2024屆廣東省深圳市龍文教育高三數(shù)學(xué)試題月測（四）試題

2023屆廣東省深圳市龍文教育高三數(shù)學(xué)試題月測（四）試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)是偶函數(shù)，則實數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．2．設(shè)正項等比數(shù)列的前n項和為，若，，則公比（）A． B．4 C． D．23．若，則下列不等式不能成立的是（）A． B． C． D．4．已知拋物線,過拋物線上兩點分別作拋物線的兩條切線為兩切線的交點為坐標(biāo)原點若,則直線與的斜率之積為（）A． B． C． D．5．設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則a的值為（）A． B．3 C．1 D．6．若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．7．若函數(shù)在處取得極值2，則（）A．-3 B．3 C．-2 D．28．《九章算術(shù)》中記載，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱，陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖，在塹堵中，，，當(dāng)陽馬體積的最大值為時，塹堵的外接球的體積為（）A． B． C． D．9．函數(shù)的大致圖象是A． B． C． D．10．已知橢圓的左、右焦點分別為、，過點的直線與橢圓交于、兩點.若的內(nèi)切圓與線段在其中點處相切，與相切于點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）A． B． C． D．12．如圖所示，已知某幾何體的三視圖及其尺寸（單位：），則該幾何體的表面積為()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校初三年級共有名女生，為了了解初三女生分鐘“仰臥起坐”項目訓(xùn)練情況，統(tǒng)計了所有女生分鐘“仰臥起坐”測試數(shù)據(jù)（單位：個），并繪制了如下頻率分布直方圖，則分鐘至少能做到個仰臥起坐的初三女生有_____________個．14．已知實數(shù)滿足，則的最大值為________.15．設(shè)為拋物線的焦點，為上互相不重合的三點，且、、成等差數(shù)列，若線段的垂直平分線與軸交于，則的坐標(biāo)為_______.16．過直線上一點作圓的兩條切線，切點分別為，，則的最小值是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）若數(shù)列的前項和，，求證：數(shù)列的前項和.18．（12分）已知數(shù)列和滿足：.（1）求證:數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.19．（12分）電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對某體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性有55名，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”．(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？非體育迷體育迷合計男女1055合計(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．附：.P(K2≥k)0.050.01k3.8416.63520．（12分）某商場為改進(jìn)服務(wù)質(zhì)量，隨機抽取了200名進(jìn)場購物的顧客進(jìn)行問卷調(diào)查．調(diào)查后，就顧客“購物體驗”的滿意度統(tǒng)計如下：滿意不滿意男4040女8040（1）是否有97.5%的把握認(rèn)為顧客購物體驗的滿意度與性別有關(guān)？（2）為答謝顧客，該商場對某款價格為100元/件的商品開展促銷活動．據(jù)統(tǒng)計，在此期間顧客購買該商品的支付情況如下：支付方式現(xiàn)金支付購物卡支付APP支付頻率10%30%60%優(yōu)惠方式按9折支付按8折支付其中有1/3的顧客按4折支付，1/2的顧客按6折支付，1/6的顧客按8折支付將上述頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，記某顧客購買一件該促銷商品所支付的金額為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附表及公式：．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）在中，內(nèi)角的對邊分別是，已知.（1）求角的值；（2）若，，求的面積．22．（10分）2019年安慶市在大力推進(jìn)城市環(huán)境、人文精神建設(shè)的過程中，居民生活垃圾分類逐漸形成意識.有關(guān)部門為宣傳垃圾分類知識，面向該市市民進(jìn)行了一次“垃圾分類知識"的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每位市民僅有一次參與機會，通過抽樣，得到參與問卷調(diào)查中的1000人的得分?jǐn)?shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖：（1）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布，近似為這1000人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表），利用該正態(tài)分布，求P（）；（2）在（1）的條件下，有關(guān)部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：（i）得分不低于可獲贈2次隨機話費，得分低于則只有1次：（ii）每次贈送的隨機話費和對應(yīng)概率如下：贈送話費（單位：元）1020概率現(xiàn)有一位市民要參加此次問卷調(diào)查，記X（單位：元）為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求X的分布列.附：，若，則，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

