數(shù)學(xué)-湖南師大附中2024-2025學(xué)年度高一第一學(xué)期期中考試試題和答案

湖南師大附中2024—2025學(xué)年度高一第一學(xué)期期中考試A.2.若集合M={(x-y,x+y)y=2x}，則()C.A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.已知函數(shù)f(x)的定義域是[-1,4]，則函數(shù)的定義域是()C.A.6.已知f(x)=2x2-ixi+1,a=flog,b=f,c=f則下列不等式成立的是()7.已知函數(shù)f(x)對任意x1,x2∈R，總有(x1-x2)f(x1)-f(x2)>0.若存在x∈(a-1,a)使得不等式f(3a-x)≤f(x+a2)成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A.A.4B.5C.7D.89.已知甲、乙兩城相距80km，兩個旅行者分別騎自行車和摩托車從甲城到乙城，他們所行駛的路程和時間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，有人根據(jù)此圖，提出了如下觀點，其中正確的觀點有()A.騎自行車者和騎摩托車者都是變速運(yùn)動B.騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)3h，晚到1hC.騎摩托車者在出發(fā)1.5h后追上了騎自行車者D.騎摩托車者在出發(fā)1.5h后與騎自行車者速度一樣10.已知冪函數(shù)f(x)=(m-1)xa的圖象經(jīng)過點下列結(jié)論正確的有()B.f(0)=0C.f(x)是偶函數(shù)D.若f，則x∈B.f(x)為奇函數(shù)C.x12，都有f(x1)>f(x2)D.1圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和為412.eln5-log23.log34+lg200+lg5=.13.已知兩個正實數(shù)x,y，滿足x+y=1，且不等式≤m2-2m有解，則實數(shù)m的取值范圍是xy.14.已知函數(shù)f(x)為[-1,1]上的奇函數(shù)，函數(shù)g(x)=x2-4x+3，若g(f(x))在[-1,1]上的值域為15.已知函數(shù)f(x)=x2-bx+b-1,b∈R.（2）設(shè)N={x∣x∈eRM,x∈Z}，若N中恰好有2個元素，求實數(shù)b的取值范圍.16.已知函數(shù)f是定義在區(qū)間(-2,2)上的奇函數(shù)（1）求a,b；（2）判斷f(x)在區(qū)間(-2,2)上的單調(diào)性，并用定義證明；（3）解關(guān)于t的不等式f(t-1)+f(t)<0.（1）當(dāng)a=1時，求f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最小值；（2）若x1f(x2)=g(x1)，求實數(shù)a的取值范圍.18.對1個單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗，清洗前其清潔度（含污物體的清潔度定義為：污物質(zhì)量1-）為0.8.要求洗完后的清潔度是0.99.有兩種方案可供選擇，方案甲：一次清洗；物體質(zhì)量(含污物)方案乙：分兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，其質(zhì)量變?yōu)閍(1≤a≤3).設(shè)用x單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是其中c(0.8<c<0.99)是該物體初次清洗（1）分別求出方案甲以及c=0.95時方案乙的用水量，并比較哪一種方案用水量較少；（2）若采用方案乙，當(dāng)a為某固定值時，如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水量最小？19.我們知道，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.類比奇函數(shù)的定義，我們可以定義中心對稱函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D，若對x∈D，都有f(2m-x)+f(x)=2n，則稱函數(shù)f(x)為中心對稱函數(shù)，其中(m,n)為函數(shù)f(x)的對稱中心.比如，函數(shù)y=1就是中心對稱函數(shù)，其對稱中心為(0,1).且中心對稱函數(shù)具有如下性質(zhì)：若(m,n)為函數(shù)f(x)的對稱中心，則函數(shù)y=f(x+m)-n為奇函數(shù).（1）已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,2)中心對稱，且當(dāng)x>1時，f(x)=x(x+1)，求f(0),f(1)的值.（2）已知函數(shù)為中心對稱函數(shù)，有唯一的對稱中心，請寫出對稱中心并證明；為中心對稱函數(shù).湖南師大附中2024—2025學(xué)年度高一第一學(xué)期期中考試A.【答案】C【解析】【分析】求出A∩B，再根據(jù)補(bǔ)集的含義即可得到答案.