專題05 線段、角（對角線）的計數(shù)模型解讀與提分精練-2024-2025學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊同步課堂（北師大版2024）

第第頁專題05線段、角（對角線）的計數(shù)模型本專題主要培養(yǎng)學(xué)生的觀察、實驗和猜想、歸納能力，掌握從特殊向一般猜想的方法，及構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實際問題等。線段的條數(shù)、直線的交點數(shù)、角的個數(shù)、對角線條數(shù)等計數(shù)規(guī)律，可以自己推導(dǎo)后進行記憶。本專題就線段（角度）的計數(shù)、平面內(nèi)直線相交所得交點與平面分割的計數(shù)、多邊形的對角線條數(shù)和三角形分割個數(shù)的計數(shù)模型進行研究，以方便大家掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.線段的計數(shù)模型 2模型2.角度的計數(shù)模型 6模型3.直線交點計數(shù)模型與平面分割的計數(shù)模型 9模型4.多邊形的對角線條數(shù)計數(shù)模型和三角形個數(shù)的計數(shù)模型 13 17模型1.線段的計數(shù)模型如果線段上有n個點（包括線段的兩個端點），那么該線段上共有多少條線段？我們先取n=5進行研究，如下圖：結(jié)論：線段數(shù)量：4+3+2+1=10（條）（注意：按一個方向數(shù)，不回頭）；證明：①以A為端點的線段有：AB、AC、AD、AE，有4條；②以B為端點的線段有：BC、BD、BE，有3條；③以C為端點的線段有：CD、CE，有2條；④以D為端點的線段有：DE，有1條；故圖中線段總數(shù)量：4+3+2+1=10（條）注意：線段的定義為兩點間的一段直線，因此“直線+兩個端點”是其核心要素；結(jié)論拓展：若有n個點，則線段數(shù)量為：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（條）例1．（2024·自貢·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點、、、是直線上的四個點，圖中共有線段（

）A．7條 B．6條 C．5條 D．4條【答案】B【分析】可用公式法直接確定線段的個數(shù)．【詳解】解：當(dāng)一條線上由n個點時，共有1+2+3+……+（n-1）=個線段∴此題圖中共有==6（條）故選：B【點睛】本題主要考查同一直線上點與線段的數(shù)量關(guān)系，做到不重不漏是解題的關(guān)鍵．例2．（23-24七年級·重慶·假期作業(yè)）如圖所示，由泰山始發(fā)終點至青島的某一次列車，運行途中?？康能囌疽来问牵禾┥健獫稀筒獮H坊——青島，那么要為這次列車制作的單程火車票（）種．A．5 B．10 C．15 D．20【答案】B【分析】設(shè)泰山??濟南??淄博??濰坊??青島五站分別用A，B，C，D，E表示，數(shù)出利用上述五點為端點的線段條數(shù)即可．【詳解】解：設(shè)泰山??濟南??淄博??濰坊??青島五站分別用A，B，C，D，E表示，則共有線段：、、、、、、、、、，共10條，，∴要為這次列車制作的單程火車票10種．故選：B．【點睛】本題考查了直線、線段、射線，要注意單程票，切記理解成往返車票而出錯．例3．（23-24七年級上·山東菏澤·階段練習(xí)）某列車往返于菏澤至臨沂，運行途中?？康能囌疽来问牵汉蕽伞抟啊獫鷮帯獌贾荨R沂，那么這次列車需要制作火車票（

）種．A．6 B． C． D．【答案】D【分析】本題考查分類計數(shù)原理，根據(jù)每個點做起點都有4個終點車站求解即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，這次列車需要制作火車票：（種），故選：D．例4．（23-24七年級上·重慶·期中）如圖，線段上的點數(shù)與以這些點為端點的線段的總數(shù)有如下關(guān)系：

