－2)，因?yàn)?a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即4×3＋(－2)×(m－2)＝0，解之得m＝8，故選D.(2)∵2a－3b及c的夾角為鈍角，∴(2a－3b)·c<0，即(2k－3，－6)·(2，1)<0，解得k＜3.又若(2a－3b)∥c，則2k－3＝－12，即k＝－\f(9,2).當(dāng)k＝－\f(9,2)時(shí)，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，此時(shí)2a－3b及c反向，不合題意.綜上，k的取值范圍為\b\\(\\)(\a\4\\1(－∞，－\f(9,2)))∪\b\\(\\)(\a\4\\1(－\f(9,2)，3)).答案(1)D(2)\b\\(\\)(\a\4\\1(－∞，－\f(9,2)))∪\b\\(\\)(\a\4\\1(－\f(9,2)，3))【方法規(guī)律】(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：若a，b為非零向量，θ＝\f(a·)(夾角公式)，a⊥b?a·b＝0等，可知平面向量的數(shù)量積可以用來(lái)解決有關(guān)角度、垂直問(wèn)題.(2)數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角.【變式探究】(1)(2016·全國(guó)Ⅲ卷)已知向量\o(,\s\6(→))＝\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，\o(,\s\6(→))＝\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，則∠＝()A.30° B.45°C.60° D.120°(2)(2016·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且＋2＝2＋2，則m＝.解析(1)\o(,\s\6(→))|＝1，\o(,\s\6(→))|＝1，∠＝\f(\o(6(→))·\o(,\s\6(→))\o(,\s\6(→))|·|\o(,\s\6(→))|)＝\f(\r(3),2).由〈\o(,\s\6(→))，\o(,\s\6(→))〉∈[0°，180°]，得∠＝30°.(2)由＋2＝2＋2，得a⊥b，所以m×1＋1×2＝0，得m＝－2.答案(1)A(2)－2【感悟提升】(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，可以求向量的模、夾角，解決垂直、夾角問(wèn)題；兩向量夾角θ為銳角的充要條件是θ＞0且兩向量不共線；(2)求向量模的最值(范圍)的方法：①代數(shù)法，把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解；②幾何法(數(shù)形結(jié)合法)，弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的圖形求解．【舉一反三】(1)已知單位向量e1及e2的夾角為α，且α＝\f(1,3)，向量a＝3e1－2e2及b＝3e1－e2的夾角為β，則β＝.(2)在△中，若A＝120°，\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝－1，則\o(,\s\6(→))|的最小值是()\r(2) B．2\r(6) D．6答案(1)\f(2\r(2),3)(2)C解析(1)∵＝\r(3e1－2e22)＝\r(9＋4－12×1×1×\f(1,3))＝3，＝\r(3e1－e22)＝\r(9＋1－6×1×1×\f(1,3))＝2\r(2)，∴a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9\o\(2,1)－9e1·e2＋2\o\(2,2)＝9－9×1×1×\f(1,3)＋2＝8，∴β＝\f(8,3×2\r(2))＝\f(2\r(2),3).(2)∵\(yùn)o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝－1，∴\o(,\s\6(→))|·\o(,\s\6(→))|·120°＝－1，即\o(,\s\6(→))|·\o(,\s\6(→))|＝2，∴\o(,\s\6(→))|2＝\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))|2＝\o(,\s\6(→))2－2\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))2≥2\o(,\s\6(→))|·\o(,\s\6(→))|－2\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝6，∴\o(,\s\6(→))＝\r(6).高頻考點(diǎn)三平面向量及三角函數(shù)例3、在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量m＝\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(，)，x∈\b\\(\\)(\a\4\\1(0，\f(π,2))).(1)若m⊥n，求的值；(2)若m及n的夾角為\f(π,3)，求x的值．解(1)因?yàn)閙＝\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(，)，m⊥n.所以m·n＝0，即\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)＝0，所以＝，所以＝1.