由圖知陰影部分表示的A∩B在A中的補(bǔ)集，故選：C.2.若集合M={(x-y,x+y)y=2x}，則()C.【答案】B【解析】【分析】分別計算出每項中x、y的對應(yīng)的值后，檢驗其是否符合y=2x即可得解.故選：B.A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】分別得出2a=2b及a2=b2時的a與b的關(guān)系，結(jié)合充分條件與必要條件定義即可判斷.【詳解】由函數(shù)y=2x在R上單調(diào)遞增，故當(dāng)2a=2b時，有a=b，若a22，則a故“2a=2b”是“a2=b2”的充分不必要條件.故選：A.4.已知函數(shù)f(x)的定義域是[-1,4]，則函數(shù)的定義域是()C.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域和被開方數(shù)大于等于0以及分母不等于0得到不等式組，解出即可.故選：D.A.【答案】D【解析】【分析】由題意可得函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，結(jié)合二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性可得不等式組l解出即可得.l【詳解】由對任意x1≠x2，都有故函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，故選：D.6.已知f=2x2-+1,a=f,b=f,c=f(log32)，則下列不等式成立的是()【答案】A【解析】【分析】結(jié)合偶函數(shù)定義與二次函數(shù)單調(diào)性，可得f(x)為偶函數(shù)及其單調(diào)性，則可結(jié)合<log32<1，a=flog2),=f(log23)，log23>從而得解.【詳解】f(x)定義域為R，有f(-x)=2(-x)2--x+1=2x2-x+1=f(x)，故f(x)為偶函數(shù)，則a=f(|(log2),=f(-log23)=f(log23)，由log23=log232=log29>log28=，32故選：A.7.已知函數(shù)f(x)對任意x1,x2∈R，總有(x1-x2)f(x1)-f(x2)>0.若存在x∈(a-1,a)使得不等式f(3a-x)≤f(x+a2)成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A.【答案】C【解析】【分析】由題意可得函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，即可得存在x∈(a-1,a)，使得2x+a2-3a≥0成立，即有2a+a2-3a>0恒成立，解出即可得.【詳解】由函數(shù)f(x)對任意x1,x2∈R，總有(x1-x2)f(x1)-f(x2)>0，故f(x)在R上單調(diào)遞增， 故選：C.A.4B.5C.7D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，用列舉法一一驗證即可.若f(1)=1，得ff(1)=f(1)，所以f(1)=3，矛盾.若f(1)=3，得ff(1)=f(3)，所以f(3)=3，這與f(x)是(0,+∞)上的增函數(shù)矛盾.所以ff(1)=f(2)，得f(2)=3；所以ff(2)=f(3)，得f(3)=6；所以ff(3)=f(6)，得f(6)=9.因為f(3)<f(4)<f(5)<f(6)，且f(4)，f(5)∈N*，故選：C.9.已知甲、乙兩城相距80km，兩個旅行者分別騎自行車和摩托車從甲城到乙城，他們所行駛的路程和時間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，有人根據(jù)此圖，提出了如下觀點，其中正確的觀點有()A.騎自行車者和騎摩托車者都是變速運(yùn)動B.騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)3h，晚到1hC.騎摩托車者在出發(fā)1.5h后追上了騎自行車者D.騎摩托車者在出發(fā)1.5h后與騎自行車者速度一樣【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)路程與時間的函數(shù)圖象，由v=st知摩托車是勻速運(yùn)動；兩函數(shù)交點說明行駛路程相等；圖象與x軸交點橫坐標(biāo)為出發(fā)時間，與y=80的交點橫坐標(biāo)為到達(dá)時間，即可判斷選項正誤.【詳解】對A：騎摩托車者行駛的路程與時間的函數(shù)圖象是線段，所以是勻速運(yùn)動，故A錯誤；對B：由時間軸上，自行車、摩托車對應(yīng)函數(shù)的起止點及其所對應(yīng)的時間值，可得騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)3h，晚到1h，故B正確；對C：兩條曲線的交點的橫坐標(biāo)對應(yīng)著4.5，結(jié)合圖象知C正確；對D：騎摩托車者在出發(fā)1.5h后追上自行車，而它們的車速不同，故D錯誤.故選：BC.10.