(1)當(dāng)線段上有3個點時，以這些點為端點的線段總共有________條；當(dāng)線段上有4個點時，以這些點為端點的線段總共有________條；當(dāng)線段上有5個點時，以這些點為端點的線段總共有________條；(2)當(dāng)線段上有個點時，以這些點為端點的線段總共有多少條？(3)根據(jù)上述信息解決下面的問題：①某學(xué)校七年級共有20個班級進行辯論賽，規(guī)定進行單循環(huán)賽（每兩個班賽一場），那么該校七年級的辯論賽共要進行多少場？②乘火車從站出發(fā)，沿途經(jīng)過10個車站方可到達站，那么在，兩站之間需要設(shè)置多少種不同的車票（僅考慮車票的起點站與終點站之分）？【答案】(1)3，6，10(2)線段總共有條(3)①該校七年級的辯論賽共要進行190場；②需要設(shè)置132種車票【分析】（1）根據(jù)線段的定義進行求解即可；（2）根據(jù)（1）中的等式，得到以這些點為端點的線段總數(shù)共有條；（3）①根據(jù)（2）中的結(jié)論，進行求解即可；②根據(jù)（2）中的結(jié)論進行求解即可．【詳解】（1）當(dāng)線段上有3個點時，以這些點為端點的線段總數(shù)共有（條）；當(dāng)線段上有4個點時，以這些點為端點的線段總數(shù)共有（條）；當(dāng)線段上有5個點時，以這些點為端點的線段總數(shù)共有（條）．答案：3，6，10（2）當(dāng)線段上有個點時，以這些點為端點的線段總數(shù)共有（條）；因為（條），所以（條）．答：線段總共有條．（3）①當(dāng)時，（場）．答：該校七年級的辯論賽共要進行190場．②當(dāng)線段上（除兩端點，）有10個點時，∴，，∴車票有（種）．答：需要設(shè)置132種車票．【點睛】本題考查圖形類規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵是得到一條線段上有個點，可以得到條線段．例5．（23-24七年級下·浙江舟山·期末）【問題提出】歐洲杯正如火如荼進行中，本次比賽支參賽球隊分成個小組，小組賽每小組支球隊進行單循環(huán)比賽，（任何一隊都要與其他各隊比賽一場且只比賽一場，不同小組之間不進行小組賽），則本次歐洲杯總計有幾場小組賽比賽？【構(gòu)建模型】為解決上述問題，我們構(gòu)建如下數(shù)學(xué)模型：如圖①，我們可以在平面內(nèi)畫出個點（任意個點都不在同一條直線上），每個點與另外個點都可連成一條線段，這樣一共連成條線段，實際只有條線段．（1）若某次比賽有支隊伍進行單循環(huán)比賽，借助圖②，我們可知一共要安排______場比賽；（2）根據(jù)以上規(guī)律，若有支足球隊進行單循環(huán)比賽，則一共要安排______場比賽．【實際應(yīng)用】（3）年歐洲杯足球賽，總計需要安排______場小組賽．（4）甬舟鐵路預(yù)計年通車，屆時杭州到舟山的車程將縮短至一個半小時左右，從起點杭州站出發(fā)，途經(jīng)紹興、余姚、寧波、馬岙，至終點白泉站（每種車票票面都印有上車站名稱與下車站名稱），那么在這段線路上往返行車，要準(zhǔn)備車票的種數(shù)為______種．【答案】（1）．（2）（3）（4）30【分析】本題考查了歸納總結(jié)和配對問題，涉及列代數(shù)式及其求值、有理數(shù)的運算，求出關(guān)于的關(guān)系式，再根據(jù)實際情況討論是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖②線段數(shù)量進行作答．（2）當(dāng)有支足球隊進行單循環(huán)比賽時，即在平面內(nèi)畫出個點（任意個點都不在同一條直線上），每個點與另外個點都可連成一條線段，這樣一共連成條線段，實際只有條線段，即可得求出比賽的場數(shù)．（3）根據(jù)題意可得，一個小組會有場比賽，故六個小組則共有有場比賽．（4）因為行車往返存在上車與下車，所以不需要除去每兩個點之間的線段都重復(fù)計算了一次的情況，即一個車站與另外個車站都可各形成一張車票，即張車票，得出六個車站一共形成了種車票．【詳解】（1）由圖②可知，圖中實際共有條線段，∴根據(jù)題意，可得支隊伍進行單循環(huán)比賽一共要安排場比賽．故答案為：．（2）當(dāng)有支足球隊進行單循環(huán)比賽時，即在平面內(nèi)畫出個點（任意個點都不在同一條直線上），每個點與另外個點都可連成一條線段，這樣一共連成條線段，實際只有條線段，即根據(jù)以上規(guī)律，若有支足球隊進行單循環(huán)比賽，則一共要安排場比賽，故答案為：．（3）根據(jù)題意可得，歐洲杯支參賽球隊分成個小組，由上可得一個小組會有場比賽，故六個小組則共有有場比賽，即本次歐洲杯總計有幾場小組賽比賽，故答案為．（4）由題意可得一共有六個車站，因為行車往返存在上車與下車，所以不需要除去每兩個點之間的線段都重復(fù)計算了一次的情況，即每兩個車站就會有兩種車票，∴一個車站與另外個車站都可各形成一張車票，即張車票，∴這樣六個車站一共形成了種車票．故答案為．模型2.角度的計數(shù)模型若過點O作了有n條射線，那么該圖形中共有多少個角？我們先取n=5進行研究，如下圖：結(jié)論：角的數(shù)量：4+3+2+1=10（個）（注意：按一個方向數(shù)，不回頭）；證明：①以O(shè)A為角的一邊有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4個；②以O(shè)B為角的一邊有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3個；③以O(shè)C為角的一邊有：∠COD、∠COE，有2個；④以O(shè)D為角的一邊有：∠DOE，有1個；故圖中角總數(shù)量：4+3+2+1=10（個）注意：線段的定義為兩點間的一段直線，因此“直線+兩個端點”是其核心要素；結(jié)論拓展：若有n條射線，則角度數(shù)量為：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（個）。例1．（2023秋·浙江·七年級專題練習(xí)）如圖所示，圖中小于平角的角共有（）A．3個 B．4個 C．6個 D．7個【答案】C【分析】根據(jù)角的定義，理清圖示意思即可求解．【詳解】解：先數(shù)出以為一邊的角，再數(shù)出以、、為一邊的角，把他們加起來．也可根據(jù)公式：來計算，其中，指從點發(fā)出的射線的條數(shù)．∵圖中共有四條射線，∴圖中小于平角的角共有個．故選：．【點睛】此題通過數(shù)角的個數(shù)，考查同學(xué)們總結(jié)規(guī)律的能力或公式應(yīng)用的能力，掌握角的概念是解題關(guān)鍵．例2．（2023秋·浙江·七年級專題練習(xí)）如圖，圖中一共有（

）個銳角．A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】先數(shù)圖中最小的角有3個，再數(shù)兩個小角組成的角有2個，最后確定有3個小角組成的角有1個，從而可得答案．【詳解】解：（個），答：一共有6個銳角．故選：B．【點睛】本題考查角的計數(shù)方法的應(yīng)用，掌握“數(shù)角的順序與方法，做到不重復(fù)，不遺漏”是解本題的關(guān)鍵．例3．（23-24七年級上·河南平頂山·階段練習(xí)）如下圖，在已知角內(nèi)畫射線，畫1條射線，圖中共有3個角；畫2條射線，圖中共有6個角；畫3條射線，圖中共有個角；畫條射線所得的角的個數(shù)是．【答案】10【分析】由題意根據(jù)圖形數(shù)出即可得出畫3條射線，圖中角的個數(shù)，進而依據(jù)結(jié)果得出規(guī)律即可.【詳解】解：∵在已知角內(nèi)畫射線，畫1條射線，圖中共有3個角，3=；畫2條射線，圖中共有6個角，6=；畫3條射線，圖中共有10個角，10=；…，∴畫n條射線，圖中共有個角.故答案為：10，．【點睛】本題考查對角的概念和規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)求出的結(jié)果探索得出規(guī)律．例4．（23-24七年級上·湖北孝感·期末）如圖1，從點分別引兩條射線，則得到一個角．（圖中的角均指不大于平角的角）(1)探究：①如圖2，從點分別引三條射線，則圖中得到________個角；②如圖3，從點分別引四條射線，則圖中得到________個角；③依此類推，從點分別引條射線，則得到________個角（用含的式子表示）；(2)應(yīng)用：利用③中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題：某校七年級共有16個班進行足球比賽，準(zhǔn)備進行單循環(huán)賽（即每兩隊之間賽一場），則全部賽完共需多少場比賽？【答案】(1)①3；②6；③(2)【分析】（1）①②根據(jù)角的概念求出即可；③根據(jù)①②分析得出的規(guī)律求解即可；（2）將代入求解即可．【詳解】（1）①由題意可得，從點分別引三條射線，圖中的角有，，∴圖中得到3個角；②由題意可得，從點分別引四條射線，圖中的角有，，∴圖中得到6個角；③由①②可得，當(dāng)從點分別引條射線，，∴得到個角；（2）根據(jù)題意可得，當(dāng)時，．∴全部賽完共需120場比賽．【點睛】本題考查了角的定義及其應(yīng)用，掌握角的定義以及歸納規(guī)律是解題的關(guān)鍵．模型3.直線交點計數(shù)模型與平面分割的計數(shù)模型n條直線，最多有多少個交點呢？最多能將平面分成多少部分呢？直線的條數(shù)最多交點個數(shù)平面最多分成部分?jǐn)?shù)101+1=2211+1+2=431+2=31+1+2+3=741+2+3=61+1+2+3+4=11n例1．（23-24七年級上·湖南婁底·期末）觀察下列圖形，并閱讀圖形下面的相關(guān)文字兩直線相交，最多1個交點；三條直線相交，最多有3個交點；四條直線相交，最多有6個交點；像這樣的十條直線相交最多的交點個數(shù)為(

