考點(diǎn)17平面向量及其應(yīng)用11種常見(jiàn)考法歸類-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)題型歸納與解題策略(人教A版2019)

考點(diǎn)17平面向量及其應(yīng)用11種常見(jiàn)考法歸類1．平面向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性；(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān)；(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的移動(dòng)混淆；(4)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系：eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量．2．向量線性運(yùn)算的解題策略(1)常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連的向量的和用三角形法則；(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解；(3)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問(wèn)題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③運(yùn)用法則找關(guān)系；④化簡(jiǎn)結(jié)果．3．與向量的線性運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運(yùn)算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，然后通過(guò)建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值．4．利用向量共線定理證明三點(diǎn)共線若存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，則A，B，C三點(diǎn)共線．5．應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關(guān)系．6．用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．注意同一個(gè)向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個(gè)基底下的分解都是唯一的．向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，求解過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用．7．利用向量共線的坐標(biāo)表示求參數(shù)的一般步驟(1)根據(jù)已知條件求出相關(guān)向量的坐標(biāo)；(2)利用向量共線的坐標(biāo)表示列出有關(guān)向量的方程或方程組；(3)根據(jù)方程或方程組求解得到參數(shù)的值．8．兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(b≠0)，則a＝λb．一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)要求點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，根據(jù)向量共線的條件列方程(組)，求出x，y的值．9．向量數(shù)量積的求法(1)求兩個(gè)向量的數(shù)量積，首先確定兩個(gè)向量的模及向量的夾角，其中準(zhǔn)確求出兩個(gè)向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵．（注：兩向量的夾角要共起點(diǎn)且?jiàn)A角的范圍為）(2)根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算．10．利用坐標(biāo)運(yùn)算證明或判斷兩個(gè)向量的垂直問(wèn)題第一，計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)；第二，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可．11．已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù)．12．兩個(gè)向量垂直的充要條件（1）（沒(méi)有坐標(biāo)背景）（2）設(shè)=,=，則（(坐標(biāo)背景).13．求向量的模：利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問(wèn)題的處理方法有：①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).②|a±b|＝eq\r(a±b2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2).③若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).14．兩向量的夾角是指當(dāng)兩向量的起點(diǎn)相同時(shí)，表示兩向量的有向線段所形成的角，若起點(diǎn)不同，應(yīng)通過(guò)移動(dòng)，使其起點(diǎn)相同，再觀察夾角．15．兩向量夾角的范圍為[0，π]，特別地當(dāng)兩向量共線且同向時(shí)，其夾角為0，共線且反向時(shí)，其夾角為π.16．在利用向量的數(shù)量積求兩向量的夾角時(shí)，一定要注意兩向量夾角的范圍．17．求向量的夾角有兩種方法：(1)定義法：當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，求a與b的夾角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關(guān)系，由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求得．(2)公式法：若已知a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)，則cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))，〈a，b〉∈[0，π]．注意：(1)向量a，b的夾角為銳角?a·b>0且向量a，b不共線（同向）．(2)向量a，b的夾角為鈍角?a·b<0且向量a，b不共線．18．正弦定理內(nèi)容及公式：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.在任意△ABC中，都有eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)=2R(R為△ABC外接圓的半徑)（1）化邊為角：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R為△ABC外接圓的半徑).（2）化角為邊sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)(R為△ABC外接圓的半徑).（3）三角形的邊長(zhǎng)之比等于對(duì)應(yīng)角的正弦比，即a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.（4）eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).（5）asinB＝bsinA，asinC＝csinA，bsinC＝csinB.（6）在△ABC中，A>B?a>b?sinA>sinB19．正弦定理之齊次式結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：每一項(xiàng)中都有邊或sin角且次數(shù)一致，即可實(shí)現(xiàn)邊和對(duì)應(yīng)sin角的互化結(jié)構(gòu)示例：（1）整式齊次式：①邊的齊次式②sin角的齊次式（2）分式齊次式：注：在等式(不等式)或分式中出現(xiàn)邊或內(nèi)角的正弦同次，利用正弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊、內(nèi)角的正弦轉(zhuǎn)化。如果在等式(不等式)或分式中出現(xiàn)邊或內(nèi)角的正弦同次且為一次(求角)時(shí)，一般情況要化為角的正弦，如出現(xiàn)二次，一般情況要化為邊，再利用余弦定理。20．余弦定理：變形：21．三角形面積公式(1)S＝eq\f(1,2)aha＝eq\f(1,2)bhb＝eq\f(1,2)chc；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)casinB.(3)海倫公式：其中(4)，其中，為的內(nèi)切圓半徑(5)其中22．化簡(jiǎn)后的式子同時(shí)含有三個(gè)角時(shí)，解題思路是減少角的個(gè)數(shù)，方法主要有以下兩種①合角如：②拆角——拆單角（“單身狗角”）如：注：（1），，（2），（3）中①②（舍去）①②，則或射影定理考點(diǎn)一平面向量的有關(guān)概念考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算考點(diǎn)三共線向量定理的應(yīng)用考點(diǎn)四平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用考點(diǎn)五平面向量基本定理的應(yīng)用考點(diǎn)六平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算考點(diǎn)七正余弦定理的綜合應(yīng)用考點(diǎn)八與三角形有關(guān)的最值問(wèn)題考點(diǎn)九解三角形在圖形中的應(yīng)用考點(diǎn)十解三角形的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)十一三角函數(shù)與解三角形的綜合問(wèn)題考點(diǎn)一平面向量的有關(guān)概念1．【多選】（2023秋·遼寧營(yíng)口·高一統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．B．兩個(gè)非零向量，若，則與共線且反向C．若，，則D．若，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得【答案】CD【分析】由向量加減法運(yùn)算律可知A正確；將已知等式平方后，由向量數(shù)量積定義和運(yùn)算律可求得，知B正確；通過(guò)反例可說(shuō)明CD錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，由向量加減法的運(yùn)算律知：，A正確；對(duì)于B，為非零向量，，，即，，解得：，即，與共線且反向，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，由，無(wú)法得到，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，則，但不存在唯一實(shí)數(shù)，使得，D錯(cuò)誤.故選：CD.2．【多選】（2023秋·遼寧營(yíng)口·高一校聯(lián)考期末）設(shè)，是兩個(gè)非零向量，則下列描述錯(cuò)誤的有（

