第1講導(dǎo)數(shù)的概念及其運算微專題課件-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第四單元第1講導(dǎo)數(shù)的概念及其運算2025屆1

課程標準解讀命題方向核心素養(yǎng)1.了解平均變化率、瞬時變化率，了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景．2.通過函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．3.了解利用導(dǎo)數(shù)定義求基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．5.能求簡單的復(fù)合函數(shù)(形如f(ax＋b))的導(dǎo)數(shù)1.變化率與瞬時速度數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)運算直觀想象2.導(dǎo)數(shù)的運算3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用0102知識特訓(xùn)能力特訓(xùn)

01知識特訓(xùn)

[梳知識·逐落實]2．導(dǎo)數(shù)的概念

3．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率k，即k＝__________．[注意]

曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線是指以P為切點，k＝f′(x0)為斜率的切線，是唯一的一條切線．f′(x0)知識點二導(dǎo)數(shù)的運算1．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝________f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)f′(x)＝________f(x)＝sinxf′(x)＝________f(x)＝cosxf′(x)＝________0αxα-1cosx－sinx

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝________f(x)＝exf′(x)＝________f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝axlnaex

f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)y′u·u′x[注意]

要分清每一步的求導(dǎo)是哪個變量對哪個變量的求導(dǎo)，不能混淆，常出現(xiàn)如下錯誤：(cos2x)′＝－sin2x.實際上應(yīng)是(cos2x)′＝－2sin2x.[自診斷·夯基礎(chǔ)]1．[易錯診斷]判斷下列結(jié)論是否正確．(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率．(

)(2)曲線y＝f(x)在某點處的切線與曲線y＝f(x)過某點的切線意義是相同的．(

)(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.(

)(4)若f(x)＝sin(－x)，則f′(x)＝cos(－x).(

)√×××

【提素能】1．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝________.答案：－g(x)解析：由結(jié)論1可知導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x).

02能力特訓(xùn)特訓(xùn)點1特訓(xùn)點2特訓(xùn)點3[題組·沖關(guān)]1．(2024·陜西月考)某旅游者爬山的高度h(單位：m)是時間t(單位：h)的函數(shù)，關(guān)系式是h＝－100t2＋800t，則他在2h這一時刻的高度變化的速度是(

)A．500m/h B．1000m/hC．400m/h D．1200m/h答案：C解析：∵h′(t)＝－200t＋800，∴h′(2)＝－200×2＋800＝400，則他在2h這一時刻的高度變化的速度是400m/h.故選C.特訓(xùn)點1平均變化率與瞬時變化率【自主沖關(guān)類】

給出下列四個結(jié)論：①在[t1，t2]這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；②在t2時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；③在t3時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標；④在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]這三段時間內(nèi)，甲企業(yè)在[0，t1]內(nèi)污水治理能力最強．其中所有正確結(jié)論的序號是________.答案：①②③

[錦囊·妙計]平均變化率反映某一區(qū)間上變化的快慢，瞬時變化率反映某一點處的變化的快慢．

特訓(xùn)點2導(dǎo)數(shù)的運算【自主沖關(guān)類】

[錦囊·妙計]1．求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)運算、三角恒等式等對函數(shù)進行化簡，然后求導(dǎo)，盡量避免不必要的商的求導(dǎo)，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯．2．①若函數(shù)為根式形式，可先化為分數(shù)指數(shù)冪，再求導(dǎo).②復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時可進行換元．

…………………研典例導(dǎo)解法特訓(xùn)點3導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用【多維考向類】答案：C

(2)(2022·新高考全國Ⅱ卷)曲線y＝ln|x|過坐標原點的兩條切線的方程為__________，__________．

求曲線過點P的切線方程的方法(1)當(dāng)點P(x0，y0)是切點時，切線方程為y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．(2)當(dāng)點P(x0，y0)不是切點時，可分以下幾步完成：第一步：設(shè)出切點坐標P′(x1，f(x1))．第二步：寫出過點P′(x1，f(x1))的切線方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)．第三步：將點P的坐標(x0，y0)代入切線方程求出x1.第四步：將x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)·(x－x1)，可得過點P(x0，y0)的切線方程．考向2求切點坐標或參數(shù)典例2(1)(2023·鄭州一模)已知曲線y＝f(x)＝x3－x＋3在點P處的切線與直線x＋2y－1＝0垂直，則P點的坐標為(

)A．(1，3) B．(－1，3)C．(1，3)或(－1，3) D．(1，－3)答案：C

(2)(2022·新高考全國Ⅰ卷)若曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是________.答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞)

1．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點坐標應(yīng)注意兩點：一是切點坐標既在曲線的圖象上又在切線上；二是切線的斜率等于切點的橫坐標的導(dǎo)數(shù)值．2．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)問題時，注意利用數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法．

答案：BD

(2)(2023·東北師大附中模擬)已知y＝f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g′(3)＝________．答案：0

函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”．1