)A．30個 B．35個 C．40個 D．45個【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：3條直線相交最多有3個交點，4條直線相交最多有6個交點，5條直線相交最多有10個交點．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，故可猜想，n條直線相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=n(n?1)個交點．【詳解】解：10條直線兩兩相交，最多有n(n?1)=×10×9=45．故選：D．【點睛】此題在相交線的基礎(chǔ)上，著重培養(yǎng)學(xué)生的觀察、實驗和猜想、歸納能力，掌握從特殊向一般猜想的方法．例2．（2023春·浙江嘉興·七年級?？茧A段練習(xí)）若平面內(nèi)互不重合的條直線只有個交點，則平面被分成了（

）個部分．A．或 B． C．或 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖形即可．【詳解】如圖，

所以，平面內(nèi)互不重合的條直線只有個交點，則平面被分成了或個部分，故選：．【點睛】此題考查了相交線，關(guān)鍵是根據(jù)直線交點個數(shù)的問題，找出規(guī)律，解決問題．例3．（23-24七年級上·廣西賀州·期末）如圖①，兩條直線相交有一個交點．如圖②，三條直線相交最多有3個交點．如圖③，四條直線相交最多有6個交點．如圖④，五條直線相交最多有10個交點．則n條直線相交最多交點個數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】本題考查的是直線兩兩相交的交點數(shù)量的探究，先分別求解三條直線，四條直線，五條直線的最多交點數(shù)量，再總結(jié)歸納即可得解．【詳解】解：三條直線交點最多為個，四條直線交點最多為個，五條直線交點最多為個，六條直線交點最多為個；……n條直線交點最多為．故答案為：例4．（23-24七年級上·重慶·課后作業(yè)）觀察下列圖形，閱讀下面相關(guān)文字并填空：（1）在同一平面內(nèi)，兩條直線相交最多有1個交點，3條直線相交最多有______個交點，4條直線相交最多有______個交點，……，像這樣，8條直線相交最多有______個交點，n條直線相交最多有______個交點；（2）在同一平面內(nèi)，1條直線把平面分成2部分，兩條直線最多把平面分成4部分，3條直線最多把平面分成______部分，4條直線最多把平面分成______部分，……，像這樣，8條直線最多把平面分成______部分，n條直線最多把平面分成______部分．【答案】（1）3，6，28，；（2）7，11，37，【分析】（1）根據(jù)圖形求出兩條直線相交、三條直線相交、四條直線相交時最多交點個數(shù)，總結(jié)出規(guī)律即可得出n條直線相交最多有交點的個數(shù)；（2）根據(jù)圖形求出兩條直線相交、三條直線相交、四條直線相交時最多把平面分成幾部分，總結(jié)出規(guī)律即可n條直線最多把平面分成幾部分．【詳解】解：（1）2條直線相交有1個交點；3條直線相交最多有1+2=3個交點；4條直線相交最多有1+2+3=6個交點；5條直線相交最多有1+2+3+4=10個交點；6條直線相交最多有1+2+3+4+5=15個交點；7條直線相交，最多有1+2+3+4+5+6=21個交點，8條直線相交，最多有1+2+3+4+5+6+7=28個交點，…n條直線相交最多有個交點；（2）1條直線最多把平面分成1+1=2部分；2條直線最多把平面分成1+1+2=4部分；3條直線最多把平面分成1+1+2+3=7部分；4條直線最多把平面分成1+1+2+3+4=11部分；5條直線最多把平面分成1+1+2+3+4+5=16部分；6條直線最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6=22部分；7條直線最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7=29部分；8條直線最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7+8=37部分；…n條直線最多把平面分成【點睛】此題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，體現(xiàn)了從一般到特殊再到一般的認(rèn)知規(guī)律，有一定的挑戰(zhàn)性，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．例5．（23-24七年級下·河南南陽·開學(xué)考試）我們知道，兩條直線相交，最多有個交點（如圖①）；三條直線兩兩相交，最多有個交點（如圖②）；四條直線兩兩相交，最多有個交點（如圖③）；五條直線兩兩相交，最多有多少個交點（如圖④）；六條直線兩兩相交，最多有多少個交點……條直線兩兩相交，最多有多少個交點呢（用含的代數(shù)式表示）：(1)完成下表直線數(shù)…交點數(shù)…(2)在實際生活中同樣存在數(shù)學(xué)規(guī)律型問題，請你類比上述規(guī)律探究，計算：某校七年級舉辦籃球比賽，第一輪要求每兩班之間比賽一場，若七年級共有個班，則這一輪共要進行多少場比賽？【答案】(1)；；(2)這一輪要進行場比賽【分析】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解決本題的關(guān)鍵是要找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．根據(jù)題意，結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：條直線相交最多有個交點，條直線相交最多有個交點，條直線相交最多有個交點．條直線相交最多有個交點，而，，，，故可猜想，條直線相交，最多有個交點；把每個班作為一個點,進行一場比賽就是用線把兩個點連接,用此方法即可.【詳解】（1）解：①兩條直線相交最多有個交點：；②三條直線相交最多有個交點：；③四條直線相交最多有個交點：；④五條直線相交最多有個交點：，⑤六條直線相交最多有個交點：…條直線相交最多有個交點；故答案為：；；（2）解：該類問題符合上述規(guī)律，所以可將代入，即；故這一輪要進行場比賽模型4.多邊形的對角線條數(shù)計數(shù)模型和三角形個數(shù)的計數(shù)模型從n邊形一個頂點出發(fā)可引出對角線，這些對角線能把多邊形分割成多少個三角形呢？n邊形共有多少條對角線呢？結(jié)論：從n邊形一個頂點出發(fā)可引出（n-3）條對角線；這些對角線把多邊形分割成（n-2）個三角形；n邊形共有對角線。證明：由連接不相鄰的兩個頂點的線段叫多邊形的對角線，可知，從n邊形的每個頂點出發(fā)有條對角線，這些對角線把多邊形分割成（n-2）個三角形∵n邊形有個頂點，∴共有n條對角線又∵能形成對角線的兩個點之間只算1條對角線（即上面的計算相當(dāng)于每條對角線重復(fù)計算了一次），∴n邊形有條對角線．例1．（23-24八年級上·湖北武漢·期中）過一個多邊形的一個頂點引出的對角線共有4條，則該多邊形是（