）A．若，則存在實(shí)數(shù)，使得.B．若，則.C．若，則，反向.D．若，則，一定同向【答案】ACD【分析】根據(jù)向量加法的意義判斷選項(xiàng)A，C；根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)平面向量平行的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)，由向量加法的意義知，方向相反且，則存在實(shí)數(shù)，使得，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)，則以，為鄰邊的平行四邊形為矩形，且和是這個(gè)矩形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)，則，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)，由向量加法的意義知，方向相同，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，則，同向或反向，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；綜上所述：選項(xiàng)ACD錯(cuò)誤，故選：ACD.3．（2023春·山東濰坊·高一?？茧A段練習(xí)）對(duì)于任意兩個(gè)向量和，下列命題中正確的是（

）A．若滿足，且與同向，則B．C．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的定義判斷選項(xiàng)A，向量減法的三角形法則選項(xiàng)B、D，用向量數(shù)量積公式判斷C.【詳解】對(duì)于A，向量不能比較大小，故A不正確；對(duì)于B，根據(jù)向量加法運(yùn)算公式可知，當(dāng)向量與不共線時(shí)，兩邊之和大于第三邊，即，當(dāng)與同向時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，若，，不存在實(shí)數(shù)，使，故C不正確；對(duì)于D，當(dāng)向量與不共線時(shí)，根據(jù)向量減法法則可知，兩邊之差小于第三邊，即，故D不正確.故選：B.4．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）下列命題：①若，則；②若，，則；③的充要條件是且；④若，，則；⑤若、、、是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件.其中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的概念可判斷①；利用相等向量的定義可判斷②；利用相等向量的定義以及充分條件、必要條件的定義可判斷③⑤；取可判斷④.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)?，但、的方向不確定，則、不一定相等，①錯(cuò)；對(duì)于②，若，，則，②對(duì)；對(duì)于③，且或，所以，所以，“且”是“”的必要不充分條件，③錯(cuò)；對(duì)于④，取，則、不一定共線，④錯(cuò)；對(duì)于⑤，若、、、是不共線的四點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則且，此時(shí)，四邊形為平行四邊形，當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，由相等向量的定義可知，所以，若、、、是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件，⑤對(duì).故選：A.5．（2023春·江蘇淮安·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，則以圖中點(diǎn)A、B、C、D、E、F、O中的任意一點(diǎn)為始點(diǎn)，與始點(diǎn)不同的另一點(diǎn)為終點(diǎn)的所有向量中，除向量外，與向量共線的向量共有（

）A．7個(gè) B．8個(gè) C．9個(gè) D．10個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)共線向量的定義與正六邊形的性質(zhì)直接得出.【詳解】圖中與共線的向量有：，共9個(gè)，故選：C.考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算6．【多選】（2023秋·吉林·高一校考期末）下列結(jié)果為零向量的是(

