專題09向量的性質(zhì)及其應(yīng)用（原卷版）

專題09向量的性質(zhì)及其應(yīng)用專題點(diǎn)撥能靈活運(yùn)用兩個重要結(jié)論解決問題：(1)(D是BC中點(diǎn)).(2)已知點(diǎn)不共線，且，則點(diǎn)共線的充要條件是.2．運(yùn)用建立坐標(biāo)系的方法解決向量問題時，遵循向量的坐標(biāo)易于表示的原則.3．會用向量點(diǎn)乘向量等式(作數(shù)量積、兩邊平方、向量投影的幾何意義)方法解決問題.4．能熟練地運(yùn)用向量運(yùn)算的幾何意義作圖求解.真題賞析（2021?上海）在中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則以下結(jié)論：①存在，使得；②存在，使得；它們的成立情況是A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立例題剖析【例1】在邊長為1的正六邊形中，記以為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為，，，，，若與的夾角記為，其中，，2，3，4，，且，則的最大值為．【變式訓(xùn)練1】（2021?浦東新區(qū)校級三模）已知邊長為2的正方形邊上有兩點(diǎn)、，滿足，設(shè)是正方形的中心，則的取值范圍是．【例2】已知平面向量、滿足條件：，，，，若向量．且，則的最小值為．【變式訓(xùn)練2】已知向量，，且，若向量滿足，則的最大值為．【例3】已知圓心為、半徑為的圓上有三點(diǎn)、、，，則．【變式訓(xùn)練3】已知圓心為、半徑為的圓上有三點(diǎn)、、．若，則______________．鞏固訓(xùn)練填空題1.（2021?金山區(qū)二模）已知向量與的夾角為，且，若，其中，則向量在上的投影的取值范圍為．2.（2021?浦東新區(qū)二模）已知、，若曲線上存在兩個不同的點(diǎn)滿足條件，則的取值范圍為．3.已知圓，圓．直線、分別過圓心、，且與圓相交于，兩點(diǎn)，與圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為．4.（2021?普陀區(qū)模擬）已知向量，的夾角為銳角，且滿足、，若對任意的，，，，都有成立，則的最小值為．5.（2021?浦東新區(qū)三模）已知，若存在，，使得與夾角為，且，則的最小值為．6.（2021?寶山區(qū)二模）如圖，若同一平面上的四邊形滿足：，則當(dāng)?shù)拿娣e是的面積的倍時，的最大值為．二、選擇題 7．設(shè)表示平面向量，，都是小于9的正整數(shù)，且滿足，，則和的夾角大小為A． B． C． D．8．（2021?楊浦區(qū)二模）在四邊形中，，且滿足，則A．2 B．6 C． D．9．（2021?閔行區(qū)二模）如圖是函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象，該圖象分別與軸、軸相交于、兩點(diǎn)，與過點(diǎn)的直線相交于另外兩點(diǎn)、，為軸上的基本單位向量，則A． B． C． D．三、解答題10.已知點(diǎn)是的中線上任意一點(diǎn)，且，實(shí)數(shù)滿足：.記，，，，，若乘積取最大值時，求此時的值.11.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，，，．（1）求證：；（2）若是等腰三角