2023年秋《直線與圓的位置關(guān)系》教學(xué)設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)精編資源1/16《直線與圓的位置關(guān)系》教學(xué)設(shè)計(jì)必備知識(shí)學(xué)科能力學(xué)科素養(yǎng)高考考向圓的方程學(xué)習(xí)理解能力觀察記憶概括理解說明論證應(yīng)用實(shí)踐能力分析計(jì)算推測(cè)解釋簡(jiǎn)單問題解決遷移創(chuàng)新能力綜合問題解決猜想探究發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新數(shù)學(xué)抽象直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算【考查內(nèi)容】掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程.掌握直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法,能利用直線和圓的位置關(guān)系解決相關(guān)問題.【考查題型】填空題、選擇題、解答題直線與圓的位置關(guān)系數(shù)學(xué)抽象直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理數(shù)學(xué)建模圓與圓的位置關(guān)系數(shù)學(xué)抽象直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理數(shù)學(xué)建模一、本章內(nèi)容分析圓是最簡(jiǎn)單的曲線之一,這節(jié)教材安排在學(xué)習(xí)了直線之后,在學(xué)習(xí)三大圓錐曲線之前,旨在熟悉曲線和方程的理論,為后繼學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.同時(shí)有關(guān)圓的問題,特別是直線與圓的位置問題,也是解析幾何中的基本問題,這些問題的解決為圓錐曲線問題的解決提供了基本的思想方法.因此教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)練習(xí),使學(xué)生確實(shí)掌握這節(jié)的知識(shí)和方法.在學(xué)習(xí)中使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想,形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力,是進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓錐曲線的基礎(chǔ).對(duì)于知識(shí)的后續(xù)學(xué)習(xí),具有相當(dāng)重要的意義.另外,本部分的學(xué)習(xí)是通過由特殊到一般逐步展開的,可以進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生觀察、歸納、類比、概括等能力,發(fā)展有條理的思考及靈活處理問題的能力.本章包含的核心知識(shí)和體現(xiàn)的核心素養(yǎng)如下:核心知識(shí)1.圓的方程2.直線與圓的位置關(guān)系3.圓與圓的位置關(guān)系直觀想象數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)二、學(xué)情整體分析圓是學(xué)生比較熟悉的曲線,初中平面幾何對(duì)圓的基本性質(zhì)作了比較系統(tǒng)的研究,本節(jié)之前又學(xué)習(xí)了建立直角坐標(biāo)系求直線方程的方法,這些都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了必要的基礎(chǔ).高一時(shí),學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本方法也有了一定的體驗(yàn)和了解,具備了初步的觀察、類比、歸納、概括、表達(dá)能力.通過五種直線方程的學(xué)習(xí),對(duì)坐標(biāo)系下建立方程進(jìn)行了反復(fù)訓(xùn)練,這些都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做了能力和方法上的準(zhǔn)備.當(dāng)然,由于學(xué)生對(duì)建系求方程的方法以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程認(rèn)識(shí)還不深刻,在探究知識(shí)的形成與方程的運(yùn)用時(shí)可能會(huì)遇到一些困難,在教學(xué)中一定要關(guān)注學(xué)生反饋的信息,循序漸進(jìn)地開展教學(xué).