(2)因?yàn)椋剑?，所以m·n＝\f(π,3)＝\f(1,2)，即\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)＝\f(1,2)，所以\b\\(\\)(\a\4\\1(x－\f(π,4)))＝\f(1,2)，因?yàn)?<x<\f(π,2)，所以－\f(π,4)<x－\f(π,4)<\f(π,4)，所以x－\f(π,4)＝\f(π,6)，即x＝\f(5π,12).【感悟提升】平面向量及三角函數(shù)的綜合問(wèn)題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解．(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過(guò)向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等．【變式探究】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量\o(,\s\6(→))＝(3α，α)，\o(,\s\6(→))＝(2α，5α－4α)，α∈\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(3π,2)，2π))，且\o(,\s\6(→))⊥\o(,\s\6(→))，則α的值為()A．－\f(4,3) B．－\f(4,5)\f(4,5) \f(3,4)答案A高頻考點(diǎn)四向量在平面幾何中的應(yīng)用例4、已知O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))＋λ(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))，λ∈(0，＋∞)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△的()A．內(nèi)心 B．外心C．重心 D．垂心答案C解析由原等式，得\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))＝λ(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))，即\o(,\s\6(→))＝λ(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))，根據(jù)平行四邊形法則，知\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))是△的中線(D為的中點(diǎn))所對(duì)應(yīng)向量\o(,\s\6(→))的2倍，所以點(diǎn)P的軌跡必過(guò)△的重心．【感悟提升】解決向量及平面幾何綜合問(wèn)題，可先利用基向量或坐標(biāo)系建立向量及平面圖形的聯(lián)系，然后通過(guò)向量運(yùn)算研究幾何元素之間的關(guān)系．【變式探究】(1)在平行四邊形中，＝1，∠＝60°，E為的中點(diǎn)．若\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝1，則＝.(2)平面四邊形中，\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝0，(\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→)))·\o(,\s\6(→))＝0，則四邊形是()A．矩形 B．梯形C．正方形 D．菱形答案(1)\f(1,2)(2)D解析(1)在平行四邊形中，取的中點(diǎn)F，則\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))，∴\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))－\f(1,2)\o(,\s\6(→))，又∵\(yùn)o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))，∴\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))·(\o(,\s\6(→))－\f(1,2)\o(,\s\6(→)))＝\o(,\s\6(→))2－\f(1,2)\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))－\f(1,2)\o(,\s\6(→))2＝\o(,\s\6(→))|2＋\f(1,2)\o(,\s\6(→))\o(,\s\6(→))60°－\f(1,2)\o(,\s\6(→))|2＝1＋\f(1,2)×\f(1,2)\o(,\s\6(→))|－\f(1,2)\o(,\s\6(→))|2＝1.∴\b\\(\\)(41(f(1,2)－|\o(,\s\6(→))|))\o(,\s\6(→))|＝0，又\o(,\s\6(→))|≠0，∴\o(,\s\6(→))|＝\f(1,2).(2)\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝0?\o(,\s\6(→))＝－\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))?平面四邊形是平行四邊形，(\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→)))·\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝0?\o(,\s\6(→))⊥\o(,\s\6(→))，所以平行四邊形是菱形．