數(shù)學思維與小學數(shù)學教學

。以國際上的相關研究為背景，對小學數(shù)學教 ,即使是十分初等的數(shù)學內容也同樣體現(xiàn)了一些十分重要的數(shù)學思維形式及其特征性質的內容一定要充分考慮數(shù)學發(fā)展進程中人類的活動軌跡，貼近學生熟悉的現(xiàn)實生活，不統(tǒng)數(shù)學教育嚴重脫離實際的弊病而言，這一做法是完全正確的；但是，從更為深入事實上，即使就最為初等的數(shù)學內容而言，我們也可清楚地看到數(shù)學的抽象特例如，在幾何題材的教學中，無論是教師或學生都清楚地知道，我們的研究對象并非教師手中的那個木制三角尺，也不是在黑板上或紙上所畫的那個具體的三角形，而正整數(shù)加減法顯然具有多種不同的現(xiàn)實原型，如加法所對應的既可能是兩個量可能是同一個量的增加性變化，同樣地，減法所對應的既可能是兩個量的比較同一個量的減少性變化；然而，在相應的數(shù)學表達式中所說的現(xiàn)實意義、包括不同的量（兩個加數(shù)與它們的和，或被減數(shù)、減數(shù)與它們的差），因此，從純數(shù)學的角度去分析，我們完全可以提出這樣的問題，即如何依據(jù)其中的任意兩個量去求取第三個的量化模式”綜上可見，即使就正整數(shù)的加減法此類十分初等的題材而言，就已十分清楚地體思維的一些重要特點，特別是體現(xiàn)了在現(xiàn)實意義與純數(shù)學研究這兩者之間所存在的辯證關系。當然，從理論的角度看，我們在此又應考慮這樣的問題，即應當如何去認識所說的要性，或是應當唯一地堅持立足于現(xiàn)實生活由于后一問題的全面分析已經超出了本文的范圍定程度上的分離對于學生很好地把握相應的數(shù)量關系是十分重要的。這正是國際上的一般地說，學校中的數(shù)學學習就是對學生經由日常生活所形成重組、擴展和組織化的過程，這就意味著由孤立的數(shù)學事實過渡到了系統(tǒng)的然還未接受正式教導，但所具備的數(shù)學知識卻比預料的多……他們所需要的幫助是從（學校教學）活動中組織和鞏固他們的非正規(guī)知識，同時需擴展他們這種知識，使其與我們種不同的集合進行計數(shù)，也可以用同樣的數(shù)去對各種不同的量進行度量?！M管運算(等）所涉及的方面十分豐富，但又始終是同一個運算──這即是借助于算法所表明的事實。作為計算者人們容易忘記其所涉及的數(shù)以及但是，為了真正理解這種存在于多樣性之中的簡單性，在計算的同時我們又必須能夠由算現(xiàn)實原型抽象出相應的數(shù)學概念或問題，而且也包括了對于數(shù)量關系的純數(shù)學研究，整體結構的廣闊途徑……情境和模型，問題與求解這些活動作為必不可少的局部手段是重由以下關于算術思維基本形式的分析可以看出，是算術和代數(shù)中有不少概念在最初是作為一個過程得到引進的，但最終卻又轉化成對象──對此我們不僅可以具體地研究它們的性質，也可以此為直接對象去施行進一步的由兩個加數(shù)（被減數(shù)與減數(shù)）我們就可求得相些運算又逐漸獲得了新的意義：它們已不再僅僅被看成一個過程，而且也被認為定的數(shù)學對象，我們可具體地去指明它們所具有的各種性質，如交換律、結合律等，從而分數(shù)的掌握而言我們不應停留于整數(shù)的除法這樣一種運算，而應將其直接看成一種數(shù)，我們可以此為對象去實施加減乘除等運算可以按照結構的建構來考慮，而這種建構始終是完全開放的……當數(shù)學實體從一個水平轉為理論研究的對象，這個過程在一直重復下去，直到我們達到了一種結構為止，這種；（；（用思維去把握原先的視覺性程序，后者則是指將相應的過程壓縮成更小的單元，從而就可從整體上對所說的過程作出描述或進行反思──我們在此不僅不需要實際地去實施相關的運作，還可從更高的抽象水平對整個過程的性質作出分析；另外，相對于前兩個階段而言變成了一個靜止的對象。容易看出，上述的分析對于我們改進教學也具有重要的指導意義同一概念心理表征的不同側面，我們應善于依據(jù)不同 ；（ ,這集中地體現(xiàn)于相應的符號表達式：它既可以代表所說的運作過程，也可以代表經由凝過程或概念。特殊地，數(shù)學中常常會用幾種不同的符號去表征同一個對象，從而，在這樣于數(shù)學的特殊重要性。以下再以有理數(shù)的學習為例對此作出進一具體地說，與加減法一樣，有理數(shù)的概念也存在多種不同的解釋，如部分與整體的關系，商，算子或函數(shù)，度量，等等；但是，正如人們所已普遍認識到了的，就有理言，關鍵恰又在于不應停留于某種特定的解釋，更不能將各種解釋看成互不相立的；而應對有理數(shù)的各種解釋（或者說，相應的心理建構）很好地加以整合將所有這些解釋都看成同一概念的不同側面，并能根據(jù)情況與需要在這些解釋之間靈活地作出必要的轉換造成一定的學習困難、甚至是嚴重的概念錯誤。例如，如果局限于上述的其次，我們應注意不同表述形式之間的相互補這也正是新一輪數(shù)學課程改革的一個重要特征，即突出強調學生的動手實作交流是學生學習數(shù)學的重要方式……教師應激發(fā)學生的學習積極性，向學生提供充分從事數(shù)學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學括感性經驗）構成了數(shù)學認識活動的重要基礎，合作交流顯然應被看成學習活動社會性質的直接體現(xiàn)和必然要求，因此，從這樣的角度去分析，上述的主張就是完全合理的；然而，需要強調的是，除去對于各種學習方式與表述形式的直接肯定以外，我們應更加重視在不同學習方式或表述形式之間所存在的重要聯(lián)系與必要互補。這正如美國學者萊許(圖像，書面語言、符號語言、現(xiàn)實情景等──同樣也發(fā)揮了十分重要的作用。再次，我們應清楚地看到解題方法的多樣性及學生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多樣的，教師應當尊重學生的想法，化的同時，我們還應明確肯定思維優(yōu)化的必要性，這就是說，我們不應停留于對于法在數(shù)量上的片面追求，而應通過多種方法的比較幫助學生學會鑒別什么是較好的方法，包括如何依據(jù)不同的情況靈活地去應用各種不同的方法。顯然，后者事實上也就從識的深化不斷發(fā)展起新的數(shù)學直覺。在筆者看來，我們應當從這樣的角度去理解《課和現(xiàn)象數(shù)量方面的某種敏感性，包括能對數(shù)的相對大小作出迅速、直接的判斷，以及根據(jù)需要作出迅速的估算。當然，作為問題的另牢固地掌握相應的數(shù)學基本知識與基本技能的重要性，特別是，在需要的時候能對客物和現(xiàn)象的數(shù)量方面作出準確的刻畫和計算，并能對運算的合理性作出適當?shù)恼f明──顯跑不遠、走不遠，更不能騰飛……可是你要一引進代數(shù)方法，這些東西就都變成了不必要的、平平淡淡的。你就可以做了，而且每個人都可以做，用不著天才人物想出許個基本事實，即一種重要算法的形成往往就標志著數(shù)學的重要進