學(xué)情補(bǔ)充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教學(xué)活動(dòng)準(zhǔn)備【任務(wù)專題設(shè)計(jì)】1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2.圓的一般方程3.直線與圓的位置關(guān)系4.圓與圓的位置關(guān)系【教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)】1.運(yùn)用待定系數(shù)法求圓的方程.2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.3.學(xué)生在探索圓和圓的位置關(guān)系的過程中,學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題.【教學(xué)策略設(shè)計(jì)】新課程下的教學(xué),力求知識(shí)的形成過程,為克服課堂時(shí)間不足,需要學(xué)生做好課前預(yù)習(xí).在老師的引導(dǎo)下,學(xué)生已經(jīng)具備一定探究與研究問題的能力,所以在設(shè)計(jì)問題時(shí)應(yīng)考慮周全和靈活性,采用啟發(fā)式、探究式教學(xué),師生共同探討,共同研究,讓學(xué)生積極思考,主動(dòng)學(xué)習(xí).在教學(xué)過程中采用討論法,向?qū)W生提供具備啟發(fā)性和思考性的問題.因此,要求學(xué)生在課上討論,提高學(xué)生的探索、推理、想象、分析和總結(jié)歸納等方面的能力.使學(xué)生在問題的指引下、教師的指導(dǎo)下把探究活動(dòng)層層展開、步步深入,力求體現(xiàn)以教師為主導(dǎo),以學(xué)生為主體的指導(dǎo)思想.【教學(xué)方法建議】探究教學(xué)法、問題教學(xué)法,還有__________________________________________________【教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn):1.會(huì)求圓的一般方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.能應(yīng)用配方法將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.會(huì)用直線與圓的位置關(guān)系的代數(shù)判別法和幾何判別法判斷直線與圓的位置關(guān)系.4.探索圓和圓的位置關(guān)系中兩圓圓心距與兩圓半徑的數(shù)量關(guān)系.難點(diǎn):1.會(huì)根據(jù)不同的已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程.2.對(duì)待定系數(shù)法求圓的方程及對(duì)坐標(biāo)法思想的理解.3.用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.4.通過平移實(shí)驗(yàn)直觀地探索圓和圓的位置關(guān)系,發(fā)展學(xué)生的識(shí)圖能力和動(dòng)手操作能力.【教學(xué)材料準(zhǔn)備】1.常規(guī)材料:多媒體課件、________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)教學(xué)導(dǎo)入師:我們?cè)谇懊鎸W(xué)過點(diǎn)和圓的位置關(guān)系,請(qǐng)大家回憶它們的位置關(guān)系有哪些?生:圓是平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形.即圓上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑;圓的內(nèi)部的點(diǎn)到圓心的距離小于半徑;圓的外部的點(diǎn)到圓心的距離大于半徑.因此點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種,即點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)和點(diǎn)在圓外.也可以把點(diǎn)與圓心的距離和半徑作比較,若距離大于半徑在圓外,等于半徑在圓上,小于半徑在圓內(nèi).師:本節(jié)課我們將類比學(xué)習(xí)直線和圓的位置關(guān)系.【設(shè)計(jì)意圖】通過回顧舊知,加強(qiáng)學(xué)生對(duì)新知和舊知的聯(lián)系,便于利用舊知來學(xué)習(xí)新知.