）A．九邊形 B．八邊形 C．七邊形 D．六邊形【答案】C【分析】本題考查多邊形的對角線公式，根據(jù)從每一個頂點處可以作的對角線的條數(shù)為計算即可得解．【詳解】解：∵過一個多邊形的一個頂點的對角線有4條，∴多邊形的邊數(shù)為，∴這個多邊形是七邊形．故選：C．例2．（23-24八年級上·陜西商洛·階段練習(xí)）若過邊形的一個頂點的所有對角線剛好將該邊形分成5個三角形，則的值是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【分析】經(jīng)過n邊形的一個頂點的所有對角線把多邊形分成個三角形，根據(jù)此關(guān)系式求邊數(shù)，再求對角線條數(shù)即可．【詳解】解：由題可知：，解得：，故選B．【點睛】本題考查了多邊形的對角線，解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)多邊形過一個頂點的對角線與分成的三角形的個數(shù)的關(guān)系列方程求解．例3．（23-24七年級上·重慶南岸·期末）一個多邊形從一個頂點出發(fā)可引出8條對角線，那么這個多邊形對角線的總條數(shù)是（

）A．88 B．80 C．44 D．40【答案】C【分析】本題主要考查了多邊形的對角線的條數(shù)問題，．掌握n邊形從一個頂點出發(fā)有條對角線和其對角線總數(shù)為是解題關(guān)鍵．根據(jù)一個多邊形從一個頂點出發(fā)有8條對角線，可求出該多邊形的邊數(shù)為11，再根據(jù)n邊形對角線的總數(shù)為即可求解．【詳解】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，∵一個多邊形從一個頂點出發(fā)共引8條對角線，∴，解得：，∴總的對角線的條數(shù)為：（條）．故選：C．例4．（23-24八年級上·湖北咸寧·期末）如圖，一個四邊形有2條對角線，一個五邊形有5條對角線，一個六邊形有9條對角線，則一個凸邊形有條對角線．【答案】【分析】本題主要考查了圖形規(guī)律，根據(jù)已有多邊形對角線的條數(shù)，歸納出規(guī)律成為解題的關(guān)鍵．先確定一個四邊形共有2條對角線，一個五邊形共有5條對角線，一個六邊形共有9條對角線，據(jù)此歸納規(guī)律即可解答．【詳解】解：一個四邊形共有2條對角線，一個五邊形共有5條對角線，一個六邊形共有9條對角線，則一個n邊形共有（，且n為整數(shù)）條對角線．故答案為：．例5．（2023春·山東聊城·七年級校聯(lián)考期末）某中學(xué)七年級數(shù)學(xué)課外興趣小組在探究：“邊形共有多少條對角線”這一問題時，設(shè)計了如下表格，請在表格中的橫線上填上相應(yīng)的結(jié)果：多邊形的邊數(shù)從多邊形的一個頂點出發(fā)____________多邊形對角線的總條數(shù)__________________應(yīng)用得到的結(jié)果解決以下問題：①求十二邊形有多少條對角線？②過多邊形的一個頂點的所有對角線條數(shù)與這些對角線分多邊形所得的三角形個數(shù)的和可能為嗎？若能，請求出這個多邊形的邊數(shù)；若不能，請說明理由．【答案】填表：；①54；②可以為，這個多邊形的邊數(shù)1014【分析】根據(jù)題意求出相應(yīng)數(shù)據(jù)，填表即可；①由表格探求的邊形對角線總條數(shù)公式：得出最終結(jié)果；②從邊形的一個頂點出發(fā)可引條對角線，這些對角線分多邊形所得的三角形個數(shù)為，據(jù)此求解．【詳解】解：填表如下：多邊形的邊數(shù)從多邊形的一個頂點出發(fā)3多邊形對角線的總條數(shù)59故答案為：3，，，；把代入得，．十二邊形有條對角線．能．由題意得，23，解得=1014．多邊形的邊數(shù)n是正整數(shù)，過多邊形的一個頂點的所有對角線條數(shù)與這些對角線分多邊形所得的三角形個數(shù)的和可以為，這個多邊形的邊數(shù)1014．【點睛】本題考查邊形對角線公式，過多邊形的一個頂點的所有對角線條數(shù)與這些對角線分多邊形所得的三角形個數(shù)，掌握對角線數(shù)量形成的規(guī)律，熟練應(yīng)用規(guī)律是解題關(guān)鍵．1．（2024·安徽蚌埠·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，以A為一個端點的線段共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】根據(jù)線段的定義“直線上兩點間的有限部分（包括兩個端點）”找出以A為一個端點的線段即可選擇．【詳解】解：根據(jù)題意可知：以A為一個端點的線段有：AB，AC，AD共3條，故選C．【點睛】本題考查線段的定義，理解線段的定義，正確找出以A為一個端點的線段是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·四川眉山·七年級統(tǒng)考期中）六個好朋友見面互相握手致意，每兩個人握一次手，握手的次數(shù)一共是（

）A．20 B．30 C．15 D．36【答案】C【詳解】試題分析：簡單的排列問題．第一個人握手5次,第二個人握手4次,第三個人握手3次,第四個人握手2次,第五個人握手1次，共計15次故選C考點：簡單的排列問題3．（2023秋·四川成都·七年級校考階段練習(xí)）如圖，AOE是一條直線，圖中的角共有（）A．4個 B．8個 C．9個 D．10個【答案】D【詳解】解：圖中的角有∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠COD，∠COE，∠DOE，∠AOE，共10個，故選D．點評：本題考查了對角的定義的理解，注意：數(shù)角時從一邊數(shù)，目的是為了做到不重不漏，題目較好，但是一道比較容易出錯的題目．4．（2023春·山東泰安·七年級?？茧A段練習(xí)）平面上不重合的兩點確定一條直線，不同三點最多可確定3條直線，若平面上不同的n個點最多可確定28條直線，則n的值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【詳解】兩點確定一條直線；不同三點最多可確定3條直線；不同4點最多可確定（1+2+3）條直線，不同5點最多可確定（1+2+3+4）條直線，因為1+2+3+4+5+6+7=28，所以平面上不同的8個點最多可確定28條直線．故選：C．5．（2023秋·陜西榆林·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖棋盤上有黑、白兩色棋子若干，找出所有三顆顏色相同的棋并且在同一直線上的直線，這樣直線共有多少條（）A．6條 B．5條 C．4條 D．3條【答案】C【詳解】試題分析：根據(jù)題意可以畫出適合條件的幾種情況，從而可以解答本題．解：如下圖所示：則所有三顆顏色相同的棋并且在同一直線上的直線共有四條：①豎直的三顆黑色的，②豎直的三顆白色的，③斜著三顆黑色的，④斜著三顆白色的，故選C．考點：直線、射線、線段．6．（2023·湖北·七年級階段練習(xí)）平面內(nèi)10條直線把平面分成的部分個數(shù)最多是（）A．46個 B．55個 C．56個 D．67個【答案】C【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，總結(jié)出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解題．【詳解】設(shè)直線條數(shù)有n條，分成的平面最多有m個．有以下規(guī)律：n