先求出的解析式，再求出的解析式，根據(jù)三角函數(shù)圖象的對稱性可求實數(shù)滿足的等式，從而可求其最小值.【詳解】的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為，故.令，，解得，.因為為偶函數(shù)，故直線為其圖象的對稱軸，令，，故，，因為，故，當(dāng)時，.故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換以及三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，注意平移變換是對自變量做加減，比如把的圖象向右平移1個單位后，得到的圖象對應(yīng)的解析式為，另外，如果為正弦型函數(shù)圖象的對稱軸，則有，本題屬于中檔題．2．D【解析】

由得，又，兩式相除即可解出．【詳解】解：由得，又，∴，∴，或，又正項等比數(shù)列得，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．B【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)對選項逐一判斷即可.【詳解】選項A：由于，即，，所以，所以，所以成立；選項B：由于，即，所以，所以，所以不成立；選項C：由于，所以，所以，所以成立；選項D：由于，所以，所以，所以，所以成立.故選：B.【點睛】本題考查不等關(guān)系和不等式，屬于基礎(chǔ)題.4．A【解析】

設(shè)出A，B的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出過A，B的切線的斜率，結(jié)合，可得x1x2＝﹣1．再寫出OA，OB所在直線的斜率，作積得答案．【詳解】解：設(shè)A（），B（），由拋物線C：x2＝1y，得，則y′．∴，，由，可得，即x1x2＝﹣1．又，，∴．故選：A．點睛：（1）本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是解題的思路，由于與切線有關(guān)，所以一般先設(shè)切點，先設(shè)A,B,,再求切線PA,PB方程，求點P坐標(biāo)，再根據(jù)得到最后求直線與的斜率之積.如果先設(shè)點P的坐標(biāo)，計算量就大一些.5．D【解析】

整理復(fù)數(shù)為的形式,由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)可知實部為0,虛部不為0,即可求解.【詳解】由題,,因為純虛數(shù),所以,則,故選:D【點睛】本題考查已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)范圍,考查復(fù)數(shù)的除法運算.6．B【解析】

利用復(fù)數(shù)乘法運算化簡，由此求得.【詳解】依題意，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運算，考查復(fù)數(shù)模的計算，屬于基礎(chǔ)題.7．A【解析】

對函數(shù)求導(dǎo),可得,即可求出,進(jìn)而可求出答案.【詳解】因為,所以,則,解得,則.故選:A.【點睛】本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值,考查了學(xué)生的運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.8．B【解析】

利用均值不等式可得,即可求得,進(jìn)而求得外接球的半徑,即可求解.【詳解】由題意易得平面,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,又陽馬體積的最大值為,所以,所以塹堵的外接球的半徑,所以外接球的體積,故選:B【點睛】本題以中國傳統(tǒng)文化為背景,考查四棱錐的體積、直三棱柱的外接球的體積、基本不等式的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算、直觀想象等核心素養(yǎng).9．A【解析】

利用函數(shù)的對稱性及函數(shù)值的符號即可作出判斷.【詳解】由題意可知函數(shù)為奇函數(shù)，可排除B選項；當(dāng)時，，可排除D選項；當(dāng)時，，當(dāng)時，，即，可排除C選項，故選：A【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷，函數(shù)對稱性的應(yīng)用，屬于中檔題．10．D【解析】

可設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，設(shè)，，可得，由切線的性質(zhì)：切線長相等推得，解得、，并設(shè)，求得的值，推得為等邊三角形，由焦距為三角形的高，結(jié)合離心率公式可得所求值．【詳解】可設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，為切點，且為中點，，設(shè)，，則，且有，解得，，設(shè)，，設(shè)圓切于點，則，，由，解得，，，所以為等邊三角形，所以，，解得.因此，該橢圓的離心率為.故選：D.【點睛】本題考查橢圓的定義和性質(zhì)，注意運用三角形的內(nèi)心性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，考查化簡運算能力，屬于中檔題．11．D【解析】

由程序框圖確定程序功能后可得出結(jié)論．【詳解】執(zhí)行該程序可得．故選：D．【點睛】本題考查程序框圖．解題可模擬程序運行，觀察變量值的變化，然后可得結(jié)論，也可以由程序框圖確定程序功能，然后求解．12．C【解析】

