1.3.1 不等式的性質課件-2024-2025學年高一上學期數學北師大版（2019）必修第一冊

§3不等式3.1不等式的性質我們知道，等式有一些基本性質，如不等式是否有類似性質呢？帶著這個問題，我們進入本節(jié)課的學習！梳理等式的性質，理解不等式的概念，掌握不等式的性質。理解不等式的概念，掌握不等式的性質（數學抽象）會用不等式的性質證明不等式或解決范圍問題（邏輯推理）在初中的數學中，可以利用數軸比較任意兩個實數a,b的大小。關于實數a,b大小的比較，有以下基本事實：如果a-b是正數，那么a>b；如果a-b等于0，那么a=b；如果a-b是負數，那么a<b。

探究一不等式的性質(傳遞性)性質1

a>b且b>c，那么a>c分析：要證a>c只需證a-c>0證明：因為a>b且b>c

所以a-b>0，b-c>0

從而a-c=(a-b)+(b-c)>0，即a>c性質2

a>b，那么a+c>b+c分析：要證a+c>b+c只需證(a+c)-(b+c)>0證明：因為a>b且a-b>0

所以(a+c)-(b+c)=a-b>0，即a+c>b+c(可加性)性質3性質4性質5特殊地，性質6對于實數a,b,c,給出下列命題:①若a>b,則ac2>bc2;②若a<b<0,則a2>ab>b2;③若a>b,則a2>b2;其中,正確命題的序號是

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【即時練習】②【解析】直接利用不等式的基本性質逐一判斷.對于①,∵c2≥0,∴只有c≠0時才成立,故①不正確;對于②,a<b<0?a2>ab;a<b<0?ab>b2,故②正確;對于③,若0>a>b,則a2<b2,如a=-1,b=-2,但(-1)2<(-2)2,故③不正確;

不等式的性質是證明不等式和解不等式的理論基礎，必須熟練掌握，注意不等式性質中的條件.【規(guī)律總結】你還有其他證明方法嗎？探究二

不等式的性質的應用證明：還可以利用作差法.1.比較下列兩個代數式的大小:x2+3與3x;2.已知a,b均為正數,且a≠b,比較a3+b3與a2b+ab2的大小.提示：我們知道,a-b>0?a>b,a-b<0?a<b,因此,若要比較兩個代數式的大小,只需作差,并與0作比較即可.【變式訓練】【解析】1.(x2+3)-3x=x2-3x+3

∴x2+3>3x

2.(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b).∵a>0,b>0,且a≠b,∴(a-b)2>0,a+b>0.∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即a3+b3>a2b+ab2.例2

【規(guī)律總結】【變式訓練】D不等式的性質核心知識方法總結易錯提醒核心素養(yǎng)利用不等式性質判斷正誤的方法：(1)直接法:正確的說法利用不等式的相關性質或函數的相關性質證明;說法錯誤的只需舉出一個反例即可。(2)特殊值法:取值的原則:一是滿足題設條件;二是取值要簡單，便于驗證計算;三是所取的值要有代表性.（1）不等式兩邊同乘或除以負數時，要變號;（2）同乘或除以代數式時，要注意代數式的正負分類討論邏輯推理：通過等式性質，類比推理不等式性質，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)數學建模：不等式的實際應用，培養(yǎng)數學建模的核心素養(yǎng)對稱性，傳遞性同加保序性乘正保序性移項法則正數同向可乘性乘負反序性正數乘方保序性1.設x＜a＜0，則下列不等式一定成立的是(

)A．x2＜ax＜a2

B．x2＞ax＞a2C．x2＜a2＜ax D．x2＞a2＞axB【解析】選B.∵x＜a＜0，∴x2＞a2.∵x2－ax＝x(x－a)＞0，∴x2＞ax.又ax－a2＝a(x－a)＞0，∴ax＞a2.∴x2＞ax＞a2.

2．已知a>b，c>d，且cd≠0，則(

)A．ad>bc B．ac>bcC．a＋c>b＋d D．a－c>b－dC【解析】選C.∵a>b，c>d，∴a＋c>b＋d.D【解析】選D.4.判斷正誤已知a>b且c>d

a-b>d-c.()