教學(xué)精講探究1直線與圓的位置關(guān)系師:點(diǎn)到直線的距離的定義是什么?生:從已知點(diǎn)向已知直線作垂線,已知點(diǎn)與垂足之間的線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到這條直線的距離.【教師在黑板上尺規(guī)作圖】師:如圖,C為直線AB外一點(diǎn),過點(diǎn)C向AB引垂線,D為垂足,則線段CD即為點(diǎn)C到直線AB的距離.師:同學(xué)們也許看過海上日出,如果我們把太陽看作一個(gè)圓,海平面看成一條直線,那么太陽在升起的過程中,它和海平面有幾種位置關(guān)系呢?【學(xué)生動(dòng)手探究,回答問題】生:有三種位置關(guān)系.師:我們分別作出圓心到直線的距離d.【教師黑板作圖】【以學(xué)論教】通過具體的情境,幫助學(xué)生回顧初中幾何中學(xué)習(xí)過的直線與圓的位置關(guān)系,同時(shí)提出運(yùn)用方程思想解決問題的方法.師:它們分別是直線與圓相交、相切、相離.(1)當(dāng)直線與圓相切時(shí)(即直線和圓有唯一公共點(diǎn)),這條直線叫做圓的切線!(2)當(dāng)直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相交.(3)當(dāng)直線與圓沒有公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相離.師:你能總結(jié)從直線與圓有公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以斷定是哪一種位置關(guān)系嗎?生:(1)當(dāng)直線與圓有唯一公共點(diǎn)時(shí),直線與圓相切.(2)當(dāng)直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),直線與圓相交.(3)當(dāng)直線與圓沒有公共點(diǎn)時(shí),直線與圓相離.師:能否根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系,點(diǎn)到圓心的距離d和半徑r作比較,類似地推導(dǎo)出點(diǎn)到直線的距離d和半徑r大小的關(guān)系來確定直線與圓的三種位置關(guān)系呢?生:如圖(1)(2)(3),圓心O到直線l的距離為d,圓的半徑為r,當(dāng)直線與圓相交時(shí),d<r;當(dāng)直線與圓相切時(shí),d=r;當(dāng)直線與圓相離時(shí),d>r.因此可以用d與r間的大小關(guān)系斷定直線與圓的位置關(guān)系.師:由此可知,判斷直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法:(1)從直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來斷定;(2)用d與r的大小關(guān)系來斷定.【活動(dòng)學(xué)習(xí)】學(xué)生經(jīng)過動(dòng)手操作,能夠直觀地提煉出基本概念,并能夠用自己的語言敘述,很好地鍛煉了學(xué)生的空間觀念和形象思維能力.【要點(diǎn)知識(shí)】直線與圓的位置關(guān)系1.從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判斷(1)直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),直線與圓相交;(2)直線與圓有唯一公共點(diǎn)時(shí),直線與圓相切;(3)直線與圓沒有公共點(diǎn)時(shí),直線與圓相離.2.從點(diǎn)到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系來判斷(1)d<r時(shí),直線與圓相交;(2)d=r時(shí),直線與圓相切;(3)d>r時(shí),直線與圓相離.【概括理解能力】學(xué)生經(jīng)歷觀察具體的圖形,類比“點(diǎn)到圓的位置關(guān)系”得到的方法,尋找到距離和半徑之間的關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律,尋求方法,總結(jié)結(jié)論的思維路線,經(jīng)歷知識(shí)形成的全過程,使學(xué)生真正理解自己總結(jié)出來的知識(shí),從而達(dá)到形成技能的目的.師:上述兩種判斷方法的解題步驟分別是什么?【方法策略】代數(shù)法1.將直線方程與圓方程聯(lián)立成方程組.2.通過消元,得到一個(gè)一元二次方程.3.求出其判別式?的值.4.比較?與0的大小關(guān)系(1)若?>0,則直線與圓相交;(2)若?=0,則直線與圓相切;(3)若?<0,則直線與圓相離.幾何法1.把直線方程化為一般式,并求出圓心坐標(biāo)和半徑r.2.