m1

1+12

1+1+23

1+1+2+3?n

m＝1+1+2+3+…+n＝+1，∴根據(jù)表中規(guī)律，當(dāng)直線為10條時，把平面最多分成56部分，為1+1+2+3+…+10＝56；故選C．【點睛】本題考查了過平面上兩點有且只有一條直線，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．7．（2023春·江蘇宿遷·七年級?？计谥校┤粢粋€邊形從一個頂點最多能引出條對角線，則是(

)A．5 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】可根據(jù)邊形從一個頂點引出的對角線與邊的關(guān)系：，列方程求解．【詳解】解：設(shè)多邊形有條邊，則，解得．故選：C．【點睛】本題考查了多邊形的對角線．解題的關(guān)鍵是明確多邊形有條邊，則經(jīng)過多邊形的一個頂點所有的對角線有條，經(jīng)過多邊形的一個頂點的所有對角線把多邊形分成個三角形．8．（2023秋·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）從五邊形的一個頂點出發(fā)，可以畫出m條對角線，它們將五邊形分成n個三角形．則m、n的值分別為（

）A．3，2 B．2，2 C．2，3 D．3，3【答案】C【分析】從一個n邊形一個頂點出發(fā)，可以連的對角線的條數(shù)是n-3，分成的三角形數(shù)是n-2．【詳解】解：對角線的數(shù)量m=5-3=2（條）；分成的三角形的數(shù)量為n=5-2=3（個）．故選：C．【點睛】本題考查多邊形的對角線及分割成三角形個數(shù)的問題，解答此類題目可以直接記憶：一個n邊形一個頂點出發(fā)，可以連的對角線的條數(shù)是n-3，分成的三角形數(shù)是n-2．9．（23-24八年級下·湖南邵陽·期中）我們學(xué)習(xí)多邊形后，發(fā)現(xiàn)凸多邊形的對角線有一定的規(guī)律，①中的四邊形共有2條對角線，②中的五邊形共有5條對角線，③中的六邊形共有9條對角線，…，請你計算凸十邊形對角線的總條數(shù)（

）A．35 B．44 C．54 D．64【答案】A【分析】本題主要考查了對角線條數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一個n邊形的對角線條數(shù)為．根據(jù)一個n邊形的對角線條數(shù)為進行求解即可．【詳解】解：一個四邊形共有2條對角線，一個五邊形共有5條對角線，一個六邊形共有9條對角線……一個十邊形共有條對角線，故A正確．故選：A．10．（23-24七年級·黑龍江大慶·期末）往返A(chǔ)，B兩地的客車，中途?？績蓚€站，客運站根據(jù)兩站之間的距離確定票價（距離不相等，票價就不同）．若任意兩站之間的距離都不相等，則不同的票價共有種．【答案】6【分析】本題考查直線、射線、線段，掌握線段條數(shù)的計算方法是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)線段的數(shù)量解答即可．【詳解】解：如圖，圖中共有條線段，即，，，，，，因此不同的票價共有6種，故答案為：6．11．（23-24八年級上·湖南張家界·期末）我們知道，同一個平面內(nèi)，1條直線將平面分成部分，2條直線將平面最多分成部分，3條直線將平面最多分成部分，4條直線將平面最多分成部分……，n條直線將平面最多分成部分，則=．【答案】【分析】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究．根據(jù)題意，抽象概括出相應(yīng)的數(shù)字規(guī)律，n條直線將平面最多分成部分，進而得到，再進行求解即可．解題的關(guān)鍵是得到．【詳解】解：∵1條直線將平面分成部分，2條直線將平面最多分成部分，3條直線將平面最多分成部分，4條直線將平面形多分成部分……，∴n條直線將平面最多分成部分，∴，∴．故答案為：．12．（2023秋·四川達州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，線段AB上的點數(shù)與線段的總數(shù)有如下關(guān)系:如果線段AB上有三個點時，線段總共有3條，如果線段AB上有4個點時，線段總數(shù)有6條，如果線段AB上有5個點時，線段總數(shù)共有10條，當(dāng)線段AB上有n個點時，線段總數(shù)共有多少.【答案】條【分析】根據(jù)給出的條件進行觀察找出規(guī)律：當(dāng)有n個點時，線段總數(shù)為：條，問題可解．【詳解】解：當(dāng)線段AB上有n個點時，線段總數(shù)為故答案為：條【點睛】本題考查線段條數(shù)計算和規(guī)律性探索，解答關(guān)鍵是辨別線段數(shù)目增長的規(guī)律．13．（2023秋·江蘇鹽城·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在∠AOB的內(nèi)部以O(shè)為端點引出1條射線，那么圖中共有3個角；如果引出2條射線，共有6個角；如果引出n條射線，共有個角．【答案】【分析】首先分析在∠AOB的內(nèi)部以O(shè)端點引1條射線，有1+2個角，引2條線段，有1+2+3個角，···進而得出引n條線段，有角的個數(shù)，得出答案即可．【詳解】在∠AOB的內(nèi)部以O(shè)端點引1條射線，有1+2=3（個）角，引2條線段，有1+2+3=6（個）角，···引n條線段，有（個）角，故答案為：．【點睛】本題主要考查了數(shù)角的個數(shù)，掌握數(shù)字變化規(guī)律式解題的關(guān)鍵．14．（2023秋·廣東佛山·七年級階段練習(xí)）從一個多邊形的某個頂點出發(fā)，分別連接這個點和其余各頂點，可以把這個多邊形分割成10個三角形，則這個多邊形的邊數(shù)為，過這個多邊形的一個頂點能作條對角線．【答案】129【分析】從一個n邊形的某個頂點出發(fā)，可以引（n-3）條對角線，把n邊形分為（n-2）的三角形．【詳解】由題意可知，n-2=10，解得n=12．∴這個多邊形的邊數(shù)為12;12-3=9,∴過這個多邊形的一個頂點能作9條對角線.故答案為12；9.【點睛】此題主要考查了多邊形，關(guān)鍵是掌握從一個n邊形的某個頂點出發(fā)，可以把n邊形分為（n-2）的三角形．15．（2023秋·安徽蕪湖·七年級?？计谀┤鐖D，兩條直線相交只有1交點，三條直線相交最多有3個交點，四條直線相交最多有6個交點，則（1）五條直線相交最多有個交點；（2）條直線相交最多有個交點（，且為正整數(shù)）.【答案】【分析】根據(jù)圖形相鄰兩個圖形的交點個數(shù)的差為從2開始的連續(xù)整數(shù)，然后列式計算即可得解；根據(jù)圖形列出交點個數(shù)的算式，然后計算即可得解．【詳解】解：三條直線交點最多為個，四條直線交點最多為個，五條直線交點最多為個，六條直線交點最多為個；……n條直線交點最多為．故答案為：；．【點睛】本題考查了直線、射線、線段，發(fā)現(xiàn)規(guī)律題，觀察出相鄰兩個圖形的交點個數(shù)的差為連續(xù)整數(shù)是解題的關(guān)鍵．16．（23-24七年級上·湖北荊門·單元測試）如圖，在銳角內(nèi)部，畫1條射線，可得3個銳角；畫2條射線，可得6個銳角；畫3條射線，可得10個銳角…照此規(guī)律，畫10條射線，可得銳角個．