由三視圖知，該幾何體是一個圓錐，其母線長是5，底面直徑是6，據(jù)此可計算出答案.【詳解】由三視圖知，該幾何體是一個圓錐，其母線長是5，底面直徑是6，該幾何體的表面積.故選：C【點睛】本題主要考查了三視圖的知識，幾何體的表面積的計算.由三視圖正確恢復(fù)幾何體是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)數(shù)據(jù)先求出，再求出分鐘至少能做到個仰臥起坐的初三女生人數(shù)即可.【詳解】解：，.則分鐘至少能做到個仰臥起坐的初三女生人數(shù)為.故答案為：.【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖，屬于基礎(chǔ)題.14．【解析】

作出不等式組所表示的平面區(qū)域，將目標(biāo)函數(shù)看作點與可行域的點所構(gòu)成的直線的斜率，當(dāng)直線過時，直線的斜率取得最大值，代入點A的坐標(biāo)可得答案.【詳解】畫出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，如下圖所示，由得點，目標(biāo)函數(shù)表示點與可行域的點所構(gòu)成的直線的斜率，當(dāng)直線過時，直線的斜率取得最大值，此時的最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查求目標(biāo)函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.15．或【解析】

設(shè)出三點的坐標(biāo)，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、拋物線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為：，設(shè)，由拋物線的定義可知：，，，因為、、成等差數(shù)列，所以有，所以，因為線段的垂直平分線與軸交于，所以，因此有，化簡整理得：或.若，由可知；，這與已知矛盾，故舍去；若，所以有，因此.故答案為：或【點睛】本題考查了拋物線的定義的應(yīng)用，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運算能力.16．【解析】

由切線的性質(zhì)，可知，切由直角三角形PAO，PBO，即可設(shè)，進(jìn)而表示，由圖像觀察可知進(jìn)而求出x的范圍，再用的式子表示，整理后利用換元法與雙勾函數(shù)求出最小值.【詳解】由題可知，，設(shè)，由切線的性質(zhì)可知，則顯然，則或（舍去）因為令，則，由雙勾函數(shù)單調(diào)性可知其在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以故答案為：【點睛】本題考查在以直線與圓的位置關(guān)系為背景下求向量數(shù)量積的最值問題，應(yīng)用函數(shù)形式表示所求式子，進(jìn)而利用分析函數(shù)單調(diào)性或基本不等式求得最值，屬于較難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)證明見解析.【解析】試題分析：將，求出切線方程求導(dǎo)后討論當(dāng)時和時的單調(diào)性證明，求出實數(shù)的取值范圍先求出、的通項公式，利用當(dāng)時，得，下面證明：解析：（Ⅰ）因為，所以，，切點為.由，所以，所以曲線在處的切線方程為，即（Ⅱ）由，令，則（當(dāng)且僅當(dāng)取等號）.故在上為增函數(shù).①當(dāng)時，,故在上為增函數(shù)，所以恒成立，故符合題意；②當(dāng)時，由于，，根據(jù)零點存在定理，必存在，使得，由于在上為增函數(shù)，故當(dāng)時，,故在上為減函數(shù)，所以當(dāng)時，,故在上不恒成立，所以不符合題意.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為（III）證明：由由（Ⅱ）知當(dāng)時，，故當(dāng)時，，故，故.下面證明：因為而，所以，，即：點睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出參數(shù)及證明不等式成立，借助第二問的證明過程，利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性證明數(shù)列的不等式，在求解的過程中還要求出數(shù)列的和，計算較為復(fù)雜，本題屬于難題．18．（1）見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)題目所給遞推關(guān)系式得到，由此證得數(shù)列為等比數(shù)列.（2）由（1）求得數(shù)列的通項公式，判斷出，由此利用裂項求和法求得數(shù)列的前項和.【詳解】（1）所以數(shù)列是以3為首項，以3為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知，∴為常數(shù)列，且，∴，∴∴【點睛】本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列，考查裂項求和法，屬于中檔題.19．(1)無關(guān)；(2)，.【解析】

(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而可得列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷合計男301545女451055合計7525100將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得.因為3.030<3.841，所以我們沒有充分理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)．(2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率.由題意知X～B(3，)，從而X的分布列為X0123PE(X)＝np＝＝.D(X)＝np(1－p)＝20．（1）有97.5%的把握認(rèn)為顧客購物體驗的滿意度與性別有關(guān)；（2）67元，見解析.【解析】

（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)代入公式，結(jié)合臨界值即得解；（2）的可能取值為40，60，80，1，根據(jù)題意依次計算概率，列出分布列，求數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）由題得，所以，有97.5%的把握