利用點(diǎn)到直線的距離公式求圓心到直線的距離d.3.比較d與r的大小關(guān)系(1)若d>r,則直線與圓相離;(2)若d=r,則直線與圓相切;(3)若d<r,則直線與圓相交.【概括理解能力】通過探究總結(jié)出具體的解題步驟,幫助學(xué)生更好地記憶和理解,提升概括理解能力.師:下面我們來看例題.【典型例題】判斷直線與圓的位置關(guān)系例1已知直線和圓心為的圓,判斷直線與圓的位置關(guān)系.師:首先我們用代數(shù)法做一下這道題.【典例解析】代數(shù)法解法1:消去,得,因?yàn)?所以,直線與圓相交,有兩個(gè)公共點(diǎn).師:我們?cè)儆脦缀畏▉斫庖幌逻@道題.【典例解析】幾何法解法2:圓可化為,圓心的坐標(biāo)為,半徑.點(diǎn)到直線的距離.因?yàn)?所以,直線與圓相交,有兩個(gè)公共點(diǎn).【分析計(jì)算能力】通過例題培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用新知識(shí)解決問題的能力,鞏固結(jié)論,加強(qiáng)思維意識(shí)的訓(xùn)練.師:比較兩種解法,我們可以看出,幾何法判斷要比代數(shù)法判斷快得多,但是若要求交點(diǎn),仍需聯(lián)立方程組求解.請(qǐng)看例2.【典型例題】判斷直線與圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)例2已知直線方程,圓的方程.當(dāng)為何值時(shí),直線與圓:(1)有兩個(gè)公共點(diǎn)?(2)只有一個(gè)公共點(diǎn)?(3)沒有公共點(diǎn)?師分析:可聯(lián)立方程組,由方程組解的個(gè)數(shù)判斷,也可求出圓心到直線的距離,通過與半徑比較大小判斷.【教師提供思路,學(xué)生分組獨(dú)立解題,教師總結(jié)】生解:(代數(shù)法)將直線代入圓的方程,化簡(jiǎn)、整理,得.∵,∴當(dāng),即或時(shí),直線與圓相交,即直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn);當(dāng),即或時(shí),直線與圓相切,即直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng),即時(shí),直線與圓相離,即直線與圓沒有公共點(diǎn).(幾何法)已知圓的方程可化為,即圓心為,半徑.圓心到直線的距離.當(dāng),即或時(shí),直線與圓相交,即直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn);當(dāng),即或時(shí),直線與圓相切,即直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng),即時(shí),直線與圓相離,即直線與圓沒有公共點(diǎn).師:從上面的例題我們可以發(fā)現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系反映在三個(gè)方面:一是點(diǎn)到直線的距離與半徑大小的關(guān)系;二是直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù);三是兩方程組成的方程組解的個(gè)數(shù).因此,若給出圖形,可根據(jù)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷;若給出直線與圓的方程,可選擇用幾何法或代數(shù)法,幾何法計(jì)算量小,代數(shù)法可一同求出交點(diǎn).解題時(shí)可根據(jù)條件作出恰當(dāng)?shù)倪x擇.【先學(xué)后教】通過典例解析,幫助學(xué)生進(jìn)一步熟悉兩種基本方法,判斷直線與圓的位置關(guān)系.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).探究2求直線與圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)師:我們已經(jīng)知道判斷直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法,當(dāng)直線與圓相交時(shí),我們?nèi)绾吻笙嘟幌业南议L(zhǎng)呢?我們一起來探究下面的例題.【典型例題】求直線與圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)例3求直線被圓截得的弦長(zhǎng).師:我們動(dòng)手畫出圖形,初中我們學(xué)過垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧,思考一下,我們?nèi)绾卫脠D形來求弦長(zhǎng)呢?