專題 與線段有關的計算問題（35題型提分練）2024-2025學年七年級數(shù)學上冊同步課堂（北師大版2024）

第第頁（北師大版）七年級上冊數(shù)學《第4章基本平面圖形》專題與線段有關的計算問題（解答題35題）（基礎題＆提升題＆壓軸題）題型一基礎題1．（2023秋?歷下區(qū)期末）如圖，點C在線段AB上，AC＝6且BC＝2AC，點M是線段AB的中點，求線段CM的長度．【分析】先根據(jù)AC＝6且BC＝2AC求出線段AB的長度，然后根據(jù)線段中點的定義求出AM的長，最后用AM減去AC即可求出線段CM的長．【解答】解：∵AC＝6，BC＝2AC，∴BC＝12，AB＝18，∵點M是線段AB的中點，∴AM=12∴CM＝AM﹣AC＝9﹣6＝3．【點評】本題主要考查線段的和差倍分以及線段中點定義，熟練掌握線段的和差倍分的計算方法是解決問題的關鍵．2．（2023秋?閩清縣期末）已知：如圖，線段AB＝24，點C、D是線段AB的三等分點，點E是線段AB的中點．求線段CE的長．【分析】先利用線段中點的定義得到AE＝12，利用線段三等份的定義得到AC＝8，于是可得CE＝4．【解答】解：∵點C、D是線段AB的三等分點，∴AC=13AB∵點E是線段AB的中點，∴AE=12AB=1∴CE＝AE﹣AC＝12﹣8＝4．【點評】本題考查的是兩點間的距離，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關系是解答此題的關鍵．3．（2023秋?定陶區(qū)期中）如圖，C是線段AB上一點，M是AC的中點，N是BC的中點，若AM＝2厘米，BC＝8厘米，求MN的長度．【分析】先根據(jù)線段中點的定義得到CM＝AM＝2厘米，CN=1【解答】解：∵M是AC的中點，AM＝2厘米，∴CM＝AM＝2厘米，∵N是BC的中點，BC＝8厘米，∴CN＝BC＝4厘米，∴MN＝CM+CN＝6厘米．【點評】本題主要考查了與線段中點有關的計算，4．（2024春?桓臺縣期末）如圖，點C在線段AB上，AC＝6cm，MB＝10cm，點M，N分別為AC，BC的中點．求線段BC，MN的長．【分析】根據(jù)線段中點的定義以及圖形中線段之間的和差關系進行計算即可．【解答】解：∵M是AC的中點，AC＝6cm，∴MC＝AM=12AC＝3∴BC＝MB﹣MC＝10﹣3＝7（cm），又∵N為BC的中點，∴CN=12BC＝3.5∴MN＝MC+NC＝6.5cm．【點評】本題考查兩點之間的距離，掌握線段中點的定義以及圖形中線段之間的和差關系是正確解答的關鍵．5．（2024春?萊蕪區(qū)期末）如圖，線段AB＝12，C是線段AB的中點，M是線段AB上的一點，AM＝8，N是線段BM的中點．求線段CN的長．【分析】根據(jù)線段中點的定義，結合圖形中線段之間的和差關系進行計算即可．【解答】解：∵AB＝12，C是線段AB的中點，∴AC＝BC=12又∵AM＝8，∴BM＝AB﹣AM＝12﹣8＝4，∵N是線段BM的中點．∴BN＝MN=12∴CN＝BC﹣BN＝6﹣2＝4．【點評】本題考查兩點間的距離，掌握相等中點的定義是正確解答的關鍵．6．（2023秋?思明區(qū)校級期末）如圖，點C是線段AB的中點，點D是線段BC上一點，點E是線段AD的中點，AD＝12cm，CE＝2cm，求線段AB的長．【分析】根據(jù)點E是線段AD的中點，AD＝12cm，先求出AE，進而求出AC，根據(jù)點C是線段AB的中點求出AB即可．【解答】解：∵E是線段AD的中點，∴AE=1∵AD＝12cm，∴AE=12×12=∵CE＝2cm，∴AC＝AE+CE＝6+2＝8（cm），∵點C是線段AB的中點，∴AB＝2AC＝2×8＝16（cm），即線段AB的長為16cm．【點評】本題考查兩點間距離、線段的和差定義等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．7．（2023秋?雁塔區(qū)校級期中）如圖，已知點C為AB上一點，AC＝30cm，BC=25AC，D，E分別為AC，AB【分析】根據(jù)題意求出BC，進而求出AB，再根據(jù)線段中點的定義計算即可．【解答】解：∵BC=25AC，AC＝30∴BC=25×∴AB＝AC+BC＝30+12＝42（cm），∵E為AB的中點，∴AE=12AB＝21∵D為AC的中點，∴AD=12AC＝15∴DE＝AE﹣AD＝21﹣15＝6（cm）．