【答案】66【分析】此題考查角的概念，解題關(guān)鍵在于掌握從一個角的內(nèi)部引出n條射線所得到的銳角的個數(shù)是，難度適中．根據(jù)題意，從基本圖形出發(fā)，看每一次所得銳角個數(shù)比上一次增加多少個銳角，尋找一般規(guī)律即可得出答案．【詳解】解：∵在銳角內(nèi)部，畫1條射線，可得個銳角；在銳角內(nèi)部，畫2條射線，可得個銳角；在銳角內(nèi)部，畫3條射線，可得個銳角；…∴從一個角的內(nèi)部引出n條射線所得到的銳角的個數(shù)是：，∴畫10條不同射線，可得銳角（個）．故答案為：66．17．（2023秋·浙江·七年級專題練習(xí)）（1）在一條直線上取1個點、2個點、3個點、…、n個點，分別可以得到多少條線段？請畫示意圖幫助分析，直接填寫下表回答：直線上點的個數(shù)12345…n共有線段條數(shù)…（2）平面內(nèi)有兩個點、3個點、4個點、5個點、…、n個點，過任意兩點作一條直線，最多可以作幾條直線？請畫示意圖幫助分析，直接填寫下表回答：平面內(nèi)點的個數(shù)2345…n最多可作直線條數(shù)…【答案】（1）圖見解析，0，1，3，6，10，；（2）圖見解析，1，3，6，10，【分析】（1）根據(jù)題意畫出示意圖即可求出直線上取1個點、2個點、3個點、4個點、5個點時的線段條數(shù)，找到點的個數(shù)和線段條數(shù)之間的關(guān)系即可求出n個點時線段的條數(shù)．（2）根據(jù)題意畫出示意圖即可求出平面內(nèi)有兩個點、3個點、4個點、5個點時最多可作直線條數(shù)，找到點的個數(shù)和直線條數(shù)條數(shù)之間的關(guān)系即可求出n個點時線段的條數(shù)．【詳解】解：（1）根據(jù)題意可得，在一條直線上取1個點時，如圖所示，共有0條線段；在一條直線上取2個點時，如圖所示，共有1條線段；在一條直線上取3個點時，如圖所示，共有3條線段；在一條直線上取4個點時，如圖所示，共有6條線段；在一條直線上取5個點時，如圖所示，共有10條線段；…在一條直線上取n個點時，共有條線段；故答案為：0，1，3，6，10，；．（2）當(dāng)平面內(nèi)有兩個點時，如圖所示，最多可作1條直線；當(dāng)平面內(nèi)有3個點時，如圖所示，最多可作3條直線；當(dāng)平面內(nèi)有4個點時，如圖所示，最多可作6條直線；當(dāng)平面內(nèi)有5個點時，如圖所示，最多可作10條直線；…當(dāng)平面內(nèi)有n個點時，最多可作條直線；故答案為：1，3，6，10，．【點睛】此題考查了直線，線段的概念和兩點確定一條線段，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直線，線段的概念和兩點確定一條線段．18．（23-24七年級上·重慶·單元測試）閱讀并填空：問題：在一條直線上有，，，四個點，那么這條直線上總共有多少條線段？要解決這個問題，我們可以這樣考慮，以為端點的線段有，，共3條，同樣以為端點，以為端點，以為端點的線段也各有3條，這樣共有4個3，即4×3＝12（條），但和是同一條線段，即每一條線段重復(fù)一次，所以一共有條線段．那么，若在一條直線上有5個點，則這條直線上共有條線段；若在一條直線上有個點，則這條直線上共有條線段．知識遷移：若在一個銳角內(nèi)部畫2條射線，，則這個圖形中總共有個角；若在內(nèi)部畫條射線，則總共有個角．學(xué)以致用：一段鐵路上共有5個火車站，若一列火車往返過程中，必須停靠每個車站，則鐵路局需為這段線路準(zhǔn)備種不同的車票．【答案】610620【分析】問題：根據(jù)線段的定義以及閱讀部分提供的思路解答；知識遷移：結(jié)合問題部分的解題思路，再根據(jù)角的定義解答；學(xué)以致用：先計算出線段的條數(shù)，再根據(jù)兩站之間需要兩種車票解答．【詳解】解：問題：根據(jù)題意，則；；；知識遷移：在內(nèi)部畫2條射線，則圖中有個不同的角，在內(nèi)部畫n條射線，則圖中有個不同的角；學(xué)以致用：5個火車站代表的所有線段的條數(shù)，，需要車票的種數(shù)：（種）．故答案為：6，10，，6，，20；【點睛】此題主要考查了線段的計數(shù)問題，角的計數(shù)問題，解本題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，此類題目容易數(shù)重或遺漏，要特別注意．19．（24-25七年級上·重慶·假期作業(yè)）數(shù)學(xué)中規(guī)定：連接多邊形任意兩個不相鄰頂點的線段叫做多邊形的對角線．正多邊形……邊數(shù)456…一個頂點可畫對角線數(shù)量123…對角線總數(shù)量259…聰聰是個喜歡思考的學(xué)生，他發(fā)現(xiàn)正多邊形的對角線數(shù)量和正多邊形的邊數(shù)存在某種規(guī)律（如圖），照這樣的規(guī)律，正七邊形共有條對角線，正n邊形共有條對角線．【答案】14【分析】此題主要考查了多邊形的對角線，關(guān)鍵是掌握計算公式；觀察題意可知，根據(jù)n邊形從一個頂點出發(fā)可引出條對角線，從n個頂點出發(fā)每個引出條，而每條重復(fù)一次，所以n邊形對角線的總條數(shù)為（，且n為整數(shù)）【詳解】解：根據(jù)分析可知，n邊形從一個頂點出發(fā)可引出條對角線，∴正n邊形共有條對角線。當(dāng)時，所以從正七邊形的有條對角線，故答案為：，20．（2023秋·河北衡水·七年級統(tǒng)考期末）觀察思考：

（1）在∠AOB內(nèi)部畫1條射線OC，則圖中有3個不同的角；

（2）在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC、OD，則圖中有幾個不同的角?

