2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章基本初等函數(shù)Ⅰ2.1指數(shù)函數(shù)2.1.1第2課時(shí)指數(shù)冪及運(yùn)算講義教案新人教A版必修1

PAGE第2課時(shí)指數(shù)冪及運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，駕馭根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2．駕馭實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，并能對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值．(重點(diǎn))1．通過(guò)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、運(yùn)算性質(zhì)的推導(dǎo)，培育邏輯推理素養(yǎng)．2．借助指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)代數(shù)式化簡(jiǎn)或求值，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：aeq\s\up8(eq\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：aeq\s\up8(－eq\f(m,n))＝eq\f(1,aeq\s\up8(eq\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義思索：在分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化公式aeq\s\up8(eq\f(m,n))＝eq\r(n,am)中，為什么必需規(guī)定a>0?提示：①若a＝0,0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪恒等于0，即eq\r(n,am)＝aeq\s\up8(eq\f(m,n))＝0，無(wú)探討價(jià)值．②若a<0，aeq\s\up8(eq\f(m,n))＝eq\r(n,am)不肯定成立，如(－2)eq\s\up14(eq\f(3,2))＝eq\r(2,－23)無(wú)意義，故為了避開(kāi)上述狀況規(guī)定了a>0.2．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．3．無(wú)理數(shù)指數(shù)冪一般地，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α是無(wú)理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪．1．下列運(yùn)算結(jié)果中，正確的是()A．a(chǎn)2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)C．(eq\r(a)－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6A[a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(eq\r(a)－1)0＝1，若成立，須要滿意a≠1，故選A.]2．4eq\s\up14(eq\f(2,5))等于()A．25B.eq\r(5,16)C.eq\r(4eq\s\up14(eq\f(1,5)))D.eq\r(5,4)B[4eq\s\up14(eq\f(2,5))＝eq\r(5,42)＝eq\r(5,16)，故選B.]3．已知a>0，則aeq\s\up14(－eq\f(2,3))等于()A.eq\r(a3) B.eq\f(1,\r(3,a2))C.eq\f(1,\r(a3)) D．－eq\r(3,a2)B[aeq\s\up14(－eq\f(2,3))＝eq\f(1,aeq\s\up14(eq\f(2,3)))＝eq\f(1,\r(3,a2)).]4．(meq\s\up14(eq\f(1,2)))4＋(－1)0＝________.m2＋1[(meq\s\up14(eq\f(1,2)))4＋(－1)0＝m2＋1.]根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化【例1】(1)(多選題)下列各式中成立的是()A.eq\r(12,－34)＝eq\r(3,－3)B.eq\r(4,x3＋y3)＝(x＋y)eq\s\up14(eq\f(3,4))C.eq\r(\r(3,9))＝eq\r(3,3)D.eq\r(a\r(a))＝aeq\s\up14(eq\f(3,4))(2)已知xeq\s\up14(－eq\f(2,3))＝4，則x等于()A．±eq\f(1,8) B．±8C.eq\f(\r(3,4),4) D．±2eq\r(3,2)(3)將下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式：①eq\r(3,a·\r(a))；②a·eq\r(－\f(1,a))；③eq\f(1,\r(3,x\r(5,x2)2)).(1)CD(2)A[(1)eq\r(12,－34)＝3eq\s\up14(eq\f(4,12))＝3eq\s\up14(eq\f(1,3))＝eq\r(3,3)，故A錯(cuò)誤．eq\r(4,x3＋y3)＝(x3＋y3)eq\s\up14(eq\f(1,4))，故B錯(cuò)誤．eq\r(\r(3,9))＝(9eq\s\up14(eq\f(1,3)))eq\s\up14(eq\f(1,2))＝(3eq\s\up14(eq\f(2,3)))eq\s\up14(eq\f(1,2))＝3eq\s\up14(eq\f(1,3))＝eq\r(3,3)，故C正確．eq\r(a\r(a))＝eq\r(a·aeq\s\up14(eq\f(1,2)))＝eq\r(aeq\s\up14(eq\f(3,2)))＝(aeq\s\up14(eq\f(3,2)))eq\s\up14(eq\f(1,2))＝aeq\s\up14(eq\f(3,4))，故D正確．(2)由xeq\s\up14(－eq\f(2,3))＝4得eq\f(1,\r(3,x2))＝4，即eq\r(3,x2)＝eq\f(1,4)，∴x2＝eq\f(1,64)，∴x＝±eq\f(1,8)，故選A.](3)解：①eq\r(3,a·\r(a))＝eq\r(3,a·aeq\s\up14(eq\f(1,2)))＝(aeq\s\up14(eq\f(3,2)))eq\s\up14(eq\f(1,3))＝aeq\s\up14(eq\f(3,2))×eq\s\up14(eq\f(1,3))＝aeq\s\up14(eq\f(1,2)).②由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)≥0，,a≠0，))，∴a＜0，∴a＝－eq\r(a2)，∴a·eq\r(－\f(1,a))＝－eq\r(a2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a))))＝－eq\r(－a)＝－(－a)eq\s\up14(eq\f(1,2)).