湘教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)素養(yǎng)鞏固訓(xùn)練卷(十)四種數(shù)學(xué)思想在線段和角度計(jì)算中的應(yīng)用課件

專項(xiàng)素養(yǎng)鞏固訓(xùn)練卷(十)四種數(shù)學(xué)思想在線段和角度計(jì)算中的應(yīng)用(練方法)類型一分類討論思想1.(★★☆)如圖,已知數(shù)軸上三點(diǎn)A,O,B表示的數(shù)分別為6,0,-4,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),

以每秒6個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng).

(1)當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離相等時(shí),點(diǎn)P在數(shù)軸上表示的數(shù)是

.(2)另一動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)B出發(fā),以每秒4個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),若點(diǎn)P、R

同時(shí)出發(fā),則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間追上點(diǎn)R?(3)若M為AP的中點(diǎn),N為PB的中點(diǎn),點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,線段MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生變

化?若發(fā)生變化,請(qǐng)你說(shuō)明理由;若不變,請(qǐng)你畫(huà)出圖形,并求出線段MN的長(zhǎng)度.

第1題圖解析

(1)因?yàn)辄c(diǎn)A,B表示的數(shù)分別為6,-4,所以AB=10,因?yàn)镻A=PB,點(diǎn)P在數(shù)軸上,所以PA=PB=5,所以點(diǎn)P表示的數(shù)是6-5=1.(2)設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)x秒后追上點(diǎn)R,則6x-4x=10,解得x=5,所以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)5秒后追上點(diǎn)R.(3)線段MN的長(zhǎng)度不發(fā)生變化.易知分兩種情況:點(diǎn)P在A、B之間運(yùn)動(dòng)時(shí),如圖,

MN=MP+NP=

AP+

BP=

(AP+BP)=

AB=5;點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B左側(cè)時(shí),如圖,

MN=MP-NP=

AP-

BP=

(AP-BP)=

AB=5.綜上所述,線段MN的長(zhǎng)度不發(fā)生變化,其長(zhǎng)度為5.歸納總結(jié)對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,一般用點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度乘運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于運(yùn)動(dòng)的路程

來(lái)表示線段的長(zhǎng)度.2.(2024河南鄭州期末,25,★★☆)已知:如圖①,點(diǎn)A、O、B在直線MN上,現(xiàn)將射

線OA繞點(diǎn)O沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?°的速度旋轉(zhuǎn),同時(shí)射線OB繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)?/p>

向以每秒4°的速度旋轉(zhuǎn),如圖②,設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒(0≤t≤90).(1)用含t的代數(shù)式表示∠MOA和∠NOB的度數(shù).(2)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)∠AOB第二次達(dá)到60°時(shí),求t的值.(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否存在這樣的t,使得射線OB是由射線OM、射線OA、射線

ON中的兩條組成的角(指大于0°而不超過(guò)180°的角)的平分線?如果存在,請(qǐng)直接

寫出t的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

①②

第2題圖解析

(1)∠MOA=2t°,當(dāng)0≤t≤45時(shí),∠NOB=4t°,當(dāng)45<t≤90時(shí),∠NOB=360°-4t°=(360-4t)°.(2)如圖:

根據(jù)題意知∠AOM=2t°,∠BON=4t°,當(dāng)∠AOB第二次達(dá)到60°時(shí),∠AOM+∠BON-∠MON=60°,即2t+4t-180=60,解得t=40,故當(dāng)t=40時(shí),∠AOB第二次達(dá)到60°.(3)存在.射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的兩條組成的角的平分線,

分以下三種情況:①OB平分∠AOM時(shí),有

∠AOM=∠BOM,所以t=180-4t,解得t=36;②OB平分∠MON時(shí),有∠BOM=

∠MON,所以∠BOM=90°,所以4t=90或4t-180=90,解得t=22.5或t=67.5;③OB平分∠AON時(shí),有∠BON=

∠AON,所以4t=

(180-2t),解得t=18.綜上,當(dāng)t的值為18、22.5、36或67.5時(shí),射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON

中的兩條組成的角的平分線.類型二方程思想3.(2024吉林四平鐵西期末,19,★☆☆)已知一個(gè)角的余角比它的補(bǔ)角的

還少5°,求這個(gè)角的度數(shù).解析設(shè)這個(gè)角的度數(shù)是x°,則90-x=

(180-x)-5,解得x=27.故這個(gè)角的度數(shù)是27°.4.(★★☆)如圖,C,D,E將線段AB分成2∶4∶4∶6四部分,M,P,Q,N分別是AC,CD,

DE,EB的中點(diǎn),且MN=24,求線段PQ的長(zhǎng)度.

第4題圖解析設(shè)AC=2x,則CD=DE=4x,BE=6x,因?yàn)镸,N分別是AC,BE的中點(diǎn),所以MC=

AC=x,EN=

EB=3x,因?yàn)镸N=24,所以x+4x+4x+3x=24,解得x=2,所以CD=DE=4x=8,因?yàn)镻,Q分別是CD,DE的中點(diǎn),所以DP=

CD=4,DQ=

DE=4,所以PQ=DP+DQ=4+4=8.類型三整體思想5.(★★☆)如圖,O是直線AB上的一點(diǎn),C是直線AB外的一點(diǎn),OD是∠AOC的平分

線,OE是∠COB的平分線.

