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湖南師大附中2024—2025學(xué)年度高一第一學(xué)期期中考試A.2.若集合M={(x-y,x+y)y=2x},則()C.A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.已知函數(shù)f(x)的定義域是[-1,4],則函數(shù)的定義域是()C.A.6.已知f(x)=2x2-ixi+1,a=flog,b=f,c=f則下列不等式成立的是()7.已知函數(shù)f(x)對任意x1,x2∈R,總有(x1-x2)f(x1)-f(x2)>0.若存在x∈(a-1,a)使得不等式f(3a-x)≤f(x+a2)成立,則實數(shù)a的取值范圍是()A.A.4B.5C.7D.89.已知甲、乙兩城相距80km,兩個旅行者分別騎自行車和摩托車從甲城到乙城,他們所行駛的路程和時間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,有人根據(jù)此圖,提出了如下觀點,其中正確的觀點有()A.騎自行車者和騎摩托車者都是變速運動B.騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)3h,晚到1hC.騎摩托車者在出發(fā)1.5h后追上了騎自行車者D.騎摩托車者在出發(fā)1.5h后與騎自行車者速度一樣10.已知冪函數(shù)f(x)=(m-1)xa的圖象經(jīng)過點下列結(jié)論正確的有()B.f(0)=0C.f(x)是偶函數(shù)D.若f,則x∈B.f(x)為奇函數(shù)C.x12,都有f(x1)>f(x2)D.1圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和為412.eln5-log23.log34+lg200+lg5=.13.已知兩個正實數(shù)x,y,滿足x+y=1,且不等式≤m2-2m有解,則實數(shù)m的取值范圍是xy.14.已知函數(shù)f(x)為[-1,1]上的奇函數(shù),函數(shù)g(x)=x2-4x+3,若g(f(x))在[-1,1]上的值域為15.已知函數(shù)f(x)=x2-bx+b-1,b∈R.(2)設(shè)N={x∣x∈eRM,x∈Z},若N中恰好有2個元素,求實數(shù)b的取值范圍.16.已知函數(shù)f是定義在區(qū)間(-2,2)上的奇函數(shù)(1)求a,b;(2)判斷f(x)在區(qū)間(-2,2)上的單調(diào)性,并用定義證明;(3)解關(guān)于t的不等式f(t-1)+f(t)<0.(1)當(dāng)a=1時,求f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最小值;(2)若x1f(x2)=g(x1),求實數(shù)a的取值范圍.18.對1個單位質(zhì)量的含污物體進行清洗,清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:污物質(zhì)量1-)為0.8.要求洗完后的清潔度是0.99.有兩種方案可供選擇,方案甲:一次清洗;物體質(zhì)量(含污物)方案乙:分兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響,其質(zhì)量變?yōu)閍(1≤a≤3).設(shè)用x單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是其中c(0.8<c<0.99)是該物體初次清洗(1)分別求出方案甲以及c=0.95時方案乙的用水量,并比較哪一種方案用水量較少;(2)若采用方案乙,當(dāng)a為某固定值時,如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最小?19.我們知道,奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.類比奇函數(shù)的定義,我們可以定義中心對稱函數(shù):設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D,若對x∈D,都有f(2m-x)+f(x)=2n,則稱函數(shù)f(x)為中心對稱函數(shù),其中(m,n)為函數(shù)f(x)的對稱中心.比如,函數(shù)y=1就是中心對稱函數(shù),其對稱中心為(0,1).且中心對稱函數(shù)具有如下性質(zhì):若(m,n)為函數(shù)f(x)的對稱中心,則函數(shù)y=f(x+m)-n為奇函數(shù).(1)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,2)中心對稱,且當(dāng)x>1時,f(x)=x(x+1),求f(0),f(1)的值.(2)已知函數(shù)為中心對稱函數(shù),有唯一的對稱中心,請寫出對稱中心并證明;為中心對稱函數(shù).湖南師大附中2024—2025學(xué)年度高一第一學(xué)期期中考試A.【答案】C【解析】【分析】求出A∩B,再根據(jù)補集的含義即可得到答案.