高頻考點(diǎn)五、向量在解析幾何中的應(yīng)用例5、(1)已知向量\o(,\s\6(→))＝(k,12)，\o(,\s\6(→))＝(4,5)，\o(,\s\6(→))＝(10，k)，且A、B、C三點(diǎn)共線，當(dāng)k<0時(shí)，若k為直線的斜率，則過(guò)點(diǎn)(2，－1)的直線方程為．(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為圓(x－2)2＋y2＝3的圓心，且圓上有一點(diǎn)M(x，y)滿足\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝0，則\f()＝.答案(1)2x＋y－3＝0(2)±\r(3)解析(1)∵\(yùn)o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))＝(4－k，－7)，\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))＝(6，k－5)，且\o(,\s\6(→))∥\o(,\s\6(→))，∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，解得k＝－2或k＝11.由k<0可知k＝－2，則過(guò)點(diǎn)(2，－1)且斜率為－2的直線方程為y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.(2)∵\(yùn)o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝0，∴⊥，∴是圓的切線，設(shè)的方程為y＝，由\f(|2,\r(1＋k2))＝\r(3)，得k＝±\r(3)，即\f()＝±\r(3).【感悟提升】向量在解析幾何中的作用：(1)載體作用，向量在解析幾何問(wèn)題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問(wèn)題關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算，脫去“向量外衣”；(2)工具作用，利用a⊥b?a·b＝0；a∥b?a＝λb(b≠0)，可解決垂直、平行問(wèn)題．【變式探究】已知圓C：(x－2)2＋y2＝4，圓M：(x－2－5θ)2＋(y－5θ)2＝1(θ∈R)，過(guò)圓M上任意一點(diǎn)P作圓C的兩條切線，，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，則\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))的最小值是()A．5 B．6C．10 D．12答案B解析圓(x－2)2＋y2＝4的圓心C(2,0)，半徑為2，圓M(x－2－5θ)2＋(y－5θ)2＝1，圓心M(2＋5θ，5θ)，半徑為1，∵＝5＞2＋1，故兩圓相離．如圖所示，設(shè)直線和圓M交于H，G兩點(diǎn)，則\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))最小值是\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))，＝－1＝5－1＝4，＝\r(2－2)＝\r(16－4)＝2\r(3)，∠＝\f()＝\f(1,2)，∴∠＝2∠＝1－22∠＝\f(1,2)，\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))|·\o(,\s\6(→))∠＝2\r(3)×2\r(3)×\f(1,2)＝6，故選B.高頻考點(diǎn)六向量的綜合應(yīng)用例6、(1)已知x，y滿足\b\\{\\(\a\4\\1(y≥x，＋y≤2，≥a，))若\o(,\s\6(→))＝(x,1)，\o(,\s\6(→))＝(2，y)，且\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))的最大值是最小值的8倍，則實(shí)數(shù)a的值是()A．1 \f(1,3)\f(1,4) \f(1,8)(2)函數(shù)y＝(ωx＋φ)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，M、N分別是最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝0，則函數(shù)f(x)的最小正周期是．答案(1)D(2)3(2)由圖象可知，\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(1,2)，1))，\b\\(\\)(\a\4\\1(，－1))，所以\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(1,2)，1))·(，－1)＝\f(1,2)－1＝0，解得＝2，所以函數(shù)f(x)的最小正周期是2×\b\\(\\)(\a\4\\1(2－\f(1,2)))＝3.【感悟提升】利用向量的載體作用，可以將向量及三角函數(shù)、不等式結(jié)合起來(lái)，解題時(shí)通過(guò)定義或坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題的條件結(jié)論明晰化．【變式探究】在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)A，B滿足\o(,\s\6(→))|＝\o(,\s\6(→))|＝\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝2，則點(diǎn)集{\o(,\s\6(→))＝λ\o(,\s\6(→))＋μ\o(,\s\6(→))，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的區(qū)域面積是()A．