(1)已知∠1=23°,求∠2的度數(shù).(2)無(wú)論點(diǎn)C的位置如何改變,圖中是否存在一個(gè)角,它的大小始終不變(∠AOB除

外)?如果存在,求出這個(gè)角的度數(shù);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

第5題圖解析

(1)因?yàn)镺D是∠AOC的平分線,OE是∠COB的平分線,所以∠2=∠DOC,∠1=∠COE.因?yàn)椤螦OC+∠COB=180°,所以∠2+∠COD+∠1+∠COE=2(∠1+∠2)=180°,所以∠1+∠2=90°.因?yàn)椤?=23°,所以∠2=67°.(2)存在,∠DOE的度數(shù)始終不變,為90°.因?yàn)镺D是∠AOC的平分線,OE是∠COB的平分線,所以∠2=∠COD,∠1=∠COE.因?yàn)椤螦OC+∠COB=180°,所以∠2+∠COD+∠1+∠COE=2(∠COD+∠COE)=180°,所以∠COD+∠COE=90°,即∠DOE=90°.類型四數(shù)形結(jié)合思想6.(2024湖北襄陽(yáng)谷城期末,23,★★☆)如圖,已知點(diǎn)B在線段AC上,點(diǎn)D在線段AB

上.(1)如圖①,若AB=6cm,BC=4cm,D為線段AC的中點(diǎn),求線段DB的長(zhǎng)度.(2)如圖②,若BD=

AB=

CD,E為線段AB的中點(diǎn),EC=12cm,求線段AC的長(zhǎng)度.

第6題圖解析

(1)因?yàn)锳C=AB+BC,AB=6cm,BC=4cm,所以AC=6+4=10(cm).因?yàn)镈為線段AC的中點(diǎn),所以DC=

AC=

×10=5(cm),所以DB=DC-BC=5-4=1(cm).(2)設(shè)BD=xcm,因?yàn)锽D=

AB=

CD,所以AB=4BD=4xcm,CD=3BD=3xcm,因?yàn)镃D=BD+BC,所以BC=CD-BD=3x-x=2x(cm),因?yàn)锳C=AB+BC,所以AC=4x+2x=6x(cm),因?yàn)镋為線段AB的中點(diǎn),所以BE=

AB=

×4x=2x(cm),因?yàn)镋C=BE+BC,所以EC=2x+2x=4x(cm),又因?yàn)镋C=12cm,所以4x=12,解得x=3,所以AC=6x=6×3=18(cm).7.(★★☆)(1)如圖所示,線段AB=4,點(diǎn)O是線段AB上一點(diǎn),C,D分別是線段OA,OB的中點(diǎn),小

明很輕松地求得CD=2,小明是怎樣求出來(lái)的?(2)小明突發(fā)奇想:若點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到線段AB的延長(zhǎng)線上,其他條件不變,原有的結(jié)論

“CD=2”是否仍然成立?請(qǐng)幫助小明畫(huà)出圖形并說(shuō)明理由.

第7題圖解析

(1)因?yàn)镃,D分別是線段OA,OB的中點(diǎn),所以O(shè)C=

OA,OD=

OB,所以CD=OC+OD=

(OA+OB)=

AB=2.(2)當(dāng)點(diǎn)O在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí),原有的結(jié)論“CD=2”仍然成立.理由如下:如圖所示,

因?yàn)镃,D分別是線段OA,OB的中點(diǎn),所以O(shè)C=

OA,OD=

OB,所以CD=OC-OD=

(OA-OB)=

AB=

×4=2.8.(2024廣東汕頭澄海期末,23,★★☆)如圖①,已知點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn),∠COD

=90°,OE平分∠BOD.

(1)若∠COE=25°,則∠BOC的度數(shù)為

.(2)請(qǐng)判斷∠AOD與∠COE的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.(3)在(2)的基礎(chǔ)上,如圖②,在∠AOD的內(nèi)部作射線OF,使OF平分∠AOD,若∠BOC=3∠DOF,求∠DOE的度數(shù).

第8題圖解析

(1)因?yàn)椤螩OD=90°,∠COE=25°,所以∠DOE=90°-25°=65°,因?yàn)镺E平分∠BOD,所以∠DOE=∠BOE=65°,所以∠BOC=∠BOE-∠COE=65°-25°=40°.故答案為40°.(2)∠AOD=2∠COE.理由如下:設(shè)∠COE=x,因?yàn)椤螩OD=90°,所以∠DOE=90°-x,因?yàn)镺E平分∠BOD,所以∠BOD=2∠DOE=2(90°-x)=180°-2x,所以∠AOD=180°-∠BOD=180°-(180°-2x)=2x,所以∠AOD=2∠COE.(3)由(2)