【點評】本題考查的是兩點間的距離、線段中點的定義，熟記線段中點的定義是解題的關鍵．8．（2023春?棲霞市期末）如圖，已知點B在線段AC上，點D在線段AB上，滿足BD：AB＝1：4，且點D，E分別是線段AC，AB的中點，若EC＝24，求線段AB和AC的長度．【分析】設BD＝x，得到AB＝4BD＝4x，根據(jù)線段中點的定義得到BE＝AE=12AB=12×4x＝2x，求得AD＝3x，得到AC【解答】解：設BD＝x，∵BD：AB＝1：4，∴AB＝4BD＝4x，∵點E是線段AB的中點，∴BE＝AE=12AB=12×∴DE＝x，∴AD＝3x，∵點D是線段AC的中點，∴AC＝2AD＝6x，∴CE＝AC﹣AE＝6x﹣2x＝24，解得：x＝6，∴AB＝4x＝4×6＝24，AC＝6x＝6×6＝36．【點評】本題綜合考查了兩點間的距離，線段的中點，線段的和差倍分等相關知識點，重點掌握直線上兩點之間的距離公式計算方法．9．（1）如果AB＝30cm，AM＝8cm，求NC的長；（2）如果MN＝6cm，求AB的長．【分析】（1）根據(jù)M是AC的中點，有AC＝2AM，再根據(jù)BC＝AB﹣AC即可求解；（2）根據(jù)M是AC的中點，N是BC的中點，可得AB＝AC+BC＝2MN，即可求解．【解答】解：（1）∵點M是線段AC的中點，AM＝8cm，∴AC＝2AM＝16cm．∵AB＝30cm，∴BC＝AB﹣AC＝30﹣16＝14（cm）．∵點N是線段BC的中點，∴CN=1（2）∵點M是線段AC的中點，點N是線段BC的中點，MN＝6cm，∴NC=12BC∴MN=NC+CM=1∴AB＝12（cm）．【點評】本題考查了線段中點有關的計算以及線段之間的數(shù)量關系等知識，理清線段之間的數(shù)量關系是解答本題的關鍵．10．（2023秋?肥西縣期末）如圖，點B是線段AC上一點，且AB＝21cm，BC=13（1）試求出線段AC的長；（2）如果點O是線段AC的中點，請求線段OB的長．【分析】（1）由B在線段AC上可知AC＝AB+BC，把AB＝21cm，BC=13（2）根據(jù)O是線段AC的中點及AC的長可求出CO的長，由OB＝CO﹣BC即可得出答案．【解答】解：（1）∵AB＝21cm，BC=13AB＝7∴AC＝AB+BC＝21+7＝28（cm）；（2）由（1）知：AC＝28cm，∵點O是線段AC的中點，∴CO=12AC=1∴OB＝CO﹣BC＝14﹣7＝7（cm）．【點評】本題主要考查兩點間的距離，掌握線段的中點的性質、線段的和差運算是解題的關鍵．11．（2023?克東縣校級開學）如圖，已知A、B、C、D、E五點在同一直線上，D是線段AB的中點，點E是線段BC的中點，線段AC＝12．（1）寫出AC、DC、CB的數(shù)量關系；（2）求線段DE的長．【分析】（1）根據(jù)線段的中點求出AD＝BD，CE＝BE，BC＝2CE，求出AC＝AD+DC＝2CE+2CD即可；（2）根據(jù)（1）得出AC＝2CE+2CD＝12，再求出CE+CD即可．【解答】解：（1）∵D是線段AB的中點，點E是線段BC的中點，∴AD＝BD，CE＝BE，BC＝2CE，∴AC＝AD+DC＝BD+DC＝BE+CE+DC+DC＝2CE+2CD＝CB+2CD，即AC、DC、CB的數(shù)量關系是AC＝CB+2CD；（2）由（1）知：AC＝2CE+2CD＝12，所以CE+CD＝6，即DE＝CE+CD＝6．【點評】本題考查了兩點間的距離，能求出AC＝2CE+2CD是解此題的關鍵．12．（2023秋?惠城區(qū)期末）已知點C是線段AB上一點，AC=13（1）若AB＝60，求BC的長；（2）若AB＝a，D是AC的中點，E是BC的中點，請用含a的代數(shù)式表示DE的長，并說明理由．【分析】（1）首先根據(jù)AB＝60，AC=13AB，求出AC的長度是多少；然后用AB的長減去AC的長，求出（2）首先根據(jù)D是AC的中點，E是BC的中點，可得：DC=12AC，CE=12BC，推得DE=12AB；然后根據(jù)AB＝【解答】解：（1）∵AB＝60，AC=1∴AC=1∴BC＝AB﹣AC＝60﹣20＝40．（2）如圖，，∵D是AC的中點，E是BC的中點，∴DC=12AC∴DE＝DC+CE=12AC+12BC=12（AC+BC【點評】此題主要考查了兩點間的距離的求法，以及線段的中點的特征和應用，要熟練掌握．