96三定問題及最值問題（提升）

9.6三定問題及最值問題（提升）1．（2021·上海黃浦·格致中學(xué)高三月考）已知點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離的2倍，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）斜率為的直線與曲線交于兩個(gè)不同點(diǎn)，若直線不過點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，求的數(shù)值；（3）設(shè)點(diǎn)為曲線的上頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于點(diǎn)的任意兩點(diǎn)，若直線與的斜率的乘積為常數(shù)，試判斷直線是否經(jīng)過定點(diǎn)，若經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）0；（3）經(jīng)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離的2倍，所以，化簡(jiǎn)得曲線C的方程為：；（2）因?yàn)橹本€的斜率為，且直線不過點(diǎn)，所以設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程組，得，又交點(diǎn)為，所以，因?yàn)?，所以；?）由（1）得，由題意，直線的斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為，聯(lián)立方程組，得，設(shè)，所以，則，所以，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)．2．（2021·吉林凈月高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)開發(fā)區(qū)·東北師大附中高三月考（理））橢圓與拋物線有一個(gè)公共焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的方程及其離心率；（2）直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，是否存在點(diǎn)滿足，，若存在，求出的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】（1），；（2）存在，或.【解析】（1）由題意，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為即在橢圓中，，將點(diǎn)代入曲線的方程，得由得，，，則橢圓的方程為則橢圓的離心率（2）存在符合要求的點(diǎn).直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，聯(lián)立方程，整理得設(shè)，兩點(diǎn)坐標(biāo)為，，則，，得∵點(diǎn)滿足且，的重心在圓上，，即，，，即，，，令，則，則，或3．（2021·上海閔行中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖，直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)、，且（為定值），線段的中點(diǎn)為，與直線平行的拋物線的切線的切點(diǎn)為．（1）用、表示出點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明垂直于軸；，（2）求的面積（只與有關(guān)，與、無關(guān)）；（3）小張所在的興趣小組完成上面兩個(gè)小題后，小張連、，再作與、平行的切線，切點(diǎn)分別為、，小張馬上寫出了、的面積，由此小張求出了直線與拋物線圍成的面積，你認(rèn)為小張能做到嗎？請(qǐng)你說出理由．【答案】（1），，證明見解析；（2）；（3）能，面積為.【解析】（1）由直線與拋物線，得，，，點(diǎn)設(shè)切線方程為，代入拋物線方程可得，得，所以，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，切線為，所以由于、的橫坐標(biāo)相同，垂直于軸．（2），．．的面積與、無關(guān)，只與有關(guān)．（3）由（1）知垂直于軸，，由（2）可得、的面積只與有關(guān)，將中的換成，可得．記，，按上面構(gòu)造三角形的方法，無限的進(jìn)行下去，可以將拋物線與線段所圍成的封閉圖形的面積，看成無窮多個(gè)三角形的面積的和，即數(shù)列的無窮項(xiàng)和，此數(shù)列公比為，封閉圖形的面積4．（2021·廣東荔灣·高三月考）已知拋物線：，點(diǎn)M在拋物線C上，點(diǎn)N在x軸的正半軸上，等邊的邊長(zhǎng)為.（1）求C的方程；（2）若平行軸的直線交直線OM于點(diǎn)P，交拋物線C于點(diǎn)，點(diǎn)T滿足，，判斷直線TM與拋物線C的位置關(guān)系，并說明理由.【答案】（1）；（2）直線與拋物線相切，理由見解析.【解析】（1）等邊的邊長(zhǎng)為，得，代入，解得所以，C的方程為.（2）相切.理由如下；由（1）得C的方程為，.由等邊得，直線的方程為不妨設(shè)直線的方程為，則，設(shè)點(diǎn)，從而，，，由得，由得，，整理得所以由題知.設(shè)直線的斜率為，則則直線的方程為，即與拋物線聯(lián)立得整理得從而所以直線與拋物線相切.5．（2021·河南駐馬店·高三月考（理））已知曲線的方程為，過且與軸垂直的直線被曲線截得的線段長(zhǎng)為.（1）求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，直線，分別交軸于點(diǎn)，.試問在軸上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為.【解析】（1）由知，曲線是，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，設(shè)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因過且與軸垂直的直線被曲線截得的線段長(zhǎng)為，于是有，解得，所以曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）假定在軸上存在定點(diǎn)滿足條件，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，①當(dāng)直線不與軸重合時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，由消去x得：，則，解得或，且有，，當(dāng)時(shí)，直線與橢圓相切，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，于是得，且，因，則，，因此，直線：，直線：，設(shè)，，令，解得，，顯然，，，，于是得，，即，②當(dāng)直線與軸重合時(shí)，，解得.綜上所述，存在定點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.6．（2021·吉林長(zhǎng)春·高三一模（理））已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且滿足，.（1）求橢圓的方程；（2）已知過點(diǎn)且不與軸重合的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得.若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】（1）由知，在△中，，，解得，所以橢圓；（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè)直線方程為，設(shè)，消去有，，.因?yàn)?，所以，即，解?所以存在，使得.7．（2021·三亞華僑學(xué)校高三月考）設(shè)點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，離心率．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，是橢圓上的兩點(diǎn)，且（是定值），則線段的垂直平分線是否過定點(diǎn)？若是，求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為．【解析】（1）由于橢圓的離心率，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，解得，所以，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）當(dāng)時(shí)，若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則．由，得，所以，所以，所以，則線段的中心坐標(biāo)為，所以線段的垂直平分線的方程為，即，即，此時(shí)，線段的垂直平分線過定點(diǎn)．