（3）3條射線呢?你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，表示出n條射線能有幾個不同的角?

請你先解答以上問題，再結(jié)合已學(xué)過的知識，針對類似的圖形也提出三個問題并作答．(要求：畫出圖形，寫出題干，提出問題并作答)【答案】（2）6；（3）10；有個不同的角；提出三個問題并作答見解析.【分析】（2）根據(jù)圖1直接數(shù)出即可；（3）在圖1的基礎(chǔ)上看增加的角的個數(shù)即得畫3條射線時角的個數(shù)；依此規(guī)律可得在∠AOB內(nèi)部畫n條射線時角的個數(shù)；把角換成線段，增加的射線條數(shù)換成線段上點的個數(shù)解答即可．【詳解】解：（2）在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC、OD，如圖1，則圖中有∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB共1+2+3=6個不同的角；（3）在∠AOB內(nèi)部畫3條射線OC、OD、OE，如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上增加了∠AOE、∠COE、∠DOE和∠BOE，共有6+4=10個不同的角；若在∠AOB內(nèi)部畫n條射線，則有個不同的角．提出問題：（1）如圖3，線段AB上有一個點C，則圖3中共有條不同的線段；（2）如圖4，線段AB上有兩個點C、D，則圖中共有幾條不同的線段？（3）線段AB上有3個點呢?你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，表示出線段AB上有n個點時能有幾條不同的線段?解：（1）圖3中有：AC、AB、CB共3條不同的線段；故答案為：3；（2）如圖4，圖中有：AC、AD、AB、CD、CB、DB共1+2+3=6條線段；（3）線段AB上有3個點C、D、E時，如圖5，在圖4的基礎(chǔ)上增加了線段AE、BE、CE和DE，共有6+4=10條不同的線段；線段AB上有n個點時，則有條不同的線段．【點睛】本題考查了射線、線段和角的基本知識以及規(guī)律探求問題，注重類比、找到解題的規(guī)律和方法是解答的關(guān)鍵．21．（23-24七年級上·遼寧大連·階段練習(xí)）【問題初探】（1）如圖，平面上有四個點T、Y、R、S，根據(jù)下列語句畫圖：①作射線；②作直線、交于點M；③連接、交于點O．（2）我們還可以觀察到，經(jīng)過圖中的不在同一直線上的4個點，最多能畫出______條直線：經(jīng)過不在同一直線上的5個點，最多能畫出______直線；【類比分析】（3）如果在同一平面里，有不在同一條直線上的20個點，你能算出共有多少條線段嗎？【學(xué)以致用】（4）按照這個規(guī)律回答下列問題：①2022年卡塔爾世界杯足球賽進入8強賽（即有8個隊參加比賽）時，如果進行的是單循環(huán)賽（每兩個隊只比賽一次），則需要進行多少場比賽？②某球迷乘火車從A站出發(fā)，沿途經(jīng)過3個站后到達B站，那么在A、B兩站之間需要多少種不同的票價？需要多少種車票？【答案】（1）①圖見解析②圖見解析③圖見解析（2）6，10（3）190條（4）①28②10種，20種【分析】本題考查畫直線，射線，線段，直線，線段的數(shù)量問題．（1）根據(jù)要求作圖即可；（2）直接數(shù)出直線的條數(shù)即可；（3）根據(jù)每兩個點確定一條線段，所以每一個點與剩下的19個點都能構(gòu)成一條線段，重復(fù)計算2次，除以2，進行求解即可．（4）①根據(jù)每個隊都要跟剩余的7個隊踢一場比賽，重復(fù)計算2次，除以2即可；②同①法，求出需要多少種不同的票價，再根據(jù)從到和從到需要2套票，乘以2即可．理解直線，射線，線段的定義，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（1）①作射線，如圖所示；②作直線、交于點M，如圖所示；③連接、交于點O，如圖所示．（2）圖中的不在同一直線上的4個點，最多能畫出6條直線，圖中的不在同一直線上的5個點，最多能畫出10條直線；故答案為：6，10；（3）∵每兩個點確定一條線段，∴每個點都能跟剩余的的點組成一條線段，∴可以畫出：條線段；（4）①∵每個隊都要跟剩余的7個隊踢一場比賽，且每兩個隊只比賽一次，∴需要進行場比賽；②由題意，得從到共有5個站點，每兩個站點之間票價不同，∴共有：種不同的票價；∵從到和從到的票的種類不一樣，∴需要種車票．22．（2023秋·山西太原·七年級校考階段練習(xí)）閱讀并填空：問題：在一條直線上有，，，四個點，那么這條直線上總共有多少條線段？要解決這個問題，我們可以這樣考慮，以為端點的線段有，，3條，同樣以為端點，以為端點，以為端點的線段也各有3條，這樣共有4個3，即4×3＝12（條），但和是同一條線段，即每一條線段重復(fù)一次，所以一共有______條線段．那么，若在一條直線上有5個點，則這條直線上共有______條線段；若在一條直線上有個點，則這條直線上共有______條線段．知識遷移：若在一個銳角內(nèi)部畫2條射線，，則這個圖形中總共有______個角；若在內(nèi)部畫條射線，則總共有______個角．學(xué)以致用：一段鐵路上共有5個火車站，若一列火車往返過程中，必須?？棵總€車站，則鐵路局需為這段線路準(zhǔn)備______種不同的車票．【答案】6，10，，6，，20【分析】問題：根據(jù)線段的定義解答；知識遷移：根據(jù)角的定義解答；學(xué)以致用：先計算出線段的條數(shù)，再根據(jù)兩站之間需要兩種車票解答．【詳解】解：問題：根據(jù)題意，則；；；知識遷移：在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC，OD，則圖中有6個不同的角，在∠AOB內(nèi)部畫n條射線OC，OD，OE，…，則圖中有1+2+3+…+n+（n+1）=個不同的角；學(xué)以致用：5個火車站代表的所有線段的條數(shù)×5×4=10，需要車票的種數(shù)：10×2=20（種）．故答案為：6，10，，6，，20；【點睛】此題考查了線段的計數(shù)問題，解本題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，此類題目容易數(shù)重或遺漏，要特別注意．23．（23-24七年級上·江蘇無錫·期末）（1）【探究一】如圖1，我們可以用不同的算法來計算圖形的面積．