題型二提升題13．（2024春?泰山區(qū)期末）如圖，已知線段AB和CD的公共部分BD=13AB=14CD，線段AB、CD的中點E、F之間距離是10【分析】設BD＝xcm，則AB＝3xcm，CD＝4xcm，則AC＝6xcm．根據(jù)線段中點的定義可得出AE=12AB=1.5xcm，CF=12CD=2xcm．再根據(jù)EF＝2.5x【解答】解：設BD＝xcm，則AB＝3xcm，CD＝4xcm，則AC＝6xcm．∵點E、點F分別為AB、CD的中點，∴AE=12AB=1.5xcm，CF=∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝6x﹣1.5x﹣2x＝2.5xcm．∵EF＝10cm，∴2.5x＝10，解得：x＝4．∴AB＝12cm，AC＝24cm．【點評】本題主要考查了兩點間的距離，一元一次方程的應用，關鍵是注意運用數(shù)形結合思想和方程思想．14．（2023秋?路橋區(qū)期末）如圖，C是線段AB上的一點，且AB＝8，AC＝3BC，D為AB的中點，E為BC的中點．（1）線段BC的長為；（2）求線段DE的長．【分析】（1）根據(jù)AC+BC＝AB，AB＝8，AC＝3BC得3BC+BC＝8，據(jù)此可得BC的長；（2）根據(jù)AB＝8，D為AB的中點得DB=12AB＝4，再由（1）可知BC＝2，則DC＝DB﹣BC＝2，然后根據(jù)E為BC的中點得CE=12【解答】解：（1）∵C是線段AB上的一點，∴AC+BC＝AB，又∵AB＝8，AC＝3BC，∴3BC+BC＝8，∴BC＝2，故答案為：2．（2）∵AB＝8，D為AB的中點，∴DB=12由（1）可知：BC＝2，∴DC＝DB﹣BC＝4﹣2＝2，又∵E為BC的中點，∴CE=12∴DE＝DC+CE＝3．【點評】此題主要考查了線段中點的定義，線段的計算，理解線段中點的定義，熟練掌握線段的計算是解決問題的關鍵．15．（2022秋?玉環(huán)市期末）如圖，C為線段AB延長線上一點，D為線段BC上一點，AB＝12，CD＝4BD．（1）若BC＝15，求AD的長；（2）若AB＝2BD，E為AC的中點，求BE的長．【分析】（1）根據(jù)BC＝5BD，可求得BD＝3，據(jù)此即可求得答案；（2）先求得BD＝6，進而可求得AC＝42，根據(jù)線段中點的定義，可求得AE＝21．【解答】解：（1）∵DC＝4BD，∴BC＝5BD．∵BC＝15，∴BD＝3．∵AB＝12，∴AD＝AB+BD＝15．（2）∵AB＝2BD＝12，∴BD＝6．∵DC＝4BD＝24，∴AC＝AB+BD+CD＝42．∵E是AC的中點，∴AE=1∴BE＝AE﹣AB＝9．【點評】本題主要考查線段和線段的中點，正確記憶相關知識點是解題關鍵．16．（2023秋?海珠區(qū)期末）如圖，線段AB＝20，BC＝15，點M是AC的中點．（1）求線段AM的長度；（2）在CB上取一點N，使得CN：NB＝2：3．求MN的長．【分析】（1）根據(jù)圖示知AM=12AC，AC＝AB﹣（2）根據(jù)已知條件求得CN＝6，然后根據(jù)圖示知MN＝MC+NC．【解答】解：（1）線段AB＝20，BC＝15，∴AC＝AB﹣BC＝20﹣15＝5．又∵點M是AC的中點．∴AM=12AC=12×5=（2）∵BC＝15，CN：NB＝2：3，∴CN=25BC又∵點M是AC的中點，AC＝5，∴MC=12AC∴MN＝MC+NC=172，即MN的長度是【點評】本題考查了兩點間的距離，利用了線段的和差，線段中點的性質．17．（2023秋?化州市期末）如圖，C為線段AD上一點，點B為CD的中點，且AD＝9cm，BD＝2cm．（1）求AC的長．（2）若點E在直線AD上，且EA＝3cm，求BE的長．【分析】（1）根據(jù)AC＝AD﹣CD＝AC﹣2BC，即可求出答案；（2）分點E在A的左邊和右邊兩種情形求解即可．【解答】解：（1）∵點B為CD的中點，∴CB＝BD＝2cm，∴CD＝BC+BD＝4cm，∴AC＝AD﹣CD＝9﹣4＝5cm，答：AC的長為5cm．（2）AB＝AC+BC＝7cm，EA＝3cm，當點E在線段AD上時，BE＝AB﹣AE＝7﹣3＝4cm，當點E在線段DA的延長線上時，BE＝AB+AE＝7+3＝10cm．答：BE的長為4cm或10cm．