2\r(2) B．2\r(3)C．4\r(2) D．4\r(3)答案D解析由\o(,\s\6(→))|＝\o(,\s\6(→))|＝\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝2，知〈\o(,\s\6(→))，\o(,\s\6(→))〉＝\f(π,3).當(dāng)λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1時(shí)，在△中，取\o(,\s\6(→))＝λ\o(,\s\6(→))，過(guò)點(diǎn)C作∥交于點(diǎn)D，作∥交于點(diǎn)E，顯然\o(,\s\6(→))＝λ\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)).由于\f()＝\f()，\f()＝\f(2－2λ,2)，∴\o(,\s\6(→))＝(1－λ)\o(,\s\6(→))，∴\o(,\s\6(→))＝λ\o(,\s\6(→))＋(1－λ)\o(,\s\6(→))＝λ\o(,\s\6(→))＋μ\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))，∴λ＋μ＝1時(shí)，點(diǎn)P在線段上，∴λ≥0，μ≥0，λ＋μ≤1時(shí)，點(diǎn)P必在△內(nèi)(包括邊界)．考慮|λ|＋|μ|≤1的其他情形，點(diǎn)P構(gòu)成的集合恰好是以為一邊，以，為對(duì)角線一半的矩形，其面積為S＝4S△＝4×\f(1,2)×2×2\f(π,3)＝4\r(3).1.【2016高考江蘇卷】如圖，在中，是的中點(diǎn)，是上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，，則的值是▲.【答案】【2015高考山東，理4】已知菱形的邊長(zhǎng)為，,則（）（A）（B）（C）34a2（D）32a2【答案】D【解析】因?yàn)楣蔬xD.【2015高考陜西，理7】對(duì)任意向量，下列關(guān)系式中不恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【2015高考四川，理7】設(shè)四邊形為平行四邊形，，.若點(diǎn)M，N滿足，，則（）（A）20（B）15（C）9（D）6【答案】C【解析】，所以，選C.【2015高考安徽，理8】是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】如圖，由題意，，則，故錯(cuò)誤；，所以，又，所以，故錯(cuò)誤；設(shè)中點(diǎn)為，則，且，而，所以，故選D.【2015高考福建，理9】已知，若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21【答案】A【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，即，所以，，因此，因?yàn)?，所以的最大值等于，?dāng)，即時(shí)取等號(hào)．【2015高考天津，理14】在等腰梯形中,已知,動(dòng)點(diǎn)和分別在線段和上,且,則的最小值為.【答案】【解析】因?yàn)?，，，，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)的最小值為.1．（2014·北京卷）已知向量a，b滿足＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，則|λ|＝．【答案】\r(5)【解析】∵λa＋b＝0，∴λa＝－b，∴|λ|＝\f()＝\f(\r(5),1)＝\r(5).2．（2014·湖北卷）設(shè)向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，則實(shí)數(shù)λ＝．【答案】±3【解析】因?yàn)閍＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.3．（2014·江西卷）已知單位向量e1及e2的夾角為α，且α＝\f(1,3)，向量a＝3e1－2e2及b＝3e1－e2的夾角為β，則β＝．【答案】\f(2\r(2),3)4．（2014·全國(guó)卷）若向量a，b滿足：＝1，(a＋b)⊥a，(＋b)⊥b，則|＝()A．2\r(2)C．1\f(\r(2),2)【答案】B【解析】因?yàn)?a＋b)⊥a，所以(a＋b)＝0，即2＋＝因?yàn)?＋b)⊥b，所以(＋b)＝0，即b＋2＝0，及2＋＝0聯(lián)立，可得－2＝0，所以＝\r(2)＝\r(2).5．（2014·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ]設(shè)向量a，b滿足＋＝\r(10)，－＝\r(6)，則＝()A．1B．2C．3D．5【答案】A【解析】由已知得＋2＝10，－2＝6，兩式相減，得4a·b＝4，所以a·b＝1.6．（2014·山東卷）在△中，已知\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝A，當(dāng)A＝\f(π,6)時(shí)，△的面積為．