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文檔簡介
第十三章軸對稱專項突破練5構(gòu)造等腰三角形的常見輔助線類型1作底邊中線、高(三線合一)1.
[2024周口月考]如圖，等邊三角形
ABC
的邊長為12，
D
是
AC
邊上一點，
AD
＝4，
DE
∥
AB
交
BC
于點
E
，連接
AE
，
F
是
BC
上的一點，
AF
＝
AE
，則
EF
的長為(
A
)A.4B.5C.2D.3A234567812.
[2023大連模擬]如圖，在△
ABC
中，∠
C
＝90°，
CB
＝
CA
＝6，
F
是
AB
邊上的中點，點
D
，
E
分別在
AC
，
BC
邊上運動，且保持
AD
＝
CE
.
連接
DE
，
DF
，
EF
，則
△
CDE
面積的最大值為
?.
23456781點撥：連接
CF
.
∵在△
ABC
中，∠
ACB
＝90°，
CB
＝
CA
＝6，點
F
是
AB
的中點，∴∠
FCB
＝∠
FCA
＝∠
A
＝45°，∴
CF
＝
AF
.
∵
AD
＝
CE
，∴△
ADF
≌△
CEF
，∴
S△
CEF
＝
S△
ADF
，∴
S四邊形
CEFD
＝
S△
AFC
，∴
S△
CDE
＝
S四邊形
CEFD
－
S△
DEF
＝
S△
AFC
－
S△
DEF
.
∵
S△
AFC
為定值，∴要使△
CDE
的面積最大，則需△
DEF
的面積最小.23456781
∵△
ADF
≌△
CEF
，∴
EF
＝
DF
，∠
CFE
＝∠
AFD
.
234567813.
如圖，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
D
是
BC
的中點，過點
A
作
EF
∥
BC
，且
AE
＝
AF
.
求證：(1)
DE
＝
DF
；證明：(1)連接
AD
.
∵
AB
＝
AC
，點
D
為
BC
的中點，∴
AD
⊥
BC
，∴∠
ADB
＝90°.∵
EF
∥
BC
，∴∠
DAF
＝∠
ADB
＝90°，∴
AD
⊥
EF
.
∵
AE
＝
AF
，∴
AD
垂直平分
EF
，∴
DE
＝
DF
.
234567813.
如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，過
點A
作EF∥BC，且AE＝AF.
求證：(2)BG＝CH.
23456781類型2作平行線4.
如圖，點
D
在等邊三角形
ABC
的邊
AB
上，延長
BC
至點
E
使
CE
＝
AD
，連接
DE
，交
AC
于點
F
.
求證：
FE
＝
FD
.
23456781
234567815.
[2024滄州期末]如圖，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
D
為
CA
延長線上一點，且
DE
⊥
BC
交
AB
于點
F
.
若
AD
＝
AF
，
F
為
AB
的中點.求證：
DF
＝2
FE
.
23456781
23456781類型3截長補短法作輔助線6.
[2023秦皇島模擬]如圖，在△
ABC
中，∠
B
＝2∠
C
，∠
BAC
的平分線
AD
交
BC
于點
D
.
求證：
AB
＋
BD
＝
AC
.
23456781
234567817.
如圖，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
D
是△
ABC
外一點，且
∠
ABD
＝60°，∠
ACD
＝60°.求證：
BD
＋
DC
＝
AB
.
23456781證明：如圖，延長
BD
到點
F
，使
BF
＝
BA
，連接
AF
，
CF
.
∵∠
ABD
＝60°，∴△
ABF
為等邊三角形，∴
AF
＝
AB
＝
BF
，∠
AFB
＝60°，∵
AB
＝
AC
，∴
AF
＝
AC
，∴∠
ACF
＝∠
AFC
.
又∵∠
ACD
＝60°，∴∠
AFB
＝∠
ACD
＝60°，23456781∴∠
DFC
＝∠
DCF
，∴
DC
＝
DF
.
∴
BD
＋
DC
＝
BD
＋
DF
＝
BF
＝
AB
，即
BD
＋
DC
＝
AB
.
23456781類型4倍長中線法作輔助線8.
[2024北京西城區(qū)期末]在△
ABC
中，
AB
＜
AC
，點
D
在
△
ABC
的內(nèi)部，
CD
＝
AB
，∠
DBA
＝∠
DCA
.
(1)如圖①，線段
BD
的延長線交
AC
于點
E
，且
BE
⊥
AC
.
①求∠
DAE
的度數(shù)；②用等式表示線段
AC
，
BD
，
DE
之間的數(shù)量關(guān)系，
并說明理由.23456781(1)解：①∵
BE
⊥
AC
，∴∠
AEB
＝∠
DEC
＝90°.∵
AB
＝
DC
，∠
EBA
＝∠
ECD
，∴△
AEB
≌△
DEC
(AAS)，∴
AE
＝
DE
，∴∠
DAE
＝∠
ADE
＝45°.②
AC
＝
BD
＋2
DE
.
理由如下：∵△
AEB
≌△
DEC
，∴
BE
＝
CE
.
∵
AE
＝
DE
，
AC
＝
CE
＋
AE
，
BE
＝
BD
＋
DE
，∴
AC
＝
BE
＋
DE
＝
BD
＋2
DE
.
234567818.
[2024北京西城區(qū)期末]在△
ABC
中，
AB
＜
AC
，點
D
在
△
ABC
的內(nèi)部，
CD
＝
AB
，∠
DBA
＝∠
DCA
.
(2)如圖②，點
F
在線段
DB
的延長線上，連接
CF
，交射
線
AD
于點
M
，且
M
為
CF
的中點.
求證：
DF
＝
AC
.
23456781(2)證明：如圖，延長
AM
到點
N
，使
MN
＝
AM
，連接
FN
，在
CA
上截取
CP
＝
BD
，連接
DP
.
∵
M
為
CF
的中點，∴
MF
＝
MC
.
又∵∠
FMN
＝∠
CMA
，
MN
＝
MA
，∴△
FMN
≌△
CMA
，∴
FN
＝
AC
，∠
FNM
＝∠
CAM
.
23456781∵
AB
＝
DC
，∠
DBA
＝
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