312橢圓性質(zhì)（精講）

3.1.2橢圓性質(zhì)（精講）考點(diǎn)一點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系【例1】（2022·四川省資中縣第二中學(xué)）點(diǎn)在橢圓的外部，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的外部，所以,解得,故選：B.【一隅三反】1．（2021·江西）連續(xù)擲兩次股子，以先后得到的點(diǎn)數(shù)為點(diǎn)的坐標(biāo)，那么點(diǎn)在橢圓內(nèi)部的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】連續(xù)擲兩次骰子，構(gòu)成的點(diǎn)的坐標(biāo)有個(gè)，滿足的有，共2個(gè)，∴概率為：.故選：B.2．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)P(4cosα，2sinα)(α∈R)與橢圓C：＋＝1的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)P在橢圓C上 B．點(diǎn)P與橢圓C的位置關(guān)系不能確定，與α的取值有關(guān)C．點(diǎn)P在橢圓C內(nèi) D．點(diǎn)P在橢圓C外【答案】D【解析】將P的坐標(biāo)代入到橢圓方程的左邊，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可判斷點(diǎn)和橢圓的位置關(guān)系.把點(diǎn)P(2cosα，sinα)(α∈R)代入橢圓方程的左邊為＋＝4（cos2α＋sin2α）＝4>1，因此點(diǎn)P在橢圓外．故選:D.3．（2022·云南）若點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系即可求解.，所以故選：B.考點(diǎn)二直線與橢圓的位置關(guān)系【例21】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)直線，橢圓．（1）直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)，則m滿足的條件是______．（2）直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m滿足的條件是______．（3）直線與橢圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則m滿足的條件是______．【答案】（1）