由圖知陰影部分表示的A∩B在A中的補集,故選:C.2.若集合M={(x-y,x+y)y=2x},則()C.【答案】B【解析】【分析】分別計算出每項中x、y的對應(yīng)的值后,檢驗其是否符合y=2x即可得解.故選:B.A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】分別得出2a=2b及a2=b2時的a與b的關(guān)系,結(jié)合充分條件與必要條件定義即可判斷.【詳解】由函數(shù)y=2x在R上單調(diào)遞增,故當(dāng)2a=2b時,有a=b,若a22,則a故“2a=2b”是“a2=b2”的充分不必要條件.故選:A.4.已知函數(shù)f(x)的定義域是[-1,4],則函數(shù)的定義域是()C.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域和被開方數(shù)大于等于0以及分母不等于0得到不等式組,解出即可.故選:D.A.【答案】D【解析】【分析】由題意可得函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,結(jié)合二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性可得不等式組l解出即可得.l【詳解】由對任意x1≠x2,都有故函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,故選:D.6.已知f=2x2-+1,a=f,b=f,c=f(log32),則下列不等式成立的是()【答案】A【解析】【分析】結(jié)合偶函數(shù)定義與二次函數(shù)單調(diào)性,可得f(x)為偶函數(shù)及其單調(diào)性,則可結(jié)合<log32<1,a=flog2),=f(log23),log23>從而得解.【詳解】f(x)定義域為R,有f(-x)=2(-x)2--x+1=2x2-x+1=f(x),故f(x)為偶函數(shù),則a=f(|(log2),=f(-log23)=f(log23),由log23=log232=log29>log28=,32故選:A.7.已知函數(shù)f(x)對任意x1,x2∈R,總有(x1-x2)f(x1)-f(x2)>0.若存在x∈(a-1,a)使得不等式f(3a-x)≤f(x+a2)成立,則實數(shù)a的取值范圍是()A.【答案】C【解析】【分析】由題意可得函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,即可得存在x∈(a-1,a),使得2x+a2-3a≥0成立,即有2a+a2-3a>0恒成立,解出即可得.【詳解】由函數(shù)f(x)對任意x1,x2∈R,總有(x1-x2)f(x1)-f(x2)>0,故f(x)在R上單調(diào)遞增, 故選:C.A.4B.5C.7D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意,用列舉法一一驗證即可.若f(1)=1,得ff(1)=f(1),所以f(1)=3,矛盾.若f(1)=3,得ff(1)=f(3),所以f(3)=3,這與f(x)是(0,+∞)上的增函數(shù)矛盾.所以ff(1)=f(2),得f(2)=3;所以ff(2)=f(3),得f(3)=6;所以ff(3)=f(6),得f(6)=9.因為f(3)<f(4)<f(5)<f(6),且f(4),f(5)∈N*,故選:C.9.已知甲、乙兩城相距80km,兩個旅行者分別騎自行車和摩托車從甲城到乙城,他們所行駛的路程和時間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,有人根據(jù)此圖,提出了如下觀點,其中正確的觀點有()A.騎自行車者和騎摩托車者都是變速運動B.騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)3h,晚到1hC.騎摩托車者在出發(fā)1.5h后追上了騎自行車者D.騎摩托車者在出發(fā)1.5h后與騎自行車者速度一樣【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)路程與時間的函數(shù)圖象,由v=st知摩托車是勻速運動;兩函數(shù)交點說明行駛路程相等;圖象與x軸交點橫坐標(biāo)為出發(fā)時間,與y=80的交點橫坐標(biāo)為到達時間,即可判斷選項正誤.【詳解】對A:騎摩托車者行駛的路程與時間的函數(shù)圖象是線段,所以是勻速運動,故A錯誤;對B:由時間軸上,自行車、摩托車對應(yīng)函數(shù)的起止點及其所對應(yīng)的時間值,可得騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)3h,晚到1h,故B正確;對C:兩條曲線的交點的橫坐標(biāo)對應(yīng)著4.5,結(jié)合圖象知C正確;對D:騎摩托車者在出發(fā)1.5h后追上自行車,而它們的車速不同,故D錯誤.故選:BC.10.