生:利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形,所以過圓心作弦的垂線.師:我們考慮一下可以有幾種方法求出弦長(zhǎng).【學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐,分組討論,每組選一位代表發(fā)言】生:解法1求出直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo),解法2利用弦長(zhǎng)公式,解法3利用幾何法作出直角三角形,三種解法都可求得弦長(zhǎng).生1:(解法1)由得交點(diǎn),故弦的長(zhǎng)為.生2:(解法2)由消去,得.設(shè)兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,則由根與系數(shù)的關(guān)系,得.即弦的長(zhǎng)為.生3:(解法三)圓可化為,其圓心坐標(biāo),半徑,點(diǎn)到直線的距離為,所以半弦長(zhǎng)為,所以弦長(zhǎng).【簡(jiǎn)單問題解決能力】本題是學(xué)生形成技巧、技能,發(fā)展思維的重要題型,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用,深化對(duì)直線與圓相交的理解和運(yùn)用,提升簡(jiǎn)單問題解決能力.【活動(dòng)學(xué)習(xí)】通過學(xué)生分組討論,動(dòng)手實(shí)踐,利用3種不同的方法求解直線與圓相交時(shí)的弦長(zhǎng),在活動(dòng)學(xué)習(xí)中掌握解題方法.師:我們根據(jù)上面的例題總結(jié)求直線與圓相交時(shí)弦長(zhǎng)的兩種方法.【方法策略】求直線與圓相交時(shí)弦長(zhǎng)的兩種方法1.幾何法:如圖(1),直線與圓交于兩點(diǎn),設(shè)弦心距為,圓的半徑為,弦長(zhǎng)為,則有,即.2.代數(shù)法:如圖(2)所示,將直線方程與圓的方程聯(lián)立,設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)分別是,則(直線的斜率存在).【概括理解能力】幫助學(xué)生提煉本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容,讓學(xué)生體會(huì)幾何法和代數(shù)法的簡(jiǎn)便性,同時(shí)讓學(xué)生初步掌握設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想.師:下面我們求解直線與圓相交,已知弦長(zhǎng),求直線方程的題目.【典型例題】與弦長(zhǎng)有關(guān)的逆向問題例4已知過點(diǎn)的直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為,求直線的方程.【學(xué)生自主解題,教師講授】師解:將圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式,得所以,圓心的坐標(biāo)是,半徑.如圖,因?yàn)橹本€被圓截得的弦長(zhǎng)為,所以弦心距為即圓心到所求直線的距離為.因?yàn)橹本€過點(diǎn),所以可設(shè)所求直線的方程為,即.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,得到圓心到直線的距離.因此,,即,兩邊平方,并整理得到,解得,或.所以,所求直線有兩條,它們的方程分別為,或.即,或.【以學(xué)定教】解決了直線與圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)問題,教師根據(jù)學(xué)生課堂學(xué)習(xí)效果,講授例4的解題過程,煅煉學(xué)生舉一反三的思維.【先學(xué)后教】通過例4鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí),通過學(xué)生解決問題,強(qiáng)化直線與圓相交的幾何法解題,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng).探究3求圓的切線方程師:在直線與圓的位置關(guān)系中,直線與圓相切也是非常重要的.我們考慮一下,過圓上一點(diǎn)可以作幾條直線和圓相切?過圓外一點(diǎn)可以作幾條直線和圓相切?生:過圓上一點(diǎn)可以作一條直線和圓相切,過圓外一點(diǎn)可以作兩條直線和圓相切.師:在求圓的切線方程時(shí),我們利用點(diǎn)與圓的關(guān)系先判斷這個(gè)點(diǎn)在圓外還是圓上.然后利用直線與圓相切的幾何法求切線方程.我們來看下面的例題.