【點評】本題考查了線段的中點，線段的和差，熟練掌握并靈活運用線段的中點和線段的和差是解答本題的關鍵．18．（2023秋?倉山區(qū)期末）如圖，點E是線段AB的中點，C是EB上一點，且EC：CB＝1：4，AC＝12cm．（1）求AB的長；（2）若F為CB的中點，求EF長．【分析】（1）由線段的和差倍分，線段的中點，方程解得AB的長20cm；（2）由線段的中點，線段的和差計算出EF長為6cm．【解答】解：如圖所示：（1）設EC的長為x，∵EC：CB＝1：4，∴BC＝4x，又∵BE＝BC+CE，∴BE＝5x，又∵E為線段AB的中點，∴AE＝BE=1∴AE＝5x，又∵AC＝AE+EC，AC＝12cm，∴6x＝12，解得：x＝2，∴AB＝10x＝20cm；（2）∵F為線段CB的中點，∴CF=1又∵EF＝EC+CF∴EF＝3x＝6cm．【點評】本題綜合考查了線段的和差倍分，線段的中點等知識點，重點掌握兩點間距離計算方法．19．（2023秋?錫山區(qū)期末）已知A，B，C，D四點在同一直線上，點D在線段AB上．（1）如圖，若線段AB＝24，點C是線段AB的中點，CD=13BD（2）若線段AB＝21a，點C是線段AB上一點，且滿足AC＝2BC，AD：BD＝3：4，求線段CD的長度（用含a的式子表示）．【分析】（1）根據(jù)線段中點的定義得到AC＝BC=12AB=12，于是得到CD=（2）根據(jù)AB＝21a，AD：BD＝3：4，得到AD＝9a，BD＝12a，求得AC＝14a，BC＝7a，于是得到結論．【解答】解：（1）∵線段AB＝24，點C是線段AB的中點，∴AC＝BC=1∵CD=1∴CD=14BC（2）∵點D在線段AB上，AB＝21a，AD：BD＝3：4，∴AD＝9a，BD＝12a，∵AB＝21a，AC＝2BC，∴AC＝14a，BC＝7a，∴CD＝AC﹣AD＝14a﹣9a＝5a；故線段CD的長度為5a．【點評】本題考查的是兩點間的距離，掌握線段中點、三等分點的概念是解題的關鍵．20．（2023秋?河東區(qū)校級期末）如圖，線段AB＝20，BC＝14，點M是AC的中點．（1）求線段AM的長度；（2）在CB上取一點N，使得CN：NB＝3：4．求MN的長．【分析】（1）根據(jù)圖示知AM=12AC，AC＝AB﹣（2）根據(jù)已知條件求得CN＝6，然后根據(jù)圖示知MN＝MC+NC．【解答】解：（1）線段AB＝20，BC＝14，∴AC＝AB﹣BC＝20﹣14＝6．又∵點M是AC的中點．∴AM=12AC=1（2）∵BC＝14，CN：NB＝3：4，∴CN=37BC又∵點M是AC的中點，AC＝6，∴MC=12∴MN＝MC+NC＝9，即MN的長度是9．【點評】本題考查了兩點間的距離，利用了線段的和差，線段中點的性質．21．（2023秋?九江期末）如圖，點C、D為線段AB上兩點，點M為線段AC的中點，點N為線段BD的中點．（1）若AB＝14cm．CD＝4cm．求AC+BD的長及MN的長．（2）若AB＝a，CD＝b．直接用含a、b的式子表示MN的長．【分析】（1）已知AB＝14cm，CD＝4cm，可得AC+BD的長，因為點M為線段AC的中點，點N為線段BD的中點，所以CM+DN=12（AC+BD），因為MN＝MC+CD+DN，可得（2）已知AB＝a，CD＝b，可得AC+BD的長，因為點M為線段AC的中點，點N為線段BD的中點，所以CM+DN=12（AC+BD），因為MN＝MC+CD+DN，可得【解答】解：（1）∵AB＝14cm，CD＝4cm，∴AC+BD＝10cm，∵點M為線段AC的中點，點N為線段BD的中點，∴CM+DN=12（AC+BD）＝5∵MN＝MC+CD+DN，∴MN＝9cm；（2）∵AB＝a，CD＝b，∴AC+BD＝a﹣b，∵點M為線段AC的中點，點N為線段BD的中點，∴CM+DN=12（AC+BD）=12（∵MN＝MC+CD+DN，∴MN=12（a+【點評】本題考查了兩點間的距離，關鍵是掌握線段中點的定義．22．（2023秋?姜堰區(qū)期末）如圖，點M，C、N在線段AB上，給出下列三個條件：①AM=12AC、②BN=12BC、③（1）如果，那么．（從上述三個條件中任選兩個作為條件，余下的一個作為結論，填序號，完成上面的填空，并說明結論成立的理由．）（2）在（1）的條件下，若AM＝3cm，MN＝5cm，求線段BN的長．