)A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)向量加減法的運(yùn)算方法即可逐項(xiàng)判斷.【詳解】A項(xiàng)，；B項(xiàng)，；C項(xiàng)，；D項(xiàng)，.故選：BCD.7．（2023秋·北京昌平·高一統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，則下列各式一定成立的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由矩形的幾何性質(zhì)，結(jié)合各線段對(duì)應(yīng)向量的關(guān)系判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】由圖知：，故A錯(cuò)誤；不相等，即，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：D8．（2023秋·遼寧·高一校聯(lián)考期末）如圖，在等腰梯形ABCD中，，AD=2，AB=BC=CD=1，E為AD的中點(diǎn)．則下列式子不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先分析清楚圖像內(nèi)部的幾何關(guān)系，再根據(jù)向量加法規(guī)則逐項(xiàng)分析.【詳解】由題意，并且四邊形ABCE和四邊形BCDE都是平行四邊形，即，對(duì)于A，，正確；對(duì)于B，，正確；對(duì)于C，，錯(cuò)誤；對(duì)于D，，正確；故選：C.9．（2023·高一單元測(cè)試）在中，D為BC的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量加減法運(yùn)算法則運(yùn)算求解即可.【詳解】解：因?yàn)橹?，D為BC的中點(diǎn),所以，，故選：B10．（2023·高一單元測(cè)試）如圖所示，點(diǎn)在線段上，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的基本定理求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，?故選：C.11．（2023·高一單元測(cè)試）已知AD是的BC邊上的中線，若，，則______．【答案】【分析】分別在中用向量的三角形加法法則得用來(lái)表示，中根據(jù)向量減法法則得,表示，然后合并同類項(xiàng)可得.【詳解】在中根據(jù)向量的三角形加法法則得又因?yàn)锳D是的BC邊上的中線，即在中根據(jù)向量減法法則得，所以故答案為：12．（2023·高一單元測(cè)試）若，則__．【答案】1【分析】由，得到，又，代入后即可求解.【詳解】，，又，，，解得，，，故答案為：1．13．（2023春·遼寧沈陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）設(shè)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的減法運(yùn)算求解.【詳解】由，則，整理得．故選：A.考點(diǎn)三共線向量定理的應(yīng)用14．（2023·高一單元測(cè)試）設(shè)，是不共線向量，與共線，則實(shí)數(shù)為_(kāi)_________．【答案】##【分析】根據(jù)向量平行列出方程組，求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，是不共線向量，與共線，所以存在實(shí)數(shù)使得，所以，解得：.故答案為：15．（2023春·江蘇·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量、不共線，且，若與共線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)平面向量共線的基本定理可得關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，解之即可.【詳解】因?yàn)榕c共線，則存在，使得，即，因?yàn)橄蛄?、不共線，則，整理可得，即，解得或.故選：C.16．（2023秋·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┰谥?，點(diǎn)滿足，則（

）A．點(diǎn)不在直線上 B．點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上C．點(diǎn)在線段上 D．點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上【答案】B【分析】由已知條件可得，從而可得與共線，進(jìn)而可得結(jié)論【詳解】因?yàn)?，得，所以，所以三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，故選：B17．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高一?？计谀┮阎?，若與方向相同，則（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的共線定理與坐標(biāo)表示，列方程求出k的值．【詳解】，若與方向相同，則有，解得.故選：C18．（2023·高一單元測(cè)試）在平行四邊形中，分別為上的點(diǎn)，且，連接，與交于點(diǎn)，若，則的值為_(kāi)_____.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的加法，結(jié)合共線向量定理的推論求解作答.【詳解】在中，不共線，因?yàn)?，則有，又三點(diǎn)共線，于是得，解得，所以的值為.故答案為：19．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)鐵路實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┰谥?，點(diǎn)F為線段BC上任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若，則的最小值為_(kāi)___________.【答案】9【分析】根據(jù)向量共線定理得推論得到，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)F為線段BC上任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），所以，又，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：9.20．（2023·高一單元測(cè)試）如圖，在中，.設(shè).(1)用表示；(2)若為內(nèi)部一點(diǎn)，且.求證：三點(diǎn)共線.【答案】(1)，(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由圖中線段的位置及數(shù)量關(guān)系，用表示出，即可得結(jié)果；（2）用表示，得到，根據(jù)向量共線的結(jié)論即證結(jié)論.【詳解】（1）由題圖，，.（2）由，又，所以，故三點(diǎn)共線.考點(diǎn)四平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用21．（2023秋·云南·高一云南師大附中校考期末）在正三角形△ABC中，，M，N分別為AB，AC的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題可知，向量，的夾角為150°，再由平面向量數(shù)量積的定義即可得出答案.【詳解】由題知，，，向量，的夾角為150°，所以.故選：A．22．【多選】（2023·高一單元測(cè)試）已知向量，若，則實(shí)數(shù)m的值可以為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】ABC【分析】根據(jù)向量垂直列出方程，求出實(shí)數(shù)m的值.【詳解】因?yàn)?，所以，解得?或．故選：ABC23．（2023秋·遼寧錦州·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，且，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出、的坐標(biāo)，再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，求出參數(shù)的值，最后根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，又，所以，解得，所以，則.故選：A24．（2023秋·遼寧營(yíng)口·高一校聯(lián)考期末）已知向量.(1)求和；(2)當(dāng)為何值時(shí)，與平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？【答案】(1)；；(2)，反向.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)求模，計(jì)算作答.（2）求出的坐標(biāo)表示，再利用共線向量的坐標(biāo)表示求解作答.【詳解】（1）因?yàn)橄蛄?，則，，所以，.（2）依題意，，由（1）知，由，解得，于是當(dāng)時(shí)，與共線，且，即有與方向相反，所以當(dāng)時(shí)，與共線，并且它們反向共線.25．（2023秋·北京·高一北京師大附中校考期末）已知平面向量，是非零向量，，，則向量在向量方向上的投影為（