【答案】\f(1,6)【解析】因?yàn)椤ぃ絓o(,\s\6(→))|·\o(,\s\6(→))A＝A，且A＝\f(π,6)，所以\o(,\s\6(→))|·\o(,\s\6(→))|＝\f(2,3)，所以△的面積S＝\f(1,2)\o(,\s\6(→))|·\o(,\s\6(→))A＝\f(1,2)×\f(2,3)×\f(π,6)＝\f(1,6).7．（2014·天津卷）已知菱形的邊長(zhǎng)為2，∠＝120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，＝λ，＝μ.若\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝1，\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝－\f(2,3)，則λ＋μ＝()\f(1,2)\f(2,3)\f(5,6)\f(7,12)【答案】C【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A(－1，0)，B(0，－\r(3))，C(1，0)，D(0，\r(3))．設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)．由＝λ得(x1，y1＋\r(3))＝λ(1，\r(3))，解得\b\\{(\a\4\\1(x1＝λ，1＝\r(3)（λ－1），))即點(diǎn)E(λ，\r(3)(λ－1))．由\o(,\s\6(→))＝μ\o(,\s\6(→))得(x2，y2－\r(3))＝μ(1，－\r(3))，解得\b\\{(\a\4\\1(x2＝μ，2＝\r(3)（1－μ），))即點(diǎn)F(μ，\r(3)(1－μ))．又∵·＝(λ＋1，\r(3)(λ－1))·(μ＋1，\r(3)(1－μ))＝1，①\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝(λ－1,\r(3)(λ－1))·(μ－1,\r(3)(1－μ))＝－\f(2,3).②①－②得λ＋μ＝\f(5,6).8．(2013年高考湖北卷)已知點(diǎn)A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，則向量\o(,\s\10(→))在\o(,\s\10(→))方向上的投影為()\f(3\r(2),2) \f(3\r(15),2)C．－\f(3\r(2),2) D．－\f(3\r(15),2)9．(2013年高考湖南卷)已知a，b是單位向量，a·b＝0.若向量c滿足－a－＝1，則的取值范圍是()A．[\r(2)－1，\r(2)＋1] \b\\[\\](\a\4\\1(\r(2)－1，\r(2)＋2))C．[1，\r(2)＋1] D．[1，\r(2)＋2]解析：由a，b為單位向量且a·b＝0，可設(shè)a＝(1,0)，b＝(0,1)，又設(shè)c＝(x，y)，代入－a－＝1得(x－1)2＋(y－1)2＝1，又＝\r(x2＋y2)，故由幾何性質(zhì)得\r(12＋12)－1≤≤\r(12＋12)＋1，即\r(2)－1≤≤\r(2)＋1.答案：A10．(2013年高考遼寧卷)設(shè)向量a＝(\r(3)x，x)，b＝(x，x)，x∈\b\\[\\](\a\4\\1(0，\f(π,2))).(1)若＝，求x的值；(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．解析：(1)由2＝(\r(3)x)2＋(x)2＝42x，2＝(x)2＋(x)2＝1，及＝，得42x＝1.又x∈\b\\[\\](\a\4\\1(0，\f(π,2)))，從而x＝\f(1,2)，所以x＝\f(π,6).(2)f(x)＝a·b＝\r(3)x·x＋2x＝\f(\r(3),2)2x－\f(1,2)2x＋\f(1,2)＝\b\\(\\)(\a\4\\1(2x－\f(π,6)))＋\f(1,2)，當(dāng)x＝\f(π,3)∈[0，\f(π,2)]時(shí)，\b\\(\\)(\a\4\\1(2x－\f(π,6)))取最大值1.所以f(x)的最大值為\f(3,2).11．(2013年高考陜西卷)已知向量a＝\b\\(\\)(\a\4\\1(x，－\f(1,2)))，b＝(\r(3)x，2x)，x∈R，設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在\b\\[\\](\a\4\\1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．解析：f(x)＝\b\\(\\)(\a\4\\1(x，－\f(1,2)))·(\r(3)x，2x)＝\r(3)x－\f(1,2)2x＝\f(\r(3),2)2x－\f(1,2)2x＝\f(π,6)2x－\f(π,6)2x＝\b\\(\\)(\a\4\\1(2x－\f(π,6))).(1)f(x)的最小正周期為T＝\f(2π,ω)＝\f(2π,2)＝π，即函數(shù)f(x)的最小正周期為π.(2)∵0≤x≤\f(π,2)，∴－\f(π,6)≤2x－\f(π,6)≤\f(5π,6).由正弦函數(shù)的性質(zhì)，知當(dāng)2x－\f(π,6)＝\f(π,2)，即x＝\f(π,3)時(shí)，f(x)取得最大值1.當(dāng)2x－\f(π,6)＝－\f(π,6)，即x＝0時(shí)，f(x)取得最小值－\f(1,2).因此，f(x)在[0，\f(π,2)]上的最大值是1，最小值是－\f(1,2).1．若向量a，b滿足＝＝2，a及b的夾角為60°，則＋等于()A．2\r(2＋\r(3)) B．2\r(3)C．4 D．12答案B解析＋2＝2＋2＋260°＝4＋4＋2×2×2×\f(1,2)＝12，＋＝2\r(3).2．已知向量a＝(1，\r(3))，b＝(3，m)．若向量a，b的夾角為\f(π,6)，則實(shí)數(shù)m等于()A．2\r(3) \r(3)C．0 D．