【分析】（1）根據(jù)線段中點的定義以及線段和差關系，即可求解；（2）設BN＝xcm，根據(jù)題意，列方程求解即可．【解答】解：（1）如果AM=12AC，BN=證明：AM=12AC則MC=AC?AM=12AC∴MN=MC+CN=1故答案為：①②，③；（2）設BN＝xcm，∵BN=1∴BC＝2BN＝2xcm，∵AM＝3cm，AM=1∴AC＝2AM＝6cm，則AB＝AC+BC＝（6+2x）cm，由（1）可得，5=1解得x＝2cm，即線段BN的長為2cm．【點評】此題考查了線段的中點以及線段的和差計算，解題的關鍵是理解題意，找到線段之間的關系，正確列出方程．23．（2024春?雙流區(qū)校級月考）如圖，線設AB＝18，點C是線段AB的中點，點D是線段BC的中點．（1）如圖①，求線段AD的長；（2）如圖②，點N是線段AC上的一點，且滿足NC：AN＝3：1，求DN的長度．【分析】（1）根據(jù)線段中點的定義以及圖形中線段的和差關系進行計算即可；（2）由線段的比例關系以及線段中點的定義進行計算即可．【解答】解：（1）∵點C是線段AB的中點，∴AC＝BC=12又∵點D是線段BC的中點，∴CD＝BD=12BC∴AD＝AC+CD＝9+=27（2）∵NC：AN＝3：1，∴NC=33+1AC∴DN＝NC+CD=27=45【點評】本題考查兩點間的距離，掌握線段中點的定義是正確解答的關鍵．24．（2024春?煙臺期末）如圖，點C在線段AB的延長線上，AC=53BC，點D在AB（1）設線段AB長為x，請用含x的代數(shù)式表示BC和AD的長；（2）設AB＝12cm，求線段CD的長．【分析】（1）根據(jù)AC＝AB+BC和AC=53BC求出BC，根據(jù)BD=35DC、CD＝BD+BC和BD＝AD+（2）根據(jù)CD＝AD+AB+BC和AB＝x＝12cm計算即可．【解答】解：（1）AC＝AB+BC，∵AC=53BC，AB＝∴53BC＝x+BC∴BC=32∵BD=35DC，CD＝BD+∴2BD＝3BC，∵BD＝AD+AB，∴2（AD+AB）＝3BC，即2（AD+x）=92∴AD=54（2）∵AB＝x＝12cm，∴CD＝AD+AB+BC=54x+x=15=15＝45（cm）．【點評】本題考查兩點間的距離、列代數(shù)式，找到線段之間的關系是解題的關鍵．25．（2023秋?黃石港區(qū)期末）如圖，點C為線段AB上一點，點D為BC的中點，且AB＝12，AC＝4CD．（1）求AC的長；（2）若點E在直線AB上，且AE＝3，求DE的長．【分析】（1）根據(jù)線段中點的性質，可用CD表示BC，根據(jù)線段的和差，可得關于CD的方程，根據(jù)解方程，可得CD的長，AC的長；（2）分類討論：點E在線段AB上，點E在線段BA的延長線上，根據(jù)線段的和差，可得答案．【解答】解：（1）由點D為BC的中點，得BC＝2CD＝2BD，由線段的和差，得AB＝AC+BC＝4CD+2CD＝12，解得：CD＝2，∴AC＝4CD＝4×2＝8；（2）①當點E在線段AB上時，由線段的和差，得DE＝AB﹣AE﹣DB＝12﹣3﹣2＝7，②當點E在線段BA的延長線上，由線段的和差，得DE＝AB+AE﹣BD＝12+3﹣2＝13．綜上所述：DE的長為7或13．【點評】本題考查了兩點間的距離，利用了線段中點的性質，線段的和差；分類討論是解題關鍵．題型二壓軸題26．（2022秋?溫州期末）如圖，線段AB＝10，C為AB延長線上的一點，D是線段AC中點，且點D不與點B重合．（1）當BC＝6時，求線段BD的長．（2）若線段BD＝4，求線段BC的長．【分析】（1）如圖1，根據(jù)線段的和差得到AC＝AB+BC＝16，根據(jù)線段中點的定義即可得到結論；（2）當點D在B的右側時，如圖2，AD＝AB+BD＝10+4＝14，當點D在B的左側時，如圖3，AD＝AB﹣BD＝10﹣4＝6，根據(jù)線段中點的定義即可得到結論．【解答】解：（1）如圖1，∵AB＝10，BC＝6，∴AC＝AB+BC＝16，∵D是線段AC中點，∴AD=12∴BD＝AB﹣AD＝10﹣8＝2；（2）當點D在B的右側時，如圖2，AD＝AB+BD＝10+4＝14，∵D是線段AC中點，∴AD＝CD＝14，∴BC＝BD+CD＝4+14＝18；當點D在B的左側時，如圖3，AD＝AB﹣BD＝10﹣4＝6，∵D是線段AC中點，∴AD＝CD＝6，∴BC＝CD﹣BD＝6﹣4＝2，綜上所述，線段BC的長為18或2．