已知冪函數(shù)f(x)=(m-1)xa的圖象經(jīng)過點下列結(jié)論正確的有()B.f(0)=0C.f(x)是偶函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】由冪函數(shù)定義可得A；結(jié)合圖象經(jīng)過點可得f解析式及其定義域，即可得B；結(jié)合偶函數(shù)的定義計算即可得C；結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)與冪函數(shù)單調(diào)性計算即可得D.【詳解】對A：由題意可得解得，故A正確；對B：由f其定義域為(-∞,0)(0,+∞)，故B錯誤；對C：由f是偶函數(shù)，故C正確；對D：由f(x)=x-，故f(x)在(0,+∞上單調(diào)遞減，又f(x)是偶函數(shù)，故可得{3-2x≠0，對3-2x<x+1，即有(3-2x)2<(23)(3),|(2,4,(23)(3)故選：AC.B.f(x)為奇函數(shù)C.x12，都有f(x1)>f(x2)D.圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和為4【答案】ACD【解析】【分析】A、B由函數(shù)新定義及奇偶性定義判斷；C作差法比較大小；D令x+x-1可得x-1，結(jié)合新定義求得0<x≤2，討論x求f(x)=x-1的根，即可判斷.B：f(-x)=-x+[-x]=-x-[x]-1≠-f(x)，錯；2，則f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+([x1]-[x2])，對于x1>x2，都有x1-x2>0,[所以x-1<x-1≤x，可得0<x≤2，當(dāng)x=2時，滿足fx-1，即2為圖象交點的橫坐標(biāo)；當(dāng)1<x<2時，f=x+1，則x+1=x-1→x=，即為圖象交當(dāng)x=1時，f(x)=2，則2≠-1，故1不為圖象交點的橫坐標(biāo)；3當(dāng)0<x<1時，f(x)=x，則x=x-1→x=2，即為圖象交點的橫坐標(biāo)；3綜上，圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和為2++=4，對.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：D選項，注意令f(x)=x-1結(jié)合分類討論求對應(yīng)根為關(guān)鍵.12.eln5-log23.log34+lg200+lg5=.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則和性質(zhì)計算即可.【詳解】eln5-log23.log34+lg200+lg5故答案為：6.13.已知兩個正實數(shù)x,y，滿足x+y=1，且不等式≤m2-2m有解，則實數(shù)m的取值范圍是xy.【答案】【解析】【分析】借助基本不等式“1”的活用可得不等式≤m2-2m有解等價于m2-2m≥8有解，解出即xy可得.【詳解】由x,y均為正實數(shù)，且x+y=1，4x2則不等式x+y≤m-2m有解等價于m2-2m≥8有解，14.已知函數(shù)f(x)為[-1,1]上的奇函數(shù)，函數(shù)g(x)=x2-4x+3，若g(f(x))在[-1,1]上的值域為【解析】【分析】由奇函數(shù)的對稱性可設(shè)f(x)的值域為?m,mm>0)，結(jié)合題意及二次函數(shù)的性質(zhì)可得由函數(shù)f(x)為[-1,1]上的奇函數(shù)，則可設(shè)f(x)的值域為?m,mm>0)，經(jīng)檢驗，m=2滿足題意，故f(x)的值域為[-2,2].15.已知函數(shù)f(x)=x2-bx+b-1,b∈R.}，若N中恰好有2個元素，求實數(shù)b的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；【解析】（2）結(jié)合（1）中所得分類討論，結(jié)合N中恰有2個整數(shù)元素即可得解.【小問1詳解】f(x)=x2-bx+b-1=(x-1)x-(b-1)，令(x-1)x-(b-1)≥0，解(x-1)x-(b-1)=0→x1=1或x2=b-1.當(dāng)b=2時，有(x-1)2≥0恒成立，故M=R；當(dāng)b<2時，有b-1<1，故M={xx≤b-1或x≥1}.綜上所述，當(dāng)b=2時，M=R；【小問2詳解】由N中恰好有2個元素，故N={0,-1}，則-2≤b-1<-1，解得-1≤b<0；16.已知函數(shù)f(x)=-是定義在區(qū)間(-2,2)上的奇函數(shù)，且f(1)=.（1）求a,b；（2）判斷f(x)在區(qū)間(-2,2)上的單調(diào)性，并用定義證明；（3）解關(guān)于t的不等式f(t-1)+f(t)<0.（2）f(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增，證明見解析【解析】3【分析】（1）結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)與f(1)=2計算即可得解；3（2）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性定義，令-2<x1<x2<2，得到f(x1)-f(x2)的正負(fù)即可得；（3）結(jié)合奇函數(shù)與單調(diào)性定義計算即可得解.