數(shù)學(xué)-湖南師大附中2024-2025學(xué)年度高一第一學(xué)期期中考試試題和答案

湖南師大附中2024—2025學(xué)年度高一第一學(xué)期期中考試A.2.若集合M={(x-y,x+y)y=2x}，則()C.A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.已知函數(shù)f(x)的定義域是[-1,4]，則函數(shù)的定義域是()C.A.6.已知f(x)=2x2-ixi+1,a=flog,b=f,c=f則下列不等式成立的是()7.已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x1,x2∈R，總有(x1-x2)f(x1)-f(x2)>0.若存在x∈(a-1,a)使得不等式f(3a-x)≤f(x+a2)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.A.4B.5C.7D.89.已知甲、乙兩城相距80km，兩個(gè)旅行者分別騎自行車(chē)和摩托車(chē)從甲城到乙城，他們所行駛的路程和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，有人根據(jù)此圖，提出了如下觀點(diǎn)，其中正確的觀點(diǎn)有()A.騎自行車(chē)者和騎摩托車(chē)者都是變速運(yùn)動(dòng)B.騎自行車(chē)者比騎摩托車(chē)者早出發(fā)3h，晚到1hC.騎摩托車(chē)者在出發(fā)1.5h后追上了騎自行車(chē)者D.騎摩托車(chē)者在出發(fā)1.5h后與騎自行車(chē)者速度一樣10.已知冪函數(shù)f(x)=(m-1)xa的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)下列結(jié)論正確的有()B.f(0)=0C.f(x)是偶函數(shù)D.若f，則x∈B.f(x)為奇函數(shù)C.x12，都有f(x1)>f(x2)D.1圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為412.eln5-log23.log34+lg200+lg5=.13.已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y，滿足x+y=1，且不等式≤m2-2m有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是xy.14.已知函數(shù)f(x)為[-1,1]上的奇函數(shù)，函數(shù)g(x)=x2-4x+3，若g(f(x))在[-1,1]上的值域?yàn)?5.已知函數(shù)f(x)=x2-bx+b-1,b∈R.（2）設(shè)N={x∣x∈eRM,x∈Z}，若N中恰好有2個(gè)元素，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.16.已知函數(shù)f是定義在區(qū)間(-2,2)上的奇函數(shù)（1）求a,b；（2）判斷f(x)在區(qū)間(-2,2)上的單調(diào)性，并用定義證明；（3）解關(guān)于t的不等式f(t-1)+f(t)<0.（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最小值；（2）若x1f(x2)=g(x1)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18.對(duì)1個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗，清洗前其清潔度（含污物體的清潔度定義為：污物質(zhì)量1-）為0.8.要求洗完后的清潔度是0.99.有兩種方案可供選擇，方案甲：一次清洗；物體質(zhì)量(含污物)方案乙：分兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，其質(zhì)量變?yōu)閍(1≤a≤3).設(shè)用x單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是其中c(0.8<c<0.99)是該物體初次清洗（1）分別求出方案甲以及c=0.95時(shí)方案乙的用水量，并比較哪一種方案用水量較少；（2）若采用方案乙，當(dāng)a為某固定值時(shí)，如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水量最??？19.我們知道，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.類(lèi)比奇函數(shù)的定義，我們可以定義中心對(duì)稱函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，若對(duì)x∈D，都有f(2m-x)+f(x)=2n，則稱函數(shù)f(x)為中心對(duì)稱函數(shù)，其中(m,n)為函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心.比如，函數(shù)y=1就是中心對(duì)稱函數(shù)，其對(duì)稱中心為(0,1).且中心對(duì)稱函數(shù)具有如下性質(zhì)：若(m,n)為函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心，則函數(shù)y=f(x+m)-n為奇函數(shù).（1）已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)中心對(duì)稱，且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)=x(x+1)，求f(0),f(1)的值.（2）已知函數(shù)為中心對(duì)稱函數(shù)，有唯一的對(duì)稱中心，請(qǐng)寫(xiě)出對(duì)稱中心并證明；為中心對(duì)稱函數(shù).湖南師大附中2024—2025學(xué)年度高一第一學(xué)期期中考試A.