【點評】本題考查了兩點間的距離，利用了線段的和差，線段中點的性質，分類討論是解題關鍵，以防遺漏．27．（2023春?福山區(qū)期中）如圖，已知線段AB＝18cm，點C為AB上的一個動點，點D、E分別是AC和BC的中點．（1）若點C恰好是AB中點，則DE＝cm；（2）若AC＝8cm，求DE的長；（3）說明不論AC取何值（不超過18cm），DE的長不變．【分析】（1）根據(jù)線段中點的性質計算即可；（2）根據(jù)線段中點的性質和給出的數(shù)據(jù)，結合圖形計算；（3）同（1）的解法相同．【解答】解：（1）∵點D，E分別是AC和BC的中點，∴DC=12AC，CE=∴DC+CE=12（AC+CB）＝9故答案為：9；（2）∵AC＝8cm，∴CD＝4cm，∵AB＝18cm，AC＝8cm，∴BC＝10cm，∴CE＝5cm，DE＝DC+CE＝4+5＝9（cm）；（3）∵點D，E分別是AC和BC的中點，∴DC=12AC，CE=∴DC+CE=12（AC+即DE=12AB＝9故無論AC取何值（不超過18cm），DE的長不變．【點評】本題考查了兩點間的距離，解題的關鍵是正確的識別圖形．28．（2023秋?自貢期末）如圖，A，B，C，D是直線l上的四個點，M，N分別是AB，CD的中點．（1）如果MB＝2cm，NC＝1.8cm，BC＝5cm，則AD的長為cm；（2）如果MN＝10cm，BC＝6cm，則AD的長為cm；（3）如果MN＝a，BC＝b，求AD的長，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)線段的和，可得（MB+CN）的長，根據(jù)線段中點的性質，可得AB與MB的關系，CD與CN的關系，根據(jù)線段的和，可得答案；（2）先根據(jù)線段的和與差，計算出BM+CN的長，再根據(jù)線段中點的性質，可得AB與MB的關系，CD與CN的關系，根據(jù)線段的和，可得答案；（3）根據(jù)（2）的解題過程，即可解答．【解答】解：（1）∵MB＝2cm，NC＝1.8cm，∴MB+NC＝3.8，∵M，N分別是AB，CD的中點，∴AB＝2BM，CD＝2CN，∴AB+CD＝2BM+2CN＝2（BM+CN）＝7.6，∴AD＝AB+CD+BC＝7.6+5＝12.6（cm），故答案為：12.6；（2）∵MN＝10cm，BC＝6cm，∴BM+CN＝MN﹣BC＝10﹣6＝4，∵M，N分別是AB，CD的中點，∴AB＝2BM，CD＝2CN，∴AB+CD＝2BM+2CN＝2（BM+CN）＝8，∴AD＝AB+CD+BC＝8+6＝14（cm），故答案為：14；（3）∵MN＝a，BC＝b，∴BM+CN＝a﹣b，∵M，N分別是AB，CD的中點，∴AB＝2BM，CD＝2CN，∴AB+CD＝2BM+2CN＝2（BM+CN），∴AB+CD＝2（a﹣b），∵AD＝AB+CD+BC，∴AD＝2（a﹣b）+b＝2a﹣2b+b＝2a﹣b．【點評】本題考查了兩點間的距離，利用線段的和差得出（MB+CN）的長，利用線段中點的性質，得出AB＝2MB，CD＝2CN．29．（2023秋?涼州區(qū)期末）如圖，B是線段AD上一動點，沿A→D→A以2cm/s的速度往返運動1次，C是線段BD的中點，AD＝10cm，設點B運動時間為t秒（0≤t≤10）．（1）當t＝2時，①AB＝cm．②求線段CD的長度．（2）用含t的代數(shù)式表示運動過程中AB的長．（3）在運動過程中，若AB中點為E，則EC的長是否變化？若不變，求出EC的長；若發(fā)生變化，請說明理由．【分析】（1）①根據(jù)AB＝2t即可得出結論；②先求出BD的長，再根據(jù)C是線段BD的中點即可得出CD的長；（2）分類討論；（3）直接根據(jù)中點公式即可得出結論．【解答】解：（1）①∵B是線段AD上一動點，沿A→D→A以2cm/s的速度往返運動，∴當t＝2時，AB＝2×2＝4cm．故答案為：4；②∵AD＝10cm，AB＝4cm，∴BD＝10﹣4＝6cm，∵C是線段BD的中點，∴CD=12BD=1（2）∵B是線段AD上一動點，沿A→D→A以2cm/s的速度往返運動，∴當0≤t≤5時，AB＝2t；當5＜t≤10時，AB＝10﹣（2t﹣10）＝20﹣2t；（3）不變．∵AB中點為E，C是線段BD的中點，∴EC=12（AB+=1=1＝5cm．