①方法1：如果把圖1看成一個大正方形，那么它的面積為；②方法2：如果把圖1看成是由2個大小不同的正方形和2個大小相同的小長方形組成的圖形，那么它的面積為；（寫成關(guān)于a、b的兩次三項式）用兩種不同的算法計算同一個圖形的面積，可以得到等式．（2）【探究二】如圖2，從一個頂點處引n條射線，請你數(shù)一數(shù)共有多少個銳角呢?①方法1：一路往下數(shù)，不回頭數(shù)．以O(shè)A1為邊的銳角有∠A1OA2、∠A1OA3、∠A1OA4、…、∠A1OAn，共有（n－1）個；以O(shè)A2為邊的銳角有∠A2OA3、∠A2OA4、…、∠A2OAn，共有（n－2）個；以O(shè)A3為邊的銳角有∠A3OA4、…、∠A3OAn，共有（n－3）個；以O(shè)An－1為邊的銳角有∠An－1OAn，共有1個；則圖中銳角的總個數(shù)是；②方法2：每一條邊都能和除它以外的（n－1）條邊形成銳角，共有n條邊，可形成n（n－1）個銳角，但所有銳角都數(shù)了兩遍，所以銳角的總個數(shù)是；用兩種不同的方法數(shù)銳角個數(shù)，可以得到等式．（3）【應(yīng)用】分別利用【探究一】中得到的等式和【探究二】中運用的思想解決問題．①計算：19782＋20222；②多邊形中連接任意兩個不相鄰頂點的線段叫做對角線，如五邊形共有5條對角線，則十七邊形共有條對角線，n邊形共有條對角線．【答案】（1）①；②；=；（2）①（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②；（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=；（3）①8000968；②119，n(n-3)【分析】（1）①根據(jù)邊長為(a+b)的正方形面積公式求解即可；②利用矩形和正方形的面積公式求解即可；（2）①根據(jù)題中的數(shù)據(jù)求和即可；②根據(jù)題意求解即可；（3）①利用（1）的規(guī)律求解即可；②根據(jù)n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n-3）條對角線．從n個頂點出發(fā)引出（n-3）條，而每條重復(fù)一次，所以n邊形對角線的總條數(shù)為n(n-3)（n≥3，且n為整數(shù)）可得答案．【詳解】解：（1）①大正方形的面積為；②由2個大小不同的正方形和2個大小相同的小長方形組成的圖形的面積為；可以得到等式：=；故答案為：①；②；=；（2）①圖中銳角的總個數(shù)是：（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②銳角的總個數(shù)是n（n－1）；可以得到等式為（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=n（n－1）；故答案為：①（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②n（n－1）；（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=n（n－1）；（3）①19782＋20222＝[2000＋（－22）]2＋（2000＋22）2＝20002＋（－22）2＋2×2000×（－22）＋20002＋222＋2×2000×22＝2×（20002＋222）＝2×[4000000＋（20＋2）2]＝2×[4000000＋（202＋22＋2×20×2）]＝8000968；②一個四邊形共有2條對角線，即×4×(4-3)=2；一個五邊形共有5條對角線，即×5×(5-3)=5；一個六邊形共有9條對角線，即×6×(6-3)=9；……，一個十七邊形共有×17×(17-3)=119條對角線；一個n邊形共有n(n-3)（n≥3，且n為整數(shù)）條對角線．故答案為：119，n(n-3)．【點睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，完全平方公式，多邊形的對角線，對于這種圖形的變化規(guī)律的問題，讀懂題目信息，找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．24．（2023秋·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）問題提出：某校要舉辦足球賽，若有5支球隊進行單循環(huán)比賽（即全部比賽過程中任何一隊都要分別與其他各隊比賽一場且只比賽一場），則該校一共要安排多少場比賽？構(gòu)建模型：生活中的許多實際問題，往往需要構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用模型的思想來解決問題．為解決上述問題，我們構(gòu)建如下數(shù)學(xué)模型：(1)如圖①，我們可以在平面內(nèi)畫出5個點（任意3個點都不在同一條直線上），其中每個點各代表一支足球隊，兩支球隊之間比賽一場就用一條線段把它們連接起來．由于每支球隊都要與其他各隊比賽一場，即每個點與另外4個點都可連成一條線段，這樣一共連成5×4條線段，而每兩個點之間的線段都重復(fù)計算了一次，實際只有＝10條線段，所以該校一共要安排10場比賽．(2)若學(xué)校有6支足球隊進行單循環(huán)比賽，借助圖②，我們可知該校一共要安排場比賽；(3)根據(jù)以上規(guī)律，若學(xué)校有n支足球隊進行單循環(huán)比賽，則該校一共要安排場比賽．實際應(yīng)用：(4)9月1日開學(xué)時，老師為了讓全班新同學(xué)互相認(rèn)識，請班上42位新同學(xué)每兩個人都相互握一次手，全班同學(xué)總共握手次．拓展提高：(5)往返于青島和濟南的同一輛高速列車，中途經(jīng)青島北站、濰坊、青州、淄博4個車站（每種車票票面都印有上車站名稱與下車站名稱），那么在這段線路上往返行車，要準(zhǔn)備車票的種數(shù)為種【答案】(1)10(2)15(3)(4)861(5)要準(zhǔn)備車票的種數(shù)為30種【分析】（1）根據(jù)圖①線段數(shù)量進行作答．（2）根據(jù)圖②線段數(shù)量進行作答．（3）根據(jù)每個點存在條與其他點的連線，而每兩個點之間的線段都重復(fù)計算了一次，提出假設(shè)，當(dāng)時均成立，假設(shè)成立．（4）根據(jù)題意，代入求解即可．（5）根據(jù)題意，代入求解即可．【詳解】（1）解：由圖①可知，圖中共有10條線段，所以該校一共要安排10場比賽．（2）由圖②可知，圖中共有15條線段，所以該校一共要安排15場比賽，故答案為：15；（3）根據(jù)圖①和圖②可知，若學(xué)校有n支足球隊進行單循環(huán)比賽，則每個點存在條