）A．? B．1 C．? D．2【答案】A【分析】首先通過(guò)條件求得，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算公式求出，進(jìn)而求解在方向上投影.【詳解】平面向量是非零向量，，，則.設(shè)與夾角為，則，在方向上投影為.故選：A26．【多選】（2023秋·云南·高一云南師大附中?？计谀┰O(shè)，是互相垂直的單位向量，，，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若點(diǎn)C在線段AB上，則B．若，則C．當(dāng)時(shí)，與共線的單位向量是D．當(dāng)時(shí)，在上的投影向量為【答案】ABD【分析】對(duì)A：根據(jù)向量共線分析運(yùn)算；對(duì)B：根據(jù)向量垂直運(yùn)算求解；對(duì)C：根據(jù)單位向量分析運(yùn)算；對(duì)D：根據(jù)投影向量分析運(yùn)算.【詳解】由題意可得：，對(duì)A：若點(diǎn)C在線段AB上，則，則，可得，解得或（舍去），故A正確；對(duì)B：由，可得，解得，故B正確；對(duì)C：當(dāng)時(shí)，則，與共線的單位向量是，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，可得，則在上的投影向量為，故D正確.故選：ABD．27．【多選】（2023·高一單元測(cè)試）八卦是中國(guó)文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2的正八邊形ABCDEFGH，其中=2，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量為【答案】ACD【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義、向量的線性運(yùn)算法則，向量模的定義以及投影向量的概念計(jì)算判斷各選項(xiàng)．【詳解】，A正確；由向量加法的平行四邊形法則知是以為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量，起點(diǎn)是，易知該平行四邊形的對(duì)角線長(zhǎng)不等于的二倍，即，而，因此B錯(cuò)誤；，C正確；，在上的投影為，又，∴在上的投影向量為，D正確．故選：ACD．28．【多選】（2023·高一單元測(cè)試）向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，它既是代數(shù)研究對(duì)象，也是幾何研究對(duì)象，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁若向量，滿足，，則（

）A． B．與的夾角為C． D．在上的投影向量為【答案】BC【分析】利用向量的模長(zhǎng)公式以及題中條件即可判斷A,C,由夾角公式可判斷B，根據(jù)投影向量的求法即可判斷D.【詳解】，,,解得,故A錯(cuò)誤,，由于，與的夾角為，故B正確,,故C正確在上的投影向量為，故D錯(cuò)誤,故選：BC29．【多選】（2023·高一單元測(cè)試）下列說(shuō)法正確的有（