已知冪函數(shù)f(x)=(m-1)xa的圖象經(jīng)過點下列結(jié)論正確的有()B.f(0)=0C.f(x)是偶函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】由冪函數(shù)定義可得A;結(jié)合圖象經(jīng)過點可得f解析式及其定義域,即可得B;結(jié)合偶函數(shù)的定義計算即可得C;結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)與冪函數(shù)單調(diào)性計算即可得D.【詳解】對A:由題意可得解得,故A正確;對B:由f其定義域為(-∞,0)(0,+∞),故B錯誤;對C:由f是偶函數(shù),故C正確;對D:由f(x)=x-,故f(x)在(0,+∞上單調(diào)遞減,又f(x)是偶函數(shù),故可得{3-2x≠0,對3-2x<x+1,即有(3-2x)2<(23)(3),|(2,4,(23)(3)故選:AC.B.f(x)為奇函數(shù)C.x12,都有f(x1)>f(x2)D.圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和為4【答案】ACD【解析】【分析】A、B由函數(shù)新定義及奇偶性定義判斷;C作差法比較大??;D令x+x-1可得x-1,結(jié)合新定義求得0<x≤2,討論x求f(x)=x-1的根,即可判斷.B:f(-x)=-x+[-x]=-x-[x]-1≠-f(x),錯;2,則f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+([x1]-[x2]),對于x1>x2,都有x1-x2>0,[所以x-1<x-1≤x,可得0<x≤2,當(dāng)x=2時,滿足fx-1,即2為圖象交點的橫坐標(biāo);當(dāng)1<x<2時,f=x+1,則x+1=x-1→x=,即為圖象交當(dāng)x=1時,f(x)=2,則2≠-1,故1不為圖象交點的橫坐標(biāo);3當(dāng)0<x<1時,f(x)=x,則x=x-1→x=2,即為圖象交點的橫坐標(biāo);3綜上,圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和為2++=4,對.故選:ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛:D選項,注意令f(x)=x-1結(jié)合分類討論求對應(yīng)根為關(guān)鍵.12.eln5-log23.log34+lg200+lg5=.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則和性質(zhì)計算即可.【詳解】eln5-log23.log34+lg200+lg5故答案為:6.13.已知兩個正實數(shù)x,y,滿足x+y=1,且不等式≤m2-2m有解,則實數(shù)m的取值范圍是xy.【答案】【解析】【分析】借助基本不等式“1”的活用可得不等式≤m2-2m有解等價于m2-2m≥8有解,解出即xy可得.【詳解】由x,y均為正實數(shù),且x+y=1,4x2則不等式x+y≤m-2m有解等價于m2-2m≥8有解,14.已知函數(shù)f(x)為[-1,1]上的奇函數(shù),函數(shù)g(x)=x2-4x+3,若g(f(x))在[-1,1]上的值域為【解析】【分析】由奇函數(shù)的對稱性可設(shè)f(x)的值域為?m,mm>0),結(jié)合題意及二次函數(shù)的性質(zhì)可得由函數(shù)f(x)為[-1,1]上的奇函數(shù),則可設(shè)f(x)的值域為?m,mm>0),經(jīng)檢驗,m=2滿足題意,故f(x)的值域為[-2,2].15.已知函數(shù)f(x)=x2-bx+b-1,b∈R.},若N中恰好有2個元素,求實數(shù)b的取值范圍.【答案】(1)答案見解析;【解析】(2)結(jié)合(1)中所得分類討論,結(jié)合N中恰有2個整數(shù)元素即可得解.【小問1詳解】f(x)=x2-bx+b-1=(x-1)x-(b-1),令(x-1)x-(b-1)≥0,解(x-1)x-(b-1)=0→x1=1或x2=b-1.當(dāng)b=2時,有(x-1)2≥0恒成立,故M=R;當(dāng)b<2時,有b-1<1,故M={xx≤b-1或x≥1}.綜上所述,當(dāng)b=2時,M=R;【小問2詳解】由N中恰好有2個元素,故N={0,-1},則-2≤b-1<-1,解得-1≤b<0;16.已知函數(shù)f(x)=-是定義在區(qū)間(-2,2)上的奇函數(shù),且f(1)=.(1)求a,b;(2)判斷f(x)在區(qū)間(-2,2)上的單調(diào)性,并用定義證明;(3)解關(guān)于t的不等式f(t-1)+f(t)<0.(2)f(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增,證明見解析【解析】3【分析】(1)結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)與f(1)=2計算即可得解;3(2)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性定義,令-2<x1<x2<2,得到f(x1)-f(x2)的正負即可得;(3)結(jié)合奇函數(shù)與單調(diào)性定義計算即可得解.