【答案】C【解析】【分析】求出A∩B，再根據(jù)補(bǔ)集的含義即可得到答案.由圖知陰影部分表示的A∩B在A中的補(bǔ)集，故選：C.2.若集合M={(x-y,x+y)y=2x}，則()C.【答案】B【解析】【分析】分別計(jì)算出每項(xiàng)中x、y的對(duì)應(yīng)的值后，檢驗(yàn)其是否符合y=2x即可得解.故選：B.A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】分別得出2a=2b及a2=b2時(shí)的a與b的關(guān)系，結(jié)合充分條件與必要條件定義即可判斷.【詳解】由函數(shù)y=2x在R上單調(diào)遞增，故當(dāng)2a=2b時(shí)，有a=b，若a22，則a故“2a=2b”是“a2=b2”的充分不必要條件.故選：A.4.已知函數(shù)f(x)的定義域是[-1,4]，則函數(shù)的定義域是()C.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域和被開(kāi)方數(shù)大于等于0以及分母不等于0得到不等式組，解出即可.故選：D.A.【答案】D【解析】【分析】由題意可得函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，結(jié)合二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性可得不等式組l解出即可得.l【詳解】由對(duì)任意x1≠x2，都有故函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，故選：D.6.已知f=2x2-+1,a=f,b=f,c=f(log32)，則下列不等式成立的是()【答案】A【解析】【分析】結(jié)合偶函數(shù)定義與二次函數(shù)單調(diào)性，可得f(x)為偶函數(shù)及其單調(diào)性，則可結(jié)合<log32<1，a=flog2),=f(log23)，log23>從而得解.【詳解】f(x)定義域?yàn)镽，有f(-x)=2(-x)2--x+1=2x2-x+1=f(x)，故f(x)為偶函數(shù)，則a=f(|(log2),=f(-log23)=f(log23)，由log23=log232=log29>log28=，32故選：A.7.已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x1,x2∈R，總有(x1-x2)f(x1)-f(x2)>0.若存在x∈(a-1,a)使得不等式f(3a-x)≤f(x+a2)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.【答案】C【解析】【分析】由題意可得函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，即可得存在x∈(a-1,a)，使得2x+a2-3a≥0成立，即有2a+a2-3a>0恒成立，解出即可得.【詳解】由函數(shù)f(x)對(duì)任意x1,x2∈R，總有(x1-x2)f(x1)-f(x2)>0，故f(x)在R上單調(diào)遞增， 故選：C.A.4B.5C.7D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，用列舉法一一驗(yàn)證即可.若f(1)=1，得ff(1)=f(1)，所以f(1)=3，矛盾.若f(1)=3，得ff(1)=f(3)，所以f(3)=3，這與f(x)是(0,+∞)上的增函數(shù)矛盾.所以ff(1)=f(2)，得f(2)=3；所以ff(2)=f(3)，得f(3)=6；所以ff(3)=f(6)，得f(6)=9.因?yàn)閒(3)<f(4)<f(5)<f(6)，且f(4)，f(5)∈N*，故選：C.9.已知甲、乙兩城相距80km，兩個(gè)旅行者分別騎自行車(chē)和摩托車(chē)從甲城到乙城，他們所行駛的路程和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，有人根據(jù)此圖，提出了如下觀點(diǎn)，其中正確的觀點(diǎn)有()A.騎自行車(chē)者和騎摩托車(chē)者都是變速運(yùn)動(dòng)B.騎自行車(chē)者比騎摩托車(chē)者早出發(fā)3h，晚到1hC.騎摩托車(chē)者在出發(fā)1.5h后追上了騎自行車(chē)者D.騎摩托車(chē)者在出發(fā)1.5h后與騎自行車(chē)者速度一樣【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)路程與時(shí)間的函數(shù)圖象，由v=st知摩托車(chē)是勻速運(yùn)動(dòng)；兩函數(shù)交點(diǎn)說(shuō)明行駛路程相等；圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為出發(fā)時(shí)間，與y=80的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為到達(dá)時(shí)間，即可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】對(duì)A：騎摩托車(chē)者行駛的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象是線段，所以是勻速運(yùn)動(dòng)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：由時(shí)間軸上，自行車(chē)、摩托車(chē)對(duì)應(yīng)函數(shù)的起止點(diǎn)及其所對(duì)應(yīng)的時(shí)間值，可得騎自行車(chē)者比騎摩托車(chē)者早出發(fā)3h，晚到1h，故B正確；對(duì)C：兩條曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)著4.5，結(jié)合圖象知C正確；對(duì)D：騎摩托車(chē)者在出發(fā)1.5h后追上自行車(chē)，而它們的車(chē