）A．已知，，若與共線，則B．若，，則C．若，則一定不與共線D．若，，為銳角，則實(shí)數(shù)的范圍是【答案】AD【分析】根據(jù)向量共線的性質(zhì)可直接判斷ABC選項(xiàng)，再根據(jù)向量數(shù)量積與夾角的關(guān)系可判斷選項(xiàng)D.【詳解】A選項(xiàng)：，，若與共線，則，，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，，但不一定成立，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，無(wú)法確定兩個(gè)向量的方向，兩個(gè)向量可能共線，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，，若為銳角，則，解得，D選項(xiàng)正確；故選：AD.30．【多選】（2023春·高一單元測(cè)試）已知向量，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則的值為B．若則的值為C．若，則與的夾角為銳角D．若，則【答案】AB【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積、向量的模的坐標(biāo)表示及向量共線的坐標(biāo)表示一一判斷即可；【詳解】解：對(duì)于A：若，則，解得，故A正確；對(duì)于B：若，則，解得，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)與同向，此時(shí)與的夾角為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則，即，即，解得，當(dāng)時(shí)，，，顯然，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，故D錯(cuò)誤；故選：AB考點(diǎn)五平面向量基本定理的應(yīng)用31．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)鐵路實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算及平面向量的基本定理求解即可.【詳解】由題意,即，所以故選：A.32．（2023秋·遼寧鐵嶺·高一鐵嶺市清河高級(jí)中學(xué)?？计谀┰凇髦?，延長(zhǎng)到，使，在上取點(diǎn)，使與交于，設(shè)，用表示向量及向量.【答案】；【分析】用平面基底向量表示向量，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】∵A是的中點(diǎn)，則，故，，故.33．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）如圖，在平行四邊形中，設(shè)．試用求表示及．【答案】【分析】結(jié)合圖形關(guān)系，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】在平行四邊形中,,所以進(jìn)而得34．（2023秋·遼寧·高一校聯(lián)考期末）已知內(nèi)一點(diǎn)P滿足，若的面積與的面積之比為，則的值為_(kāi)_____．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)P作，，根據(jù)向量運(yùn)算和平面向量基本定理可得，．作PG⊥AC于點(diǎn)G，BH⊥AC于點(diǎn)H．根據(jù)三角形面積公式結(jié)合三角形相似判斷可得，，列方程求的值.【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)P作，，則，又，由平面向量基本定理可得，．作PG⊥AC于點(diǎn)G，BH⊥AC于點(diǎn)H．又因?yàn)?，所以，因?yàn)椋恚驗(yàn)榈拿娣e與的面積之比為，所以，解得．故答案為：.35．（2023秋·遼寧鞍山·高一統(tǒng)考期末）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E滿足，且O是邊AB中點(diǎn)，若AE交DO于點(diǎn)M．且，則______．【答案】【分析】由已知可得可得答案.【詳解】在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E滿足，且O邊AB中點(diǎn)，所以E是邊DC離近C的三等分點(diǎn)，可得，，所以又，所以，故答案為：.36．（2023秋·遼寧營(yíng)口·高一校聯(lián)考期末）在中，，，若（，均大于0），則的值為_(kāi)_____.【答案】15【分析】利用平面向量基本定理和向量三角形法則，可表示，進(jìn)而求出，的值，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖所示，在中，，因?yàn)?，所以，所以，①在中，，因?yàn)?，所以，所以，代入①，得，因?yàn)?，所以，，所以，故答案為?37．（2023秋·遼寧·高一校聯(lián)考期末）已知m>0，n>0，如圖，在中，點(diǎn)M，N滿足，，D是線段BC上一點(diǎn)，，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，且M，N，E三點(diǎn)共線．(1)若點(diǎn)O滿足，證明：．(2)求的最小值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，利用依次表示，再結(jié)合向量共線定理證明即可；(2)由(1)，結(jié)合結(jié)論可得，再利用基本不等式求的最小值．【詳解】（1）由題可知，因?yàn)辄c(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，所以．由，則，即，，又所以，又三點(diǎn)不共線，所以．（2）因?yàn)镸，N，E三點(diǎn)共線，所以可設(shè)，又，，所以又，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立．所以的最小值是．考點(diǎn)六平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算38．【多選】（2023·高一單元測(cè)試）已知平面向量，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，由向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算求、，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，，故，A錯(cuò)誤，B正確；，C正確；，D正確.故選：BCD39．【多選】（2023·高一單元測(cè)試）已知向量，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．與可以作為基底C． D．與方向相同【答案】BD【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，共線向量定理和平面向量基本定理逐項(xiàng)分析即得.【詳解】由題意，向量，可得，所以，所以A正確，B錯(cuò)誤；又由，所以C正確；因?yàn)椋?，所以與方向相反，所以D錯(cuò)誤.故選：BD.40．【多選】（2023·高一單元測(cè)試）已知向量，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)向量的平行與垂直坐標(biāo)公式及加減運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可．【詳解】因?yàn)椋圆黄叫?，則A錯(cuò)；由，所以，則B正確；由，，故C錯(cuò)；由，故D正確.故選：BD41．【多選】（2023·高一單元測(cè)試）已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，分情況利用向量的相等，建立方程，可得答案.【詳解】由題意，設(shè)，，，第四個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，或，由，，，則或，解得或；當(dāng)，時(shí)，或，由，，，則或，解得或；故點(diǎn)的坐標(biāo)為，，.故選：ABC.考點(diǎn)七正余弦定理的綜合應(yīng)用42．（2023·高一單元測(cè)試）在中，內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別是，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理直接構(gòu)造方程求解即可.【詳解】由余弦定理得：，即，解得：（舍）或，.故選：D.43．【多選】（2023·高一單元測(cè)試）在中，角的對(duì)邊分別為.根據(jù)下列條件，判斷三角形解的情況，其中正確的是（

）A．，有唯一解B．，無(wú)解C．，有兩解D．，有唯一解【答案】AD【分析】根據(jù)三邊確定可判斷A選項(xiàng)；由正弦定理，在結(jié)合大邊對(duì)大角可判斷B，C，D選項(xiàng).【詳解】解：選項(xiàng)A，，已知三邊三角形確定，有唯一解，A正確；選項(xiàng)B，由正弦定理得：，則，再由大邊對(duì)大角可得，故可以為銳角，也可以為鈍角，故三角形有兩解，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，由正弦定理得：，則，且，由大邊對(duì)大角可得，則只能為銳角，故三角形有唯一解，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，由正弦定理得：，，由于，則是銳角，有唯一解，D正確.故選：AD.44．【多選】（2023·高一單元測(cè)試）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則B的值為（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用余弦定理代入式子中能得到，結(jié)合的范圍即能得到答案【詳解】解：根據(jù)余弦定理可知，代入，可得，即，因?yàn)椋曰颍蔬x：BD.45．（2023·高一單元測(cè)試）在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理把化為，再結(jié)合余弦定理求角即可【詳解】∵，∴，結(jié)合即可求得．由余弦定理可得.又∵，∴．故選：D46．（2023·高一單元測(cè)試）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，則角______.【答案】##【分析】先將等式去分母，然后利用正弦定理變形整理可得角A.【詳解】將等式兩邊同時(shí)乘以得，由正弦定理得，又在中，得，.故答案為：.47．【多選】（2023·高一單元測(cè)試）在中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，已知，，且，則A． B． C． D．【答案】AD【分析】利用正弦定理邊化角，再結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】.整理可得:可得為三角形內(nèi)角,故A正確，B錯(cuò)誤.解得,由余弦定理得解得,故C錯(cuò)誤，D正確.故選:AD.【點(diǎn)睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”.48．【多選】（2023·高一單元測(cè)試）在中，角A，，所對(duì)的邊分別為，，，下列敘述正確的是(