－\r(3)答案B解析∵a·b＝(1，\r(3))·(3，m)＝3＋\r(3)m，a·b＝\r(12＋\r(3)2)×\r(32＋m2)×\f(π,6)，∴3＋\r(3)m＝\r(12＋\r(3)2)×\r(32＋m2)×\f(π,6)，∴m＝\r(3).3．設(shè)e1，e2，e3為單位向量，且e3＝\f(1,2)e1＋2(k＞0)，若以向量e1，e2為鄰邊的三角形的面積為\f(1,2)，則k的值為()\f(\r(3),2)\f(\r(2),2)\f(\r(5),2)\f(\r(7),2)答案A4．若O為△所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，且滿足(\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→)))·(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))－2\o(,\s\6(→)))＝0，則△的形狀為()A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形答案C解析因?yàn)?\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→)))·(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))－2\o(,\s\6(→)))＝0，即\o(,\s\6(→))·(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))＝0，∵\(yùn)o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))，∴(\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→)))·(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))＝0，即\o(,\s\6(→))|＝\o(,\s\6(→))|，所以△是等腰三角形，故選C.5.在△中，如圖，若\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))|＝\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))|，＝2，＝1，E，F(xiàn)為邊的三等分點(diǎn)，則\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))等于()\f(8,9)\f(10,9)\f(25,9)\f(26,9)答案B解析若\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))|＝\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))|，則\o(,\s\6(→))2＋\o(,\s\6(→))2＋2\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))2＋\o(,\s\6(→))2－2\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))，即有\(zhòng)o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝0，F(xiàn)為邊的三等分點(diǎn)，則\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))·(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))＝\b\\(\\)(41(o(6(→))＋\f(1,3)\o(,\s\6(→))))·\b\\(\\)(41(o(6(→))＋\f(1,3)\o(,\s\6(→))))＝\b\\(\\)(41(f(2,3)\o(,\s\6(→))＋\f(1,3)\o(,\s\6(→))))·\b\\(\\)(41(f(1,3)\o(,\s\6(→))＋\f(2,3)\o(,\s\6(→))))＝\f(2,9)\o(,\s\6(→))2＋\f(2,9)\o(,\s\6(→))2＋\f(5,9)\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝\f(2,9)×(1＋4)＋0＝\f(10,9).故選B.6．在△中，M是的中點(diǎn)，＝3，點(diǎn)P在上，且滿足\o(,\s\6(→))＝2\o(,\s\6(→))，則\o(,\s\6(→))·(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))的值為．答案－4解析由題意得，＝2，＝1，所以\o(,\s\6(→))·(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))＝\o(,\s\6(→))·2\o(,\s\6(→))＝2×2×1×180°＝－4.7．如圖，在△中，O為中點(diǎn)，若＝1，＝3，〈\o(,\s\6(→))，\o(,\s\6(→))〉＝60°，則\o(,\s\6(→))|＝.