)速不同，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知冪函數(shù)f(x)=(m-1)xa的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)下列結(jié)論正確的有()B.f(0)=0C.f(x)是偶函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】由冪函數(shù)定義可得A；結(jié)合圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)可得f解析式及其定義域，即可得B；結(jié)合偶函數(shù)的定義計(jì)算即可得C；結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)與冪函數(shù)單調(diào)性計(jì)算即可得D.【詳解】對(duì)A：由題意可得解得，故A正確；對(duì)B：由f其定義域?yàn)?-∞,0)(0,+∞)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：由f是偶函數(shù)，故C正確；對(duì)D：由f(x)=x-，故f(x)在(0,+∞上單調(diào)遞減，又f(x)是偶函數(shù)，故可得{3-2x≠0，對(duì)3-2x<x+1，即有(3-2x)2<(23)(3),|(2,4,(23)(3)故選：AC.B.f(x)為奇函數(shù)C.x12，都有f(x1)>f(x2)D.圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4【答案】ACD【解析】【分析】A、B由函數(shù)新定義及奇偶性定義判斷；C作差法比較大??；D令x+x-1可得x-1，結(jié)合新定義求得0<x≤2，討論x求f(x)=x-1的根，即可判斷.B：f(-x)=-x+[-x]=-x-[x]-1≠-f(x)，錯(cuò)；2，則f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+([x1]-[x2])，對(duì)于x1>x2，都有x1-x2>0,[所以x-1<x-1≤x，可得0<x≤2，當(dāng)x=2時(shí)，滿足fx-1，即2為圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；當(dāng)1<x<2時(shí)，f=x+1，則x+1=x-1→x=，即為圖象交當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=2，則2≠-1，故1不為圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；3當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)=x，則x=x-1→x=2，即為圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；3綜上，圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2++=4，對(duì).故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)，注意令f(x)=x-1結(jié)合分類(lèi)討論求對(duì)應(yīng)根為關(guān)鍵.12.eln5-log23.log34+lg200+lg5=.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】eln5-log23.log34+lg200+lg5故答案為：6.13.已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y，滿足x+y=1，且不等式≤m2-2m有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是xy.【答案】【解析】【分析】借助基本不等式“1”的活用可得不等式≤m2-2m有解等價(jià)于m2-2m≥8有解，解出即xy可得.【詳解】由x,y均為正實(shí)數(shù)，且x+y=1，4x2則不等式x+y≤m-2m有解等價(jià)于m2-2m≥8有解，14.已知函數(shù)f(x)為[-1,1]上的奇函數(shù)，函數(shù)g(x)=x2-4x+3，若g(f(x))在[-1,1]上的值域?yàn)椤窘馕觥俊痉治觥坑善婧瘮?shù)的對(duì)稱性可設(shè)f(x)的值域?yàn)?m,mm>0)，結(jié)合題意及二次函數(shù)的性質(zhì)可得由函數(shù)f(x)為[-1,1]上的奇函數(shù)，則可設(shè)f(x)的值域?yàn)?m,mm>0)，經(jīng)檢驗(yàn)，m=2滿足題意，故f(x)的值域?yàn)閇-2,2].15.已知函數(shù)f(x)=x2-bx+b-1,b∈R.}，若N中恰好有2個(gè)元素，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；【解析】（2）結(jié)合（1）中所得分類(lèi)討論，結(jié)合N中恰有2個(gè)整數(shù)元素即可得解.【小問(wèn)1詳解】f(x)=x2-bx+b-1=(x-1)x-(b-1)，令(x-1)x-(b-1)≥0，解(x-1)x-(b-1)=0→x1=1或x2=b-1.當(dāng)b=2時(shí)，有(x-1)2≥0恒成立，故M=R；當(dāng)b<2時(shí)，有b-1<1，故M={xx≤b-1或x≥1}.綜上所述，當(dāng)b=2時(shí)，M=R；【小問(wèn)2詳解】由N中恰好有2個(gè)元素，故N={0,-1}，則-2≤b-1<-1，解得-1≤b<0；16.已知函數(shù)f(x)=-是定義在區(qū)間(-2,2)上的奇函數(shù)，且f(1)=.（1）求a,b；（2）判斷f(x)在區(qū)間(-2,2)上的單調(diào)性，并用定義證明；（3）解關(guān)于t的不等式f(t-1)+f(t)<0.