)A．若，則為等腰三角形B．若，則為等腰三角形C．若，則為等腰三角形D．若，則為等腰三角形【答案】AC【分析】利用正弦定理變化角和三角恒等變換即可判斷三角形的形狀．【詳解】對(duì)于A，若，則根據(jù)正弦定理得：，∵sinA+sinB≠0，∴sinA=sinB，則a=b，即△ABC為等腰三角形，故A正確；對(duì)于B，若，則根據(jù)正弦定理得：，∵A、B∈(0，π)，A+B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0，2π)且2A+2B∈(0，2π)，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，即△ABC為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則根據(jù)正弦定理得：，∵A、B∈(0，π)，A+B∈(0，π)，∴A=B，即△ABC為等腰三角形，故C正確；對(duì)于D，若，則根據(jù)正弦定理得：，則由B選項(xiàng)可知，此時(shí)△ABC為等腰或直角三角形，故D錯(cuò)誤．故選：AC．49．【多選】（2023·高一單元測(cè)試）對(duì)于，有如下命題，其中正確的是（

）A．若，則是等腰三角形B．在中，是為銳角三角形的充要條件C．若，則為銳角三角形D．若，則為鈍角三角形【答案】AD【分析】由，得，從而判斷A，舉例，判斷B，化簡(jiǎn)，邊角互化并結(jié)合余弦定理可判斷得為鈍角，判斷C，根據(jù)向量數(shù)量積的定義代入得，化簡(jiǎn)計(jì)算后可判斷得為鈍角，判斷D.【詳解】在中，，得，所以是等腰三角形，故A正確；若，則，此時(shí)為直角三角形，故B錯(cuò)誤；若，即，由邊角互化得，根據(jù)余弦定理得，所以為鈍角，故C錯(cuò)誤；若，即，即，因?yàn)?，所以，即為鈍角，故D正確.故選：AD50．（2023·高一單元測(cè)試）設(shè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，．(1)求角的大小(2)若，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；（2）由正弦定理求出，即可得到，再由兩角和的正弦公式求出，最后由面積公式計(jì)算可得.【詳解】（1）解：因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，即，則，又，所以．（2）解：因?yàn)?，，，由，得，即，又，所以，則，所以，所以．51．（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中學(xué)校考期末）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）由，根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)得，利用余弦定理求得，即可求解；（2）由的面積為，求得，結(jié)合余弦定理，求得，即可求解.【詳解】（1）由題意及正弦定理知，，，，.（2），又，由①，②可得，所以的周長(zhǎng)為.考點(diǎn)八與三角形有關(guān)的最值問(wèn)題52．（2023·高一單元測(cè)試）a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，已知．(1)若，證明：△ABC為等腰三角形；(2)若，求b的最小值．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）已知條件由余弦定理角化邊，化簡(jiǎn)可得，從而可證△ABC為等腰三角形；（2）已知條件由正、余弦定理角化邊，可得，從而得到，進(jìn)而可求得b的最小值．【詳解】（1）因?yàn)?，，所以由余弦定理可得，即，整理得，即，所以△ABC為等腰三角形．（2）因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻?，所以由余弦定理可得，又，所以，所以，?dāng)時(shí)，取最小值，且最小值為．53．（2023·高一單元測(cè)試）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．若D是BC邊的中點(diǎn)，且，則面積的最大值為（

）A．16 B．C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)題意利用余弦定理得到，根據(jù)是邊BC的中點(diǎn)得到，從而得到，再利用基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，所以，，因?yàn)?，所?因?yàn)槭沁匓C的中點(diǎn)，所以，.因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以，即面積最大為．故選：B54．【多選】（2023·高一單元測(cè)試）在銳角中，角，，所對(duì)邊分別為，，，外接圓半徑為，若，，則（