答案\f(\r(13),2)解析因?yàn)椤碶o(,\s\6(→))，\o(,\s\6(→))〉＝60°，所以\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))|·\o(,\s\6(→))60°＝1×3×\f(1,2)＝\f(3,2)，又\o(,\s\6(→))＝\f(1,2)(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))，所以\o(,\s\6(→))2＝\f(1,4)(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))2＝\f(1,4)(\o(,\s\6(→))2＋2\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))2)，所以\o(,\s\6(→))2＝\f(1,4)(1＋3＋9)＝\f(13,4)，所以\o(,\s\6(→))|＝\f(\r(13),2).8．在△中，若\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))，則點(diǎn)O是△的(填“重心”、“垂心”、“內(nèi)心”、“外心”)．答案垂心解析∵\(yùn)o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))，∴\o(,\s\6(→))·(\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→)))＝0，∴\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝0，∴⊥，即為△底邊上的高所在直線．同理\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝0，\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝0，故O是△的垂心．9．已知＝4，＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a及b的夾角θ；(2)求＋；(3)若\o(,\s\6(→))＝a，\o(,\s\6(→))＝b，求△的面積．解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴42－4a·b－32＝61.又∵＝4，＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴θ＝\f(a·)＝\f(－6,4×3)＝－\f(1,2)，又∵0≤θ≤π，∴θ＝\f(2π,3).(2)＋2＝(a＋b)2＝2＋2a·b＋2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴＋＝\r(13).(3)∵\(yùn)o(,\s\6(→))及\o(,\s\6(→))的夾角θ＝\f(2π,3)，∴∠＝π－\f(2π,3)＝\f(π,3).又\o(,\s\6(→))|＝＝4，\o(,\s\6(→))|＝＝3，∴S△＝\f(1,2)\o(,\s\6(→))\o(,\s\6(→))∠＝\f(1,2)×4×3×\f(\r(3),2)＝3\r(3).10．在△中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m＝((A－B)，(A－B))，n＝(，－)，且m·n＝－\f(3,5).(1)求的值；(2)若a＝4\r(2)，b＝5，求角B的大小及向量\o(,\s\6(→))在\o(,\s\6(→))方向上的投影．解(1)由m·n＝－\f(3,5)，得(A－B)－(A－B)＝－\f(3,5)，所以＝－\f(3,5).因?yàn)?＜A＜π，所以＝\r(1－2A)＝\r(1－\b\\(\\)(\a\4\\1(－\f(3,5)))2)＝\f(4,5).11．已知點(diǎn)P(0，－3)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)Q在y軸的正半軸上，點(diǎn)M滿足\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝0，\o(,\s\6(→))＝－\f(3,2)\o(,\s\6(→))，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．解設(shè)M(x，y)為所求軌跡上任一點(diǎn)，設(shè)A(a,0)，Q(0，b)(b＞0)，則\o(,\s\6(→))＝(a,3)，\o(,\s\6(→))＝(x－a，y)，\o(,\s\6(→))＝(－x，b－y)，由\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝0，得a(x－a)＋3y＝0.①由\o(,\s\6(→))＝－\f(3,2)\o(,\s\6(→))，得(x－a，y)＝－\f(3,2)(－x，b－y)＝\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(3,2)x，\f(3,2)y－b))，∴\b\\{\\(\a\4\\1(x－a＝\f(3,2)x，＝\f(3,2)y－\f(3,2)b，))∴\b\\{\\(\a\4\\1(a＝－\f(x,2)，＝\f(y,3).))∴b＞0，y＞0，把a(bǔ)＝－\f(x,2)代入①，得－\f(x,2)\b\\(\\)(\a\4\\1(x＋\f(x,2)))＋3y＝0，整理得y＝\f(1,4)x2(x≠0)．所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為y＝\f(1,4)x2(x≠0)．12．已知向量a＝\b\\(\\)(\a\4\\1(，\f(3,4)))，b＝(，－1)．(1)當(dāng)a∥b時(shí)，求2x－2x的值；(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a＝\r(3)，b＝2，＝\f(\r(6),3)，求f(x)＋4\b\\(\\)(\a\4\\1(2A＋\f(π,6)))\b\\(\