【小問1詳解】由函數(shù)是定義在區(qū)間(-2,2)上的奇函數(shù),f檢驗:當(dāng)x∈時,有f函數(shù)是定義在區(qū)間(-2,2)上的奇函數(shù),符合要求,【小問2詳解】f(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增,證明如下:2即當(dāng)-2<x1<x2<2時,f(x1)-f(x2)<0,故f(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增;【小問3詳解】由f(t-1)+f(t)<0,即f(t-1)<-f(t)=f(-t),由f(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增,17.已知函數(shù)f(x)=,g(x)=x2-4x+6.(1)當(dāng)a=1時,求f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最小值;(2)若x1f(x2)=g(x1),求實數(shù)a的取值范圍.【解析】【分析】(1)令2x=t,求出h(t)的單調(diào)性,求出f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最小值;(2)由題意得g(x)在[1,4]的值域包含于f(x)在[1,4]的值域,分a=0、a<0和a>0三種情況并結(jié)合單調(diào)性求解.【小問1詳解】所以在單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最小值為;【小問2詳解】由題意得g(x)在[1,4]的值域包含于f(x)在[1,4]的值域,由二次函數(shù)的性質(zhì)得g(x)的值域為[2,6],所以18.對1個單位質(zhì)量的含污物體進行清洗,清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:污物質(zhì)量1-)為0.8.要求洗完后的清潔度是0.99.有兩種方案可供選擇,方案甲:一次清洗;物體質(zhì)量(含污物)方案乙:分兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響,其質(zhì)量變?yōu)閍(1≤a≤3).設(shè)用x單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是其中c(0.8<c<0.99)是該物體初次清洗(1)分別求出方案甲以及c=0.95時方案乙的用水量,并比較哪一種方案用水量較少;(2)若采用方案乙,當(dāng)a為某固定值時,如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最???【答案】(1)兩種方案的用水量分別為19和4a+3,方案乙的用水量較少(2)第一次與第二次用水量分別為25a-1和25a-a時,用水量最小【解析】【分析】(1)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x,z,由=0.99求出x,進而可知方案乙初次用水量為3,第二次的用水量y滿足方程,從而可求出y,從而比較可得結(jié)論;(2)設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為x與y,求出x和y的關(guān)系式,當(dāng)a為定值時結(jié)合基本不等式求出x+y的最小值即可得.【小問1詳解】設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x,z,即方案乙初次用水量為3,第二次用水量y滿足=0.99,即兩種方案的用水量分別為19和4a+3,所以x>z,所以方案乙的用水量較少;【小問2詳解】設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為x與y,類似,y=a當(dāng)a為定值時,當(dāng)且僅當(dāng)=100a(1-c)時取等號,此時c=1+不合題意舍去,或c=所以c=1-此時第一次與第二次用水量分別為25a-1和25a-a,最少用水量為T(a)=2·5a-1+2·5a-a=-a+4·5a-1.19.我們知道,奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.類比奇函數(shù)的定義,我們可以定義中心對稱函數(shù):設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D,若對x∈D,都有f(2m-x)+f(x)=2n,則稱函數(shù)f(x)為中心對稱函數(shù),其中(m,n)為函數(shù)f(x)的對稱中心.比如,函數(shù)y=+1就是中心對稱函數(shù),其對稱中心為(0,1).且中心對稱函數(shù)具有如下性質(zhì):若(m,n)為函數(shù)f(x)的對稱中心,則函數(shù)y=f(x+m
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