【點評】本題考查了兩點間的距離，根據(jù)已知得出各線段之間的等量關系是解題關鍵．30．在數(shù)軸上，點O為原點，點A表示的數(shù)為9，動點B，C在數(shù)軸上移動（點C在點B右側），總保持BC＝n（n大于0且小于4.5），設點B表示的數(shù)為m．（1）如圖1，當動點B，C在線段OA上移動時，①若n＝2，且B為OA中點時，則點C表示的數(shù)為；②若AC＝OB，求多項式4m+2n﹣20的值；（2）當線段BC在射線AO上移動時，且AC﹣OB=12AB，用含n的式子表示【分析】（1）①運用兩點間的距離公式求解；②根據(jù)AC＝OB得到2m+n＝9，然后整體代入求值；（2）分類討論：點C在線段OB上和點C在線段AB上兩種情況．【解答】解：（1）①∵點A表示的數(shù)為9，B為OA中點，∴OB＝4.5，∵BC＝2，∴OC＝4.5+2＝6.5，故答案為：6.5；②∵OA＝9，∴OB+BC+CA＝9．又∵AC＝OB，∴2OB+BC＝9．∴2m+n＝9．∴4m+2n﹣20＝2（2m+n）﹣20＝﹣2；（2）如圖1，當點B位于原點左側時，由題意，得：9﹣（m+n）+m=12（9﹣解得：m＝2n﹣9．如圖2，當點B位于原點右側時，由題意，得：9﹣（m+n）﹣m=12（9﹣解得：m＝3?23綜上可知，m＝3?23n或2【點評】本題主要考查了列代數(shù)式和數(shù)軸，解題的關鍵是找到等量關系，列出代數(shù)式，注意運用分類討論的數(shù)學思想解答（2）題．31．（2023秋?青羊區(qū)校級期末）（1）已知：代數(shù)式（3y﹣ax2﹣3x﹣1）﹣（5﹣y+bx﹣2x2）的值與x的取值無關，且ax2﹣x+b＝0．①求a，b的值；②求代數(shù)式ax3﹣5x2﹣x﹣10b的值．（2）已知方程5m﹣10＝4m的解也是關于x的方程2（x﹣3）﹣n＝11的解．①求m，n的值；②如圖，已知直線l上有兩點A，B（點A在點B的左邊），且AB＝m，在直線l上增加兩點C，D（點C在點D的左邊），作線段AD的中點M，作線段BC的中點N，若線段MN＝n，求線段CD的長度．【分析】（1）①去括號、合并同類項后，令x項的系數(shù)為0即可；②整體代入計算即可；（2）①解方程5m﹣10＝4m可求出m的值；再將x＝10代入關于x的方程2（x﹣3）﹣n＝11可求出n的值；②根據(jù)線段中點的定義以及線段之間的和差關系進行計算即可．【解答】解：（1）①（3y﹣ax2﹣3x﹣1）﹣（5﹣y+bx﹣2x2）＝3y﹣ax2﹣3x﹣1﹣5+y﹣bx+2x2＝（2﹣a）x2﹣（3+b）x+4y﹣6，∵代數(shù)式的值與x的取值無關，∴2﹣a＝0，3+b＝0，即a＝2，b＝﹣3；②當a＝2，b＝﹣3，ax2﹣x+b＝0可變?yōu)?x2﹣x﹣3＝0，即2x2﹣x＝3，∴ax3﹣5x2﹣x﹣10b＝2x3﹣5x2﹣x+30＝2x3﹣x2﹣4x2﹣x+30＝x（2x2﹣x）﹣4x2﹣x+30＝3x﹣4x2﹣x+30＝﹣2（2x2﹣x）+30＝﹣6+30＝24；（2）①方程5m﹣10＝4m的解為m＝10，把x＝10代入關于x的方程2（x﹣3）﹣n＝11，得14﹣n＝11，解得n＝3，即m＝10，n＝3；②如圖1，∵點M是AD的中點，點N是BC的中點，∴AM＝DM=12AD，BN＝CN=∴MN＝NC﹣CD?12即MN=12（AB+CD+AD）﹣CD?∴MN=12（AB﹣即2MN＝AB﹣CD，∴CD＝AB﹣2MN＝m﹣2n＝4；如圖2，∵點M是AD的中點，點N是BC的中點，∴AM＝DM=12AD，BN＝CN=∴MN＝MC﹣NC＝MA+AC﹣NC=12（CD﹣AC）+AC=12（CD+AC﹣=12（CD﹣即2MN＝CD﹣AB，∴CD＝2MN+AB＝2n+m＝16，綜上所述，CD＝6或CD＝16．【點評】本題考查兩點間的距離以及線段中點，掌握線段中點的定義以及圖形中線段之間的和差關系是正確解答的前提．32．（2023秋?渝北區(qū)期末）如圖1，點A，C在射線OM上，OA＝10cm，AC＝35cm，點P從點O出發(fā)，沿OM方向以1cm/s的速度向右勻速運動，點Q從點C出發(fā)，在線段CO上向左勻速運動，兩點同時出發(fā)．