【典型例題】圓的切線方程的應(yīng)用例5圓在點(diǎn)處的切線方程為()A.B.C.D.師:解決本題我們關(guān)鍵是要找出切線的斜率.【學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐,教師選一位學(xué)生黑板書寫解題過程,教師總結(jié)】生解∵圓的圓心為,點(diǎn)是圓上的點(diǎn),∴圓的切線經(jīng)過點(diǎn),則必定.∵的斜率,∴切線的斜率,可得切線方程為,化簡(jiǎn)得.所以選項(xiàng)是正確的.【活動(dòng)學(xué)習(xí)】學(xué)生思考交流,提出解題的方法,回想直線方程的求法,先驗(yàn)證點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,再利用幾何性質(zhì)解題.利用數(shù)形結(jié)合解題,有時(shí)非常方便直觀.師:這道題由于切點(diǎn)在圓上.所以我們可以利用過圓心和切點(diǎn)的直線與切線垂直來求切線的斜率,那么過圓外一點(diǎn)作圓的切線如何求切線方程呢?我們看下面的例題.【典型例題】求圓的切線方程例6過點(diǎn)作圓的切線,求此切線的方程.師分析:利用圓心到切線的距離等于圓的半徑求出切線斜率,進(jìn)而求出切線方程.【教師在黑板上給出講解】師解:因?yàn)?所以點(diǎn)在圓外.(1)若所求切線的斜率存在,設(shè)切線斜率為,則切線方程為.因?yàn)閳A心到切線的距離等于半徑,半徑為1,所以,即,所以,解得.所以切線方程為,即.(2)若直線斜率不存在,圓心到直線的距離也為1,這時(shí)直線與圓也相切,所以另一條切線方程是.綜上,所求切線方程為或.【分析計(jì)算能力】進(jìn)一步熟悉直線與圓的位置關(guān)系.通過例6練習(xí),使學(xué)生掌握待定系數(shù)法求解切線方程的步驟.培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的能力.【意義學(xué)習(xí)】通過對(duì)圓的切線方程的知識(shí)的理解,學(xué)會(huì)相關(guān)題目的解題思路,鞏固所學(xué)知識(shí),體現(xiàn)意義學(xué)習(xí).師:下面我們進(jìn)行一下鞏固練習(xí).【鞏固練習(xí)】求圓的切線方程過點(diǎn)作圓的切線,求此切線方程.生解:容易判斷點(diǎn)在圓外,設(shè)切線的方程為,即.又圓的圓心為,半徑為2,所以,解得,所以所求切線方程為.師:通過上面幾道題,我們總結(jié)一下圓的切線方程的求法.【方法策略】圓的切線方程的求解方法1.求過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程:先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率,則由垂直關(guān)系,切線斜率為,由點(diǎn)斜式方程可求得切線方程.若或斜率不存在,則由圖形可直接得切線方程為或.2.求過圓外一點(diǎn)的圓的切線時(shí),常用幾何方法求解.設(shè)切線方程為,即,由圓心到直線的距離等于半徑,可求得,進(jìn)而切線方程可求出.但要注意,此時(shí)的切線有兩條,若求出的值只有一個(gè)時(shí),則另一條切線的斜率一定不存在,可通過數(shù)形結(jié)合求出.【概括理解能力】對(duì)圓的切線方程的求法進(jìn)行了說明和總結(jié).并與“直線與圓”聯(lián)系起來,而且同時(shí)又滲透了數(shù)形結(jié)合的思想.讓學(xué)生通過具體的練習(xí),通過自主的思考、研究,來體會(huì)數(shù)學(xué)思想對(duì)我們解題和研究的作用.提升概括理解能力.師:下面請(qǐng)看例7.【典型例題】求圓的切線方程例7過點(diǎn)作圓的切線,求切線的方程.師分析:如圖,容易知道,點(diǎn)位于圓外,經(jīng)過圓外一點(diǎn)有兩條直線與這個(gè)圓相切.我們?cè)O(shè)切線方程為為斜率,由直線與圓相切可求出的值.生:(解法1)設(shè)切線的斜率為,則切線的方程為2),即.由圓心到切線的距離等于圓的半徑1,得 解得或.因此,所求切線的方程為或.生:(解法2)設(shè)切線的斜率為,則切線的方程為.因?yàn)橹本€與圓相切,所以方程組只有一組解.消元,得,①因?yàn)榉匠挞僦挥幸粋€(gè)解,所以 解得或.所以,所求切線的方程為或.【分析計(jì)算能力】求圓的切線方程問題是直線與圓的位置關(guān)系的重點(diǎn),分清點(diǎn)與圓的位置,然后采用數(shù)形結(jié)合的思想方法.提升分析計(jì)算能力.探究4利用坐標(biāo)法解決幾何問題的實(shí)際實(shí)用師:現(xiàn)在我們通過幾個(gè)例子說明直線與圓的方程在實(shí)際生活以及平面幾何中的應(yīng)用.用綜合法解決下面的問題比較麻煩,我們采用坐標(biāo)法.