根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律(1)根指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開(kāi)方數(shù)(式)的指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子．(2)在詳細(xì)計(jì)算時(shí)，通常會(huì)把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)解題．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示a·eq\r(－a)為()A．－aeq\s\up14(eq\f(3,2)) B．－(－a)eq\s\up14(eq\f(3,2))C．－(－a)eq\s\up14(eq\f(2,3)) D．－aeq\s\up14(eq\f(3,2))B[由題意知－a≥0，∴a≤0.∴a＝－eq\r(a2)，∴a·eq\r(－a)＝－eq\r(a2×－a)＝－eq\r(－a3)＝－(－a)eq\s\up14(eq\f(3,2))，故選B]2.將下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行互化：(1)a3·eq\r(3,a2)；(2)eq\r(a－4b2\r(3,ab2))(a>0，b>0)．利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求解【例2】(教材改編題)化簡(jiǎn)求值：(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－(3)2eq\r(3,a)÷4eq\r(6,ab)×3eq\r(b3).指數(shù)冪運(yùn)算的常用技巧1有括號(hào)先算括號(hào)里的，無(wú)括號(hào)先進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算.2負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù).3底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，要先化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).提示：化簡(jiǎn)的結(jié)果不能同時(shí)含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既含有分母又含有負(fù)指數(shù).eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])指數(shù)冪運(yùn)算中的條件求值[探究問(wèn)題]1．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))eq\s\up8(2)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))eq\s\up8(2)存在怎樣的等量關(guān)系？提示：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))eq\s\up8(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))eq\s\up8(2)＋4.2．已知eq\r(a)＋eq\f(1,\r(a))的值，如何求a＋eq\f(1,a)的值？反之呢？提示：設(shè)eq\r(a)＋eq\f(1,\r(a))＝m，則兩邊平方得a＋eq\f(1,a)＝m2－2；反之若設(shè)a＋eq\f(1,a)＝n，則n＝m2－2，∴m＝eq\r(n＋2).即eq\r(a)＋eq\f(1,\r(a))＝eq\r(n＋2).【例3】(1)若2x＝7,2y＝6，則4x－y等于()A.eq\f(36,49) B.eq\f(7,6)C.eq\f(6,7) D.eq\f(49,36)(2)已知aeq\s\up14(eq\f(1,2))＋aeq\s\up14(－eq\f(1,2))＝4，求下列各式的值：①a＋a－1；②a2＋a－2.(1)D[由2x＝7,2y＝6得4x－y＝eq\f(4x,4y)＝eq\f(2x2,2y2)＝eq\f(72,62)＝eq\f(49,36)，故選D.](2)[解]①將aeq\s\up14(eq\f(1,2))＋aeq\s\up14(－eq\f(1,2))＝4兩邊平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.②將a＋a－1＝14兩邊平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.1．在本例(2)條件不變的條件下，求a－a－1的值．[解]令a－a－1＝t，則兩邊平方得a2＋a－2＝t2＋2，∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8eq\r(3)，即a－a－1＝±8eq\r(3).2．在本例(2)條件不變的條件下，求a2－a－2的值．[解]由上題可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8eq\r(3)×14＝±112eq\r(3).解決條件求值的思路1在利用條件等式求值時(shí)，往往先將所求式子進(jìn)行有目的的變形，或先對(duì)條件式加以變形，溝通所求式子與條件等式的聯(lián)系，以便用整體代入法求值.2在利用整體代入的方法求值時(shí)，要留意完全平方公式的應(yīng)用.1．核心要點(diǎn)：(1)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化．(2)對(duì)根式進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，一般先將根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，這樣可便利運(yùn)用同底數(shù)冪的運(yùn)算律．2．?dāng)?shù)學(xué)思想：解決較困難的條件求值問(wèn)題時(shí)，“整體思想”是簡(jiǎn)化求解的“利器”．1.思索辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)0的任何指數(shù)冪都等于0. ()(2)5eq\s\up14(eq\f(2,3))＝eq\r(53). ()(3)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉(zhuǎn)化，如eq\r(4,a2)＝aeq\s\up14(eq\f(1,2)). ()(4)aeq\s\up8(eq\f(m,n))可以理解為eq\f(m,n)個(gè)a.( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．把根式aeq\r(a)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是()A．(－a)eq\s\up14(eq\f(3,2)) B．－(－a)eq\s\up14(eq\f(3,2))C．－aeq\s\