若直線垂直于軸，則，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，線段的垂直平分線為軸，過點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，若直線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，則線段的垂直平分線為坐標(biāo)軸，過原點(diǎn)；若直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，其垂直平分線過原點(diǎn)．綜上所述，線段的垂直平分線過定點(diǎn)．8．（2021·海南高三三模）已知直線與拋物線：在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為．(Ⅰ)求拋物線的方程(Ⅱ)過點(diǎn)且斜率為負(fù)的直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)與垂直的直線交于點(diǎn)，且，，不重合，求點(diǎn)B的縱坐標(biāo)的最小值．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)10.【解析】(I)聯(lián)立方程得，可得，因?yàn)辄c(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為，所以，所以，所以拋物線的方程為：．故答案為：．(II)由(I)知，設(shè)，則，因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以，從而所在直線方程為：，聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理可知，，即，令，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值為．故答案為：.9．（2021·江蘇南通·）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且右焦點(diǎn)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，記，若的最大值和最小值分別為，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意可知，，解得，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，.聯(lián)立，消去，得.因?yàn)樵跈E圓內(nèi)部，所以，所以，.則，，，，，所以，，則.∴，即.設(shè)，是的兩根，∴.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，聯(lián)立，得.不妨設(shè)，，則，，.此時(shí)為定值，不存在最大值與最小值.綜上所述：.10．（2021·江蘇海安·高三開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，點(diǎn)M滿足|MF1|＋|MF2|＝，記M的軌跡為C．（1）求C的方程；（2）設(shè)l為圓x2＋y2＝4上動(dòng)點(diǎn)T(橫坐標(biāo)不為0)處的切線，P是l與直線的交點(diǎn)，Q是l與軌跡C的一個(gè)交點(diǎn)，且點(diǎn)T在線段PQ上，求證：以PQ為直徑的圓過定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由題意可知M的軌跡是以F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)為焦點(diǎn)，為長(zhǎng)軸的橢圓，所以，解得，故C的方程為；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，則切線為，所以，所以圓的方程為，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，則切線為，所以，所以圓的方程為，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，則切線為，所以，所以圓的方程為，，解得，所以以PQ為直徑的圓過定點(diǎn)；接下來證明以PQ為直徑的圓過定點(diǎn).顯然切線斜率不為0，故設(shè)切線的方程為，則，所以，到切線的距離，因此，設(shè)，，所以，，因此，因此，所以，因此以PQ為直徑的圓過定點(diǎn).11．（2021·重慶市第十一中學(xué)校高三月考）已知橢圓的焦距為，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與右焦點(diǎn)的連線構(gòu)成正三角形．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求l的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．【解析】（Ⅰ）由題意知，，，，所以橢圓的方程為．（Ⅱ）當(dāng)軸時(shí)不合題意，由題意設(shè)直線，，．聯(lián)立，整理得．當(dāng)，即，且，．從而．又點(diǎn)O到直線MN的距離．所以的面積．設(shè)，則，．因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，且滿足．所以，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，直線的方程為或．12．（2021·岳麓·湖南師大附中高三月考）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知，．（1）求拋物線C的方程；（2）過焦點(diǎn)F作直線l交C于A，B兩點(diǎn)，P為C上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線分別與C的準(zhǔn)線相交于D，E兩點(diǎn)，證明：以線段為直徑的圓經(jīng)過x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線C上，則得，即．因?yàn)?，則．因?yàn)椋瑒t，即，所以，化簡(jiǎn)得，解得，所以拋物線C的方程是．（2）設(shè)直線l的方程為，代入，得．設(shè)點(diǎn)，則．設(shè)點(diǎn)則k，直線的方程為．令，得，所以點(diǎn)．同理，點(diǎn)．設(shè)以線段為直徑的圓與x軸的交點(diǎn)為，則．因?yàn)?，則，即，得或．故以線段為直徑的圓經(jīng)過x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)和．13．（2021·全國(guó)高三月考（理））已知直線過原點(diǎn)，且與圓交于，兩點(diǎn)，，圓與直線相切，與直線垂直，記圓心的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）過直線上任一點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，證明：①直線過定點(diǎn)；②．【答案】（1）；（2）①證明見解析；②證明見解析．【解析】（1）解：如圖，設(shè)，因?yàn)閳A與直線相切，所以圓Ａ的半徑為．由圓的性質(zhì)可得，即，化簡(jiǎn)得．因?yàn)榕c不重合，所以，所以的方程為．（2）證明：①由題意可知，與不重合．如圖，設(shè)，，則，因?yàn)?，所以切線的斜率為，故，整理得．設(shè)，同理可得．所以直線的方程為，所以直線過定點(diǎn)．②因?yàn)橹本€的方程為，由消去得，所以，．又，所以．14．（2021·河南高三開學(xué)考試（文））已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值與最大值之比為，過且垂直于長(zhǎng)軸的橢圓的弦長(zhǎng)為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的直線與橢圓相交的交點(diǎn)、與右焦點(diǎn)所圍成的三角形的內(nèi)切圓面積是否存在最大值？若存在，試求出最大值；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【解析】（1）由題意，橢圓上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值與最大值之比為，可得，即，又由過且垂直于長(zhǎng)軸的橢圓的弦長(zhǎng)為，可得，聯(lián)立方程組，可得：，，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，可得，又因?yàn)?，所以，要使的?nèi)切圓面積最大，只需的值最大，由題意直線斜率不為，設(shè)，，直線，聯(lián)立方程組，整理得，易得，且，，所以，設(shè)，則，設(shè)，可得，所以當(dāng)，即時(shí)，的最大值為，此時(shí)，所以的內(nèi)切圓面積最大為.15．（2021·江蘇蘇州·）橢圓的上頂點(diǎn)A，右焦點(diǎn)F，其