【典型例題】直線與圓位置關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用例8如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.這個(gè)圓的圓拱跨度,拱高,建造時(shí)每間隔需要用一根支柱支撐,求支柱的高度(精確到).【教師分析解題思路,學(xué)生獨(dú)立解題】師分析:先是建立直角坐標(biāo)系,把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題——求出圓拱形橋所在的圓的方程;然后解決這個(gè)數(shù)學(xué)問題——利用圓的方程求出點(diǎn)的縱坐標(biāo),從而求出線段的長(zhǎng);最后解釋它的實(shí)際意義——圓拱形橋上支柱的高.這也正是用坐標(biāo)法解決問題的基本過程.生解:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,使圓心在軸上.由題意設(shè)圓心的坐標(biāo)是,圓的半徑是,那么圓的方程是.下面確定和的值.因?yàn)閮牲c(diǎn)都在圓上,所以它們的坐標(biāo)都滿足方程.于是,得到方程組 解得 所以,圓的方程是 把點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入圓的方程,得 即的縱坐標(biāo),平方根取正值).所以 答:支柱的高度約為.【先學(xué)后教】分析例8并展示解題過程,啟發(fā)學(xué)生利用坐標(biāo)法求解,指導(dǎo)學(xué)生從直觀認(rèn)識(shí)過渡到數(shù)學(xué)思想方法的選擇.【簡(jiǎn)單問題解決能力】引導(dǎo)學(xué)生建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題鞏固“坐標(biāo)法”,培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力.【典型例題】直線與圓位置關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用例9一個(gè)小島的周圍有環(huán)島暗礁,暗礁分布在以小島中心為圓心,半徑為的圓形區(qū)域內(nèi),已知小島中心位于輪船正西處,港口位于小島中心正北處.如果輪船沿直線返港,那么它是否會(huì)有觸礁危險(xiǎn)?【教師分析,學(xué)生解題】師分析:先畫出示意圖,了解小島中心、輪船、港口的方位和距離,根據(jù)題意,建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,求出暗礁所在區(qū)域的邊緣圓的方程,以及輪船返港直線的方程,利用方程判斷直線與圓的位置關(guān)系,進(jìn)而確定輪船是否有觸礁危險(xiǎn).生解:以小島的中心為原點(diǎn),東西方向?yàn)檩S,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.為了運(yùn)算的簡(jiǎn)便,我們?nèi)閱挝婚L(zhǎng)度,則港口所在位置的坐標(biāo)為,輪船所在位置的坐標(biāo)為.這樣,受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對(duì)應(yīng)的圓的方程為輪船航線所在直線的方程為即聯(lián)立直線與圓的方程,得消去,得.由,可知方程組無解.所以直線與圓相離,輪船沿直線返港不會(huì)有觸礁危險(xiǎn).【自主學(xué)習(xí)】通過教師提示解題思路,學(xué)生自主解決問題,在解題過程中鍛煉思維拓展,加深對(duì)方法的理解.師:用坐標(biāo)法解決幾何問題時(shí),先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素:點(diǎn)、直線、圓,將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題;然后通過代數(shù)運(yùn)算解決代數(shù)問題;最后解釋代數(shù)運(yùn)算結(jié)果的幾何含義,得到幾何問題的結(jié)論.【歸納總結(jié)】坐標(biāo)方法解決平面幾何問題的“三步曲”第一步:建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題;第二步:通過代數(shù)運(yùn)算,解決代數(shù)問題;第三步:把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.關(guān)鍵點(diǎn):幾何問題“代數(shù)化”.【概括理解能力】使學(xué)生熟悉平面幾何問題與代數(shù)問題的轉(zhuǎn)化,加深對(duì)“坐標(biāo)法”的解題步驟的理解,提升概括理解能力.