）A．B．C．的最大值為3D．的取值范圍為【答案】ACD【分析】由正弦定理求外接圓半徑；由題設(shè)知，結(jié)合即可求范圍；由余弦定理及基本不等式求的最大值，注意取最大的條件；由C分析有，結(jié)合正弦定理邊角關(guān)系及的范圍，應(yīng)用二倍角正余弦等恒等變換，根據(jù)三角函數(shù)的值域求范圍.【詳解】由題設(shè)，外接圓直徑為，故，A正確；銳角中，則，故，B錯(cuò)誤；，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C正確；由C分析知：，而，又且，則，而，所以，則，所以，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)，應(yīng)用邊角關(guān)系及角的范圍，結(jié)合三角恒等變換將轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)性質(zhì)求范圍.55．【多選】（2023·高一單元測(cè)試）在中，所對(duì)的邊為，，邊上的高為，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A． B． C．的最小值為 D．的最大值為【答案】ABD【分析】設(shè)邊上的高為，利用面積橋可知A正確；利用余弦定理和可整理得到，則，知B正確；將轉(zhuǎn)化為，利用三角恒等變換知識(shí)化簡(jiǎn)整理得，由正弦函數(shù)值域可知CD正誤.【詳解】設(shè)邊上的高為，則，，，即，A正確；由余弦定理得：，又，，，B正確；，，，，；，，，，C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.56．（2023·高一單元測(cè)試）在中、、為角、、所對(duì)的邊，.（1）求角的值；（2）若且，求的取值范圍.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）利用二倍角公式和兩角和與差的余弦公式化簡(jiǎn)，可求出角B的值；（2）根據(jù)條件，可求出角B的值以及角A的范圍，利用正弦定理可得到，將代入，用輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合A的范圍即可求出結(jié)果.【詳解】（1）在中，，則，，∴或；（2）∵，∴，由正弦定理得，所以，，故，∵，∴，，∴.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的余弦公式以及兩角和與差的余弦公式，考查邊化角求邊長(zhǎng)的范圍，考查三角函數(shù)輔助角公式，同時(shí)考查了學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.57．（2023·高一單元測(cè)試）在銳角中，角的對(duì)邊分別為，已知（1）若，求；（2）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式可得，進(jìn)而得解；（2）根據(jù)正弦定理邊角互化可得，結(jié)合銳角三角形的范圍可得解.【詳解】（1）由，得，得，得，在，，由余弦定理，得，即，解得或.當(dāng)時(shí)，即為鈍角（舍），故符合.（2）由（1）得，所以，，為銳角三角形，，，，，故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是熟練應(yīng)用正余弦定理進(jìn)行邊角互化，正確分析銳角三角形中角的范圍是解題的關(guān)鍵.58．（2023·高一單元測(cè)試）設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知．(1)求證：B＝2A；(2)求的取值范圍．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析.(2)【分析】（1）利用正弦定理及積化和差得到，結(jié)合角的范圍，得到；（2）利用正弦定理得到，根據(jù)三角形為銳角三角形，得到，，從而求出取值范圍.【詳解】（1），由正弦定理得：，由積化和差公式可得：，因?yàn)?，所以，因?yàn)槿切蜛BC為銳角三角形，故，所以，故，即；（2）由（1）知：，由正弦定理得：，其中，因?yàn)椋?，由得：，由，解得：，結(jié)合可得：，，故在上單調(diào)遞增，所以，即.考點(diǎn)九解三角形在圖形中的應(yīng)用59．（2022春·山東濱州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，，，，的面積為.(1)求AC；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)面積公式可得，再根據(jù)余弦定理求解可得；（2）根據(jù)內(nèi)接四邊形可得，再根據(jù)正弦定理求解即可【詳解】（1）因?yàn)榈拿娣e為，所以.又因?yàn)?，，所?由余弦定理得，，，所以.（2）因?yàn)锳BCD為圓內(nèi)接四邊形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因?yàn)?，所以，所?60．（2022春·湖南邵陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為，，，已知，，°(1)求的值；(2)求sinC的值；(3)若D為邊BC上一點(diǎn)，且cos∠ADC=，求BD的長(zhǎng).【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由余弦定理即可求解.（2）由正弦定理即可求解.（3）作輔助線根據(jù)解直角三角形知識(shí)分別求出DO和BO即可.【詳解】（1）由余弦定理得：＝7∴（2）由正弦定理：得.（3）如圖所示：過(guò)A作AO⊥BC于O，在Rt△ABO中，AB＝，∠B＝300，∴，，在Rt中，=.