（2）

（3）或【解析】由消去并化簡(jiǎn)得，.（1）當(dāng)，即時(shí)，直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn).（2）當(dāng)，即時(shí)，直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn).（3）當(dāng)，即或時(shí)，直線與橢圓沒(méi)有公共點(diǎn).故答案為：；；或【例22】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若直線和圓沒(méi)有交點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0個(gè) B．至多有一個(gè) C．1個(gè) D．2個(gè)【答案】D【解析】因?yàn)橹本€和圓沒(méi)有交點(diǎn)，可得，即，所以點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓及其內(nèi)部的點(diǎn)，又因?yàn)闄E圓，可得，所以圓內(nèi)切于橢圓，即點(diǎn)是橢圓內(nèi)的點(diǎn)，所以點(diǎn)的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故選：D.【例23】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知是橢圓：，直線l：，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，則使得點(diǎn)P到直線l的距離為的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】設(shè)直線：與橢圓相切，聯(lián)立，得，整理得，則該方程有且只有一個(gè)解，由，得或，所以的方程為或，易知直線與直線l的距離為，直線與直線l的距離為，所以在直線l的右側(cè)有兩個(gè)符合條件的P點(diǎn)，在直線l的左側(cè)不存在符合條件的P點(diǎn)，故符合條件的點(diǎn)P有2個(gè)．故選：C．【一隅三反】1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則直線與橢圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．以上三種情況均有可能【答案】A【解析】因?yàn)?，所以直線可化為，所以，直線過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以，直線與橢圓的位置關(guān)系是相交.故選：A2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如果過(guò)的任意直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．【答案】【解析】要使過(guò)的任意直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則必在橢圓內(nèi)或橢圓上，即①，又為橢圓方程，則且②，有①②可得，.故答案為：3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）曲線上點(diǎn)到直線距離的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】令與相切，聯(lián)立整理可得，所以，可得，當(dāng)，此時(shí)與的距離，當(dāng)，此時(shí)與的距離，所以曲線到直線距離的最小值為.故答案為：4．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）直線和曲線的位置關(guān)系為_(kāi)____.【答案】相交【解析】曲線為：可得直線恒過(guò)，由知定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以直線與橢圓的位置關(guān)系為相交.故答案為：相交.考點(diǎn)三直線與橢圓的弦長(zhǎng)【例31】（2022·海南·瓊海市嘉積第二中學(xué)高二期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)且斜率為1的直線交橢圓于A、兩點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)直線AB方程為，聯(lián)立橢圓方程整理可得：，設(shè)，則，，根據(jù)弦長(zhǎng)公式有：=．故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.【例32】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】若過(guò)原點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，則直線為，將代入橢圓得，此時(shí)；若過(guò)原點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，方程可設(shè)為，聯(lián)立直線與橢圓方程：化簡(jiǎn)得：，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，綜上所述，的最大值為，故答案為：【一隅三反】1．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓：的離心率為是橢圓的焦點(diǎn)，點(diǎn)，直線的斜率為為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的方程．【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)，由題意又離心率，，橢圓的方程為；（2）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，方程可設(shè)為，聯(lián)立直線與橢圓方程：化簡(jiǎn)得：，由設(shè)，則坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為令，則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，，故當(dāng)，即時(shí)，的面積最大，此時(shí)直線的方程為：．2．（2022·貴州遵義·高二期末（理））橢圓C：左右焦點(diǎn)為，，離心率為，點(diǎn)在橢圓C上．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為直線l與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，求．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：由題意得，解得，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，帶入得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：易得直線l的解析式為，設(shè)，聯(lián)立橢圓的方程得，所以．3．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高二期末（理））設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P，Q為橢圓C上任意兩點(diǎn)，且，若的周長(zhǎng)為8，面積的最大值為2．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C內(nèi)切于矩形ABCD（橢圓與矩形四條邊均相切），求矩形ABCD面積的最大值．【答案】(1)(2)12【解析】(1)解：由得P、、Q三點(diǎn)共線，因?yàn)槿切蔚闹荛L(zhǎng)為8，即，所以，則．當(dāng)P點(diǎn)為橢圓上或下頂點(diǎn)時(shí)的面積最大，即，由，解得，所以橢圓C的方程為．(2)解：當(dāng)矩形ABCD中有一條邊與坐標(biāo)軸平行時(shí)，則另外三條邊也與坐標(biāo)軸平行，矩形ABCD的兩條邊長(zhǎng)分別為，，此時(shí)．當(dāng)矩形ABCD的邊都不與坐標(biāo)軸平行時(shí)，由對(duì)稱性，不妨設(shè)直線AB的方程為：，則CD的方程為：，AD的方程為：，BC的方程為：．由，得，令得，同理得，矩形ABCD的邊長(zhǎng)分別為，，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以矩形ABCD面積的最大值是12．綜上所述，矩形ABCD面積的最大值是12．考點(diǎn)四中點(diǎn)弦【例41】（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓，則以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，，則，①﹣②得：，即，所以．故以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為y，整理得：.故選：C.【例42】．（2022·四川南充·高二期末（文））過(guò)橢圓：右焦點(diǎn)的直線：交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且的斜率為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意，焦點(diǎn)，即橢圓C的半焦距，設(shè)，，則有，兩式相減得：，而，且，即有，又直線的斜率，因此有，而，解得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，所以橢圓的方程為.故選：A【例43】．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)作一條傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)，依題意，，相減得，因直線AB的傾斜角為，即直線AB的斜率為，又為線段的中點(diǎn)，則，，因此有，即，所以橢圓的離心率.故選：A【一隅三反】1．（2022·四川·棠湖中學(xué)高二階段練習(xí)（文））橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的弦恰好以為中點(diǎn)，那么這條弦所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，即，設(shè)弦為，，則，兩式相減并化簡(jiǎn)得，，所以弦所在直線方程為.故選：B2．（2021·安徽·淮北師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)、，若軸，則、關(guān)于軸對(duì)稱，不合乎題意，將、的坐標(biāo)代入橢圓方程得，兩式相減得，可得，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，，，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以，又直線過(guò)點(diǎn)，因此，所以，，整理得，又，解得，，因此，橢圓的方程為，故選：D.3．（2022·陜西西安·高二期末（文））直線過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)，若點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，設(shè)為直線的斜率，為直線的斜率，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)與，則，，所以，，又點(diǎn)與在橢圓上，所以，，作差可得，即，所以，故選：A.4．（2022·吉林·長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）已知直線與橢圓：（）相交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在直線：上，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】將直線代入橢圓方程得，，即，設(shè)，，，，則，即中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，由于線段的中點(diǎn)在直線上，則，又，則，，即橢圓的離心率為.故選：A考點(diǎn)五橢圓的綜合運(yùn)用【例51】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）已知橢圓的方程為，斜率為的直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線AB與OM垂直B．若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則直線AB的方程為C．若直線AB的方程為，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為D．若直線AB的方程為，則【答案】BD【解析】對(duì)于A，根據(jù)橢圓的中點(diǎn)弦的性質(zhì)知，，所以A不正確；對(duì)于B，，根據(jù)，知，所以直線AB的方程為，即，所以B正確；對(duì)于C，，由，得，所以C不正確；對(duì)于D，若直線AB的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得，整理得，解得或，所以，所以D正確．故選：BD．橢圓的中點(diǎn)弦的性質(zhì)總結(jié)：設(shè)為橢圓弦AB（AB不平行于y軸）的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則．證明：設(shè)，，則，且，，兩式相減得，，整理得，因?yàn)槭窍褹B的中點(diǎn)，所以，所以．【例52】（2021·江西·金溪一中高二階段練習(xí)（文））已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線AM和直線AN的斜率分別為和，求證：為定值【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）由題意橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，可得，解得，故橢圓C的方程為（2）由題意可知直線l的斜率一定存在，設(shè)直線l的方程為，由，可得，由于直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，則，解得，設(shè),則，，故，即為定值.【一隅三反】1．（2022·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）（多選）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)，均在橢圓上，則（

）A．橢圓的離心率為B．橢圓的短軸長(zhǎng)為C．直線與橢圓相交D．若點(diǎn)在橢圓上，中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為【答案】BCD【解析】設(shè)橢圓的方程為：，將點(diǎn)，代入橢圓的方程，得，解得，所以橢圓的方程為：，所以橢圓的離心率為，故A錯(cuò)誤；橢圓的短軸長(zhǎng)為，故B正確；由于直線，過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，所以直線與橢圓相交，故C正確；設(shè)，所以，所以，即，又中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，即，所以直線的方程為，即，故D正確.故選：BCD.2．（2022·貴州·黔西南州金成實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期末（理））已知橢圓的離心率為，、分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，的面積為1．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)的橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．求證：為定值．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【解析】（1）依題意，又，解得，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)，而，且，，當(dāng)時(shí)，直線AP：，點(diǎn)，，直線BP：，點(diǎn)，，，當(dāng)時(shí)，，，，所以所以是定值.3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