【課堂小結(jié)】直線與圓的位置關(guān)系1.直線與圓的三種位置關(guān)系(1)從公共點(diǎn)數(shù)來判斷.(2)從與間的數(shù)量關(guān)系來判斷.2.求直線與圓相交時(shí)的弦長(zhǎng).3.求過圓外一點(diǎn)和過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程.4.利用坐標(biāo)法解決幾何問題的實(shí)際應(yīng)用.【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)知識(shí)進(jìn)行歸納概括,重點(diǎn)掌握直線與圓的位置關(guān)系,體會(huì)利用“坐標(biāo)法”解決幾何問題的應(yīng)用.教學(xué)評(píng)價(jià)本講所涉及的知識(shí)都是平面解析幾何中最基礎(chǔ)的內(nèi)容.它們滲透到平面解析幾何的各個(gè)部分,正是它們構(gòu)成了解析幾何問題的基礎(chǔ),又是解決這些問題的重要工具之一.本部分具體知識(shí)如下:(1)解答有關(guān)圓的問題時(shí),應(yīng)注意利用圓的平面幾何性質(zhì),如圓與直線相切、相交的性質(zhì),圓與圓相切的性質(zhì),這樣可以使問題簡(jiǎn)化;(2)要注意學(xué)習(xí)如何借助于坐標(biāo)系,用代數(shù)方法來研究幾何問題,體會(huì)這種數(shù)形結(jié)合的思想.【設(shè)計(jì)意圖】在解決與圓有關(guān)的問題時(shí),要充分利用圓的特殊幾何性質(zhì),這樣會(huì)使問題簡(jiǎn)單化.同時(shí)數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程的思想在解決圓的有關(guān)問題時(shí)經(jīng)常運(yùn)用,應(yīng)熟練掌握.應(yīng)用所學(xué)知識(shí),完成下面各題:1.已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是,求外接圓的方程.解析:本題主要考查圓的方程求法.求圓的方程,常用待定系數(shù)法,根據(jù)條件設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.有時(shí)利用幾何特征,解答更為簡(jiǎn)便.解法一:設(shè)所求圓的方程是.①因?yàn)槎荚趫A上,所以它們的坐標(biāo)都滿足方程①,于是可解得所以的外接圓的方程是.解法二:因?yàn)橥饨訄A的圓心既在的垂直平分線上,也在的垂直平分線上,所以先求的垂直平分線方程,求得的交點(diǎn)坐標(biāo)就是圓心坐標(biāo).∵,線段的中點(diǎn)為,線段的中點(diǎn)為,∴的垂直平分線方程為,①的垂直平分線方程為.②解由①②聯(lián)立的方程組可得外接圓的圓心為,半徑.故外接圓的方程是.【意義學(xué)習(xí)】通過習(xí)題鞏固學(xué)習(xí)效果,同時(shí)回顧了已有的相關(guān)知識(shí)和方法,鏈接了本章的重點(diǎn)和難點(diǎn),符合學(xué)生學(xué)習(xí)上的認(rèn)知規(guī)律.【分析計(jì)算能力】解決直線與圓的計(jì)算問題,要盡量充分地利用平面幾何中圓的性質(zhì),利用幾何法解題要比代數(shù)法解題來得簡(jiǎn)捷.2.一圓與軸相切,圓心在直線上,且直線截圓所得弦長(zhǎng)為,求此圓的方程.思路:利用圓的性質(zhì):半弦、半徑和弦心距構(gòu)成的直角三角形.在解決求圓的方程這類問題時(shí),應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn):(1)確定圓方程首先明確是標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程;(2)根據(jù)幾何關(guān)系(如本例的相切、弦長(zhǎng)等)建立方程求得或待定系數(shù)法的應(yīng)用,解答中要盡量減少未知量的個(gè)數(shù).解析:因圓與軸相切,且圓心在直線上,故設(shè)圓方程為.又因?yàn)橹本€截圓所得弦長(zhǎng)為,則有,解得.故所求圓的方程為或3.已知兩圓.(1)取何值時(shí)兩圓外切?(2)取何值時(shí)兩圓內(nèi)切?(3)當(dāng)時(shí),求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng).思路:判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法,即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系.而兩圓公共弦所在直線