（2）f(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析【解析】3【分析】（1）結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)與f(1)=2計(jì)算即可得解；3（2）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性定義，令-2<x1<x2<2，得到f(x1)-f(x2)的正負(fù)即可得；（3）結(jié)合奇函數(shù)與單調(diào)性定義計(jì)算即可得解.【小問(wèn)1詳解】由函數(shù)是定義在區(qū)間(-2,2)上的奇函數(shù)，f檢驗(yàn)：當(dāng)x∈時(shí)，有f函數(shù)是定義在區(qū)間(-2,2)上的奇函數(shù)，符合要求，【小問(wèn)2詳解】f(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增，證明如下：2即當(dāng)-2<x1<x2<2時(shí)，f(x1)-f(x2)<0，故f(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增；【小問(wèn)3詳解】由f(t-1)+f(t)<0，即f(t-1)<-f(t)=f(-t)，由f(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增，17.已知函數(shù)f(x)=,g(x)=x2-4x+6.（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最小值；（2）若x1f(x2)=g(x1)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】【分析】（1）令2x=t，求出h(t)的單調(diào)性，求出f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最小值；（2）由題意得g(x)在[1,4]的值域包含于f(x)在[1,4]的值域，分a=0、a<0和a>0三種情況并結(jié)合單調(diào)性求解.【小問(wèn)1詳解】所以在單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最小值為；【小問(wèn)2詳解】由題意得g(x)在[1,4]的值域包含于f(x)在[1,4]的值域，由二次函數(shù)的性質(zhì)得g(x)的值域?yàn)閇2,6]，所以18.對(duì)1個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗，清洗前其清潔度（含污物體的清潔度定義為：污物質(zhì)量1-）為0.8.要求洗完后的清潔度是0.99.有兩種方案可供選擇，方案甲：一次清洗；物體質(zhì)量(含污物)方案乙：分兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，其質(zhì)量變?yōu)閍(1≤a≤3).設(shè)用x單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是其中c(0.8<c<0.99)是該物體初次清洗（1）分別求出方案甲以及c=0.95時(shí)方案乙的用水量，并比較哪一種方案用水量較少；（2）若采用方案乙，當(dāng)a為某固定值時(shí)，如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水量最??？【答案】（1）兩種方案的用水量分別為19和4a+3，方案乙的用水量較少（2）第一次與第二次用水量分別為25a-1和25a-a時(shí)，用水量最小【解析】【分析】（1）設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x,z，由=0.99求出x，進(jìn)而可知方案乙初次用水量為3，第二次的用水量y滿足方程，從而可求出y，從而比較可得結(jié)論；（2）設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為x與y，求出x和y的關(guān)系式，當(dāng)a為定值時(shí)結(jié)合基本不等式求出x+y的最小值即可得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x,z，即方案乙初次用水量為3，第二次用水量y滿足=0.99，即兩種方案的用水量分別為19和4a+3，所以x>z，所以方案乙的用水量較少；【小問(wèn)2詳解】設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為x與y，類(lèi)似,y=a當(dāng)a為定值時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)=100a(1-c)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)c=1+不合題意舍去，或c=所以c=1-此時(shí)第一次與第二次用水量分別為25a-1和25a-a，最少用水量為T(mén)(a)=2·5a-1+2·5a-a=-a+4·5a-1.19.我們知道，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.類(lèi)比奇函數(shù)的定義，我們可以定義中心對(duì)稱函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，若對(duì)x∈D，都有f(2m-x)+f(x)=2n，則稱函數(shù)f(x)為中心對(duì)稱函數(shù)，其中(m,n)為函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心.比如，函數(shù)y=+1就是中心對(duì)稱函數(shù)，其對(duì)稱中心為(0,1).且中心對(duì)稱函數(shù)具有如下性質(zhì)：若(m,n)為函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心，則函數(shù)y=f(x+m