（1）若點Q運動速度為8cm/s，當點P和點Q都運動到線段OA上，且點Q恰好為線段PA的中點時，求點Q運動的時間；（2）如圖2，若點B也為射線OM上一點，且AB＝30cm，當PA＝2PB時，點Q運動到線段AB上且恰好滿足AQ=13AB【分析】（1）設運動時間為t秒，表示出AQ和AP，根據(jù)AQ=1（2）設點Q的運動速度為xcm/s，運動時間為t秒，分P在線段AB上和P在射線BM上兩種情況，分別求解．【解答】解：（1）設運動時間為t秒，由題意可得：OP＝t，CQ＝8t，則AQ＝CQ﹣AC＝8t﹣35，AP＝OA﹣OP＝10﹣t，∴AQ=12AP解得：t=80即點Q運動的時間為8017（2）設點Q的運動速度為xcm/s，運動時間為t秒，當P在線段AB上時，t﹣10＝2（10+30﹣t），解得：t＝30，∵AQ=1∴35?30x=1解得：x=5當P在射線BM上時，t﹣10＝2（t﹣10﹣30），解得：t＝70，∵AQ=1∴35?70x=1解得：x=5綜上：點Q的運動速度為56cm/s或【點評】本題考查了數(shù)軸上的動點問題，一元一次方程，數(shù)軸上兩點之間的距離，解題的關鍵是能用未知數(shù)表示出相應線段的長度．33．（2024秋?吳中區(qū)校級月考）如圖，數(shù)軸上，O點與C點對應的數(shù)分別是0、60，將一根質地均勻的直尺AB放在數(shù)軸上（A在B的左邊），若將直尺在數(shù)軸上水平移動，當A點移動到B點的位置時，B點與C點重合，當B點移動到A點的位置時，A點與O點重合．（1）直尺AB的長為個單位長度；（2）若直尺AB在數(shù)軸上O、C間，且B、C兩點之間的距離是O、A兩點之間的距離的4倍，求此時A點對應的數(shù)；（3）設直尺AB以（2）中的位置為起點，以1個單位秒的速度沿數(shù)軸勻速向右移動，同時點P從點A出發(fā)，以m個單位/秒的速度也沿數(shù)軸勻速向右移動，設運動時間為t秒．①若B、P、C三點恰好在同一時刻重合，求m的值；②當t＝10時，B、P、C三個點互不重合，且恰好有一個點到另外兩個點的距離相等，請直接寫出所有滿足條件的m的值．【分析】（1）根據(jù)題意列代數(shù)式求解；（2）根據(jù)“B、C兩點之間的距離是O、A兩點之間的距離的4倍”列方程求解；（3）①根據(jù)“B、P、C三點恰好在同一時刻重合”列方程組求解；②根據(jù)“恰好有一個點到另外兩個點的距離相等”列方程求解．【解答】解：（1）由題意得：AB＝OA＝BC=1故答案為：20；（2）設A點對應的數(shù)為x，則：60﹣（x+20）＝4x，解得：x＝8，答：此時A點對應的數(shù)為8；（2）點B表示的數(shù)為28+t，點P表示的數(shù)為8+mt，點C表示的數(shù)為60，①由題意得：28+t＝60且8+mt＝60，解得：t＝32，m=13②當t＝10時，點B表示的數(shù)為38，點P表示的數(shù)為8+10m，點C表示的數(shù)為60，由題意得：2（8+10m）＝38+60或2×38＝8+10m+60或2×60＝38+8+10m，解得：m＝4.1或m＝0.8或m＝7.4．【點評】本題考查了一元一次方程的應用，找到相等關系和兩點之間的距離公式是解題的關鍵．34．（2023秋?義烏市期末）【問題探究】（1）如圖，點C，D均在線段AB上且點C在點D左側，若AC＝BD，CD＝6cm，AB＝9cm，則線段AC的長為cm．【方法遷移】（2）已知點C，D均在線段AB上，若AC＝BD，CD＝acm，AB＝bcm（b＞a），則線段AC的長cm．（用含a，b的代數(shù)式表示）【學以致用】（3）已知七年級某班共有m人，在本班參加拓展課報名統(tǒng)計時發(fā)現(xiàn)，選擇圍棋課的人數(shù)有n人（n＜m），其中未參加圍棋課的男生是參加圍棋課男生人數(shù)的一半，參加圍棋課的女生是女生總人數(shù)的23，求m與n【分析】（1）先由CD＝6cm，AB＝9cm求出AC+BC＝3cm，再根據(jù)AC＝BD可得AC的長；（2）先根據(jù)CD＝acm，AB＝bcm（b＞a），求出AC+BD＝b﹣a，再根據(jù)AC＝BD可得AC的長；（3）依題意畫出線段圖，根據(jù)線段圖說明相應線段所表示的實際意義，然后根據(jù)線段的和差計算即可得出m和n的數(shù)量關系．【解答】解：（1）∵CD＝6cm，AB＝9cm，∴AC+BC＝AB﹣CD＝9﹣6＝3（cm），∵AC＝BD，∴AC＝1.5c