【小問1詳解】由函數(shù)是定義在區(qū)間(-2,2)上的奇函數(shù)，f檢驗：當(dāng)x∈時，有f函數(shù)是定義在區(qū)間(-2,2)上的奇函數(shù)，符合要求，【小問2詳解】f(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增，證明如下：2即當(dāng)-2<x1<x2<2時，f(x1)-f(x2)<0，故f(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增；【小問3詳解】由f(t-1)+f(t)<0，即f(t-1)<-f(t)=f(-t)，由f(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增，17.已知函數(shù)f(x)=,g(x)=x2-4x+6.（1）當(dāng)a=1時，求f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最小值；（2）若x1f(x2)=g(x1)，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】【分析】（1）令2x=t，求出h(t)的單調(diào)性，求出f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最小值；（2）由題意得g(x)在[1,4]的值域包含于f(x)在[1,4]的值域，分a=0、a<0和a>0三種情況并結(jié)合單調(diào)性求解.【小問1詳解】所以在單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最小值為；【小問2詳解】由題意得g(x)在[1,4]的值域包含于f(x)在[1,4]的值域，由二次函數(shù)的性質(zhì)得g(x)的值域為[2,6]，所以18.對1個單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗，清洗前其清潔度（含污物體的清潔度定義為：污物質(zhì)量1-）為0.8.要求洗完后的清潔度是0.99.有兩種方案可供選擇，方案甲：一次清洗；物體質(zhì)量(含污物)方案乙：分兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，其質(zhì)量變?yōu)閍(1≤a≤3).設(shè)用x單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是其中c(0.8<c<0.99)是該物體初次清洗（1）分別求出方案甲以及c=0.95時方案乙的用水量，并比較哪一種方案用水量較少；（2）若采用方案乙，當(dāng)a為某固定值時，如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水量最?。俊敬鸢浮浚?）兩種方案的用水量分別為19和4a+3，方案乙的用水量較少（2）第一次與第二次用水量分別為25a-1和25a-a時，用水量最小【解析】【分析】（1）設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x,z，由=0.99求出x，進(jìn)而可知方案乙初次用水量為3，第二次的用水量y滿足方程，從而可求出y，從而比較可得結(jié)論；（2）設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為x與y，求出x和y的關(guān)系式，當(dāng)a為定值時結(jié)合基本不等式求出x+y的最小值即可得.【小問1詳解】設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x,z，即方案乙初次用水量為3，第二次用水量y滿足=0.99，即兩種方案的用水量分別為19和4a+3，所以x>z，所以方案乙的用水量較少；【小問2詳解】設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為x與y，類似,y=a當(dāng)a為定值時，當(dāng)且僅當(dāng)=100a(1-c)時取等號，此時c=1+不合題意舍去，或c=所以c=1-此時第一次與第二次用水量分別為25a-1和25a-a，最少用水量為T(a)=2·5a-1+2·5a-a=-a+4·5a-1.19.我們知道，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.類比奇函數(shù)的定義，我們可以定義中心對稱函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D，若對x∈D，都有f(2m-x)+f(x)=2n，則稱函數(shù)f(x)為中心對稱函數(shù)，其中(m,n)為函數(shù)f(x)的對稱中心.比如，函數(shù)y=+1就是中心對稱函數(shù)，其對稱中心為(0,1).且中心對稱函數(shù)具有如下性質(zhì)：若(m,n)為函數(shù)f(x)的對稱中心，則函數(shù)y=f(x+m