∴

∴∴61．（2022春·山東聊城·高一山東聊城一中校考期中）某農(nóng)戶有一個(gè)三角形地塊，如圖所示.該農(nóng)戶想要圍出一塊三角形區(qū)域（點(diǎn)在上）用來(lái)養(yǎng)一些家禽，經(jīng)專業(yè)測(cè)量得到.(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若，求的周長(zhǎng).【答案】(1)4(2)【分析】（1）在中應(yīng)用正弦定理得出的長(zhǎng)；（2）由結(jié)合面積公式得出，再由余弦定理得出，，進(jìn)而得出的周長(zhǎng).【詳解】（1）解：在中，，且，所以.因?yàn)?，，所?在，由正弦定理可得，所以.（2）因?yàn)?，所以，所以，即：，可?在中，由余弦定理可得，所以，解得或（舍去）.因?yàn)?，所?在中，由余弦定理可得所以的周長(zhǎng)為.62．（2022春·福建三明·高一統(tǒng)考期末）如圖，某景區(qū)擬開(kāi)辟一個(gè)平面示意圖為五邊形ABCDE的觀光步行道，BE為電瓶車專用道，，，．(1)求BE的長(zhǎng)；(2)若，求五邊形ABCDE的周長(zhǎng)．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題設(shè)易得，，再在直角△中應(yīng)用勾股定理求BE的長(zhǎng)；（2）利用正弦定理求得且，結(jié)合差角正弦公式及同角平方關(guān)系求，即可求五邊形ABCDE的周長(zhǎng)．【詳解】（1）由，，可得：，，而，故，在直角△中，則.（2）由（1）知：，則，，由且，則，所以.所以五邊形ABCDE的周長(zhǎng).63．（2022春·河南·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，，AB＝8，點(diǎn)D在邊BC上，，CD＝2．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）同角三角函數(shù)關(guān)系可得，再應(yīng)用差角正弦公式求、，進(jìn)而求.（2）應(yīng)用正余弦定理分別求出BC、AC即可得結(jié)果.【詳解】（1）∵，∴，則．所以，所以．（2）在中，由正弦定理得，則BC＝BD＋CD＝5，在中，由余弦定理得，即AC＝7，所以．64．（2022春·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)市第三十一中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，且點(diǎn)在線段上．(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若，，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出的值，求出和，利用正弦定理可求得的長(zhǎng)；（2）由已知可得出，結(jié)合三角形的面積公式以及已知條件可求得、的長(zhǎng)，利用余弦定理可求得的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）解：，，則，，解得，，，，在中，由正弦定理可知得.（2）解：由得，所以，因?yàn)?，，所以，，在中，由余弦定理得，即，得，所以?65．（2022春·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）如圖，扇形的半徑為2，圓心角為．點(diǎn)P在扇形的弧上，點(diǎn)C在半徑上，且，且，D為垂足，設(shè)．(1)若，求的長(zhǎng)；(2)試用θ表示出梯形的面積S，并求S的最大值．【答案】(1)(2)其中，．【分析】（1）首先求出，再利用正弦定理計(jì)算可得；（2）利用正弦定理表示出，再由銳角三角函數(shù)表示出，，再由梯形面積公式、三角恒等變換公式及輔助角公式化簡(jiǎn)，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；(1)解：依題意，則，，，又，由正弦定理，即，解得；(2)解：，，在中，由正弦定理得，即．，又，，所以，其中的最大值為．考點(diǎn)十解三角形的實(shí)際應(yīng)用66．（2023·高一單元測(cè)試）一艘海輪從處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿東偏南方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處．在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是東偏南，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么B、C兩點(diǎn)間的距離是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，畫(huà)出圖形，再利用正弦定理解三角形作答.【詳解】依題意，如圖，在中，，則，由正弦定理得，即，因此（海里），所以兩點(diǎn)間的距離是海里．故選：A67．（2022春·云南·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，要在兩山頂間建一索道，需測(cè)量?jī)缮巾旈g的距離.現(xiàn)選擇與山腳在同一平面的點(diǎn)為觀測(cè)點(diǎn)，從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角點(diǎn)的仰角以及，若米，米，則等于__________米.【答案】【分析】在中根據(jù)求出，在中根據(jù)求出，在中由余弦定理得：求解.【詳解】在中，，所以，在中，，，所以，在中，，，，由余弦定理得：所以(米).故答案為：.68．（2022·全國(guó)·高一期中）如圖，為測(cè)量山高，選擇和另一座山的山頂為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角點(diǎn)的仰角以及；從點(diǎn)測(cè)得，已知山高，則山高_(dá)_______.【答案】【分析】通過(guò)直角可先求出的值，在由正弦定理可求的值，在中，由，，從而可求得的值．【詳解】在中，，，所以．在中，，，從而，由正弦定理得，，因此．在中，，，得．故答案為：．69．（2023秋·云南楚雄·高一統(tǒng)考期末）某地區(qū)組織的貿(mào)易會(huì)現(xiàn)場(chǎng)有一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形展廳，分別在和邊上，圖中區(qū)域?yàn)樾菹^(qū)，，及區(qū)域?yàn)檎褂[區(qū)．(1)若的周長(zhǎng)為，求的大??；(2)若，請(qǐng)給出具體的修建方案，使得展覽區(qū)的面積最大，并求出最大值．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，展覽區(qū)的面積最大，最大值為【分析】（1）設(shè)，，根據(jù)的周長(zhǎng)為可得滿足的關(guān)系式，利用兩角和差正切公式可求得，進(jìn)而確定的值；（2）設(shè)，利用表示出，并結(jié)合三角恒等變換知識(shí)將化簡(jiǎn)為，根據(jù)正弦型函數(shù)的最值可確定及此時(shí)的取值，由此可得展覽區(qū)面積最大值.【詳解】（1）設(shè)，，則，，又的周長(zhǎng)為，，則，整理可得：，，因?yàn)?，．?）設(shè)，則，，，在中，邊上的高為，，則當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)取得最小值，則當(dāng)時(shí)，展覽區(qū)的面積最大，最大值為.70．（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中學(xué)?？计谀榱擞觼嗊\(yùn)會(huì)，濱江區(qū)決定改造一個(gè)公園，準(zhǔn)備在道路AB的一側(cè)建一個(gè)四邊形