第12講向量的坐標表示（講義）原卷版

第12講向量的坐標表示運算性質(zhì)及重要結(jié)論(1)平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這個平面內(nèi)任一向量，有且只有一對實數(shù)，使，稱為的線性組合．)(2)兩個向量平行的充要條件符號語言：坐標語言為：設非零向量，則∥(x1，y1)=(x2，y2)，或x1y2x2y1=0．(3)兩個向量垂直的充要條件符號語言：坐標語言：設非零向量，則(4)兩個向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：①即(求線段的長度)；②(垂直的判斷)；③(求角度)．與的夾角為銳角等價于且與的夾角為鈍角等價于且例題解析1、平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角思考1已知兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎樣用a與b的坐標表示a·b?思考2若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2，這就是平面向量數(shù)量積的坐標表示．你能用文字描述這一結(jié)論嗎？例1．（2021·浙江高一期末）若向量，，則（）A． B． C． D．例2．（2021·遼寧沈陽市·高一期末）已知向量，，若，則（）A．12 B．12 C．3 D．3例3．（2019·福建省福州格致中學高一期末）已知向量，，若，則實數(shù)的值為（）A．0或3 B．或0 C．3 D．例4．已知向量，，若，則（）A．1 B．0 C． D．例5．（2019·全國高一專題練習）在△ABC中，，，則=A． B． C． D．例6．已知向量，則與（）A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向 D．平行且反向例7．（2020·武漢外國語學校高一期中）已知向量，且，則實數(shù)（）A． B． C． D．8例8．（2021·天津南開中學高一月考）已知向量，若向量，則可能是（）A． B． C． D．例9．（2021·恩施市第一中學高一月考）已知點D是所在平面上一點，且滿足，則（）A． B． C． D．例10．（2021·天津市薊州區(qū)擂鼓臺中學高一月考）=（1，2），=（2，1），滿足與向量+平行的一個向量是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（1，3） D．（6，2）例11．（2021·浙江高一期末）在四邊形中，，設為線段的中點，為線段上靠近的三等分點，，，則向量（）A． B．C． D．例12．（2021·臨澧縣第一中學高一月考）設向量，且，則（）A．0 B．1 C．2 D．3例13．（2021·遼寧遼陽市·高一期末）已知，，且C與A關于點B對稱，則C的坐標為________．例14．（2021·天津市薊州區(qū)擂鼓臺中學高一月考）已知=（2，3），=（2,4），向量在上的投影向量____________；例15．（2021·天津市薊州區(qū)擂鼓臺中學高一月考）已知，則與向量垂直的單位向量__________.例16．（2021·臨澧縣第一中學高一月考）已知平面向量，若，則__________.例17．（2021·湖北襄陽市·高一月考）已知向量，，若，則___________．例18．（2021·湖南高一月考）已知向量，，.（1）求向量與夾角的正切值；（2）若，求的值.例19．（2021·浙江高一期末）已知向量，．（1）若與平行，求的值；（2）若與垂直，求的值．例20．（2021·天津市薊州區(qū)擂鼓臺中學高一月考）平面內(nèi)給定三個向量，，，（1）若以，為基底，用該基底表示向量；（2）若，求實數(shù)；（3）若，求實數(shù).例21.已知a與b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐標；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.例22.已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分別確定實數(shù)λ的取值范圍，使得：(1)a與b的夾角為直角；(2)a與b的夾角為鈍角；(3)a與b的夾角為銳角．例23.已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD為BC邊上的高，求|eq\o(AD,\s\up6(→))|與點D的坐標．例24.已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)(0<α<β<π)．(1)求證：a＋b與a－b互相垂直；(2)若ka＋b與a－kb的模相等，求β－α.(其中k為非零實數(shù))例25.在中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，k)，若是直角三角形，求k的值．【鞏固訓練】1．若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，則(a·b)·c＝____________；a·(b·c)＝____________.2．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a與b的夾角α為鈍角，求λ的取值范圍．3．以原點和A(5,2)為兩個頂點作等腰直角△OAB，∠B＝90°，求點B和eq\o(AB,\s\up6(→))的坐標．4．平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m＝_____.5．設e1，e2為單位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R，若e1，e2的夾角為eq\f(π,6)，則eq\f(|x|,|b|)的最大值等于________.6．在平面直角坐標系xOy中，點A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1).(1)求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；(2)設實數(shù)t滿足(eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，求t的值.2、平面向量數(shù)量積的綜合應用需要熟練掌握向量數(shù)量積四種常見方法：①向量的分解（定義）：乘法的運算，經(jīng)常無法直接運算，需要我們要善于利用向量的加減法，將相關向量分解為圖形中模和夾角已知的向量進行計算．（通常選好基向量很重要）②坐標法：建立坐標系，通過坐標運算求解．③數(shù)量積幾何意義：（常應用于兩個向量相乘有已知一個向量長度）④極化恒等式：是特殊的向量的分解（將向量分解為對角線上的數(shù)量關系，應用于知道對角線的長度的兩個向量數(shù)量積）其中D為BC的中點，也可以理解為對角線的交點證明：方法一：方法二：例1.如圖，BC、DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，則eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))等于()A．－eq\f(3,4) B．－eq\f(8,9) C．－eq\f(1,4) D．－eq\f(4,9)例2.已知點G是△ABC的重心，若∠A＝120°，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－2，則|eq\o(AG,\s\up6(→))|的最小值是________．例3已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的值為________；eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))的最大值為________．例4.在△ABC中，如圖，若|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，AB＝2，AC＝1，E，F(xiàn)為BC邊的三等分點，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))等于()A.eq\f(8,9) B.eq\f(10,9) C.eq\f(25,9) D.eq\f(26,9)例5.如圖，已知△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，點P在線段BC上運動，且滿足eq\o(CP,\s\up6(→))＝λeq\o(CB,\s\up6(→))，當eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))取到最小值時，λ的值為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,8)例6.線段的長度為2，點分別在非負半軸和非負半軸上滑動，以線段為一邊，在第一象限內(nèi)作矩形（順時針排序），，設為坐標原點，則的取值范圍是.【鞏固訓練】1．[莘莊中學等四校高二11月聯(lián)考·9]如圖，在梯形中，，，，點是邊上一動點，則的最大值為．82．如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))的值是_____．3．[格致中學高二期中·9][上海中學16]如圖，在圓O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，則·的值是__________.4．等腰直角三角形ABC中，A＝eq\f(π,2)，AB＝AC＝2，M是BC的中點，P點在△ABC內(nèi)部或其邊界上運動，則eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))的取值范圍是()A．[－1,0] B．[1,2] C．[－2，－1] D．[－2,0]5．已知△ABC中，eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))，|eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2，且B∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))，則eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的取值范圍是________．6．[上海中學高二上期中·11]平面向量，，滿足，，，，則的最小值為．反思總結(jié)1．向量的坐標表示簡化了向量數(shù)量積的運算．為利用向量法解決平面幾何問題以及解析幾何問題提供了完美的理論依據(jù)和有力的工具支持．2．應用數(shù)量積運算可以解決兩向量的垂直、平行、夾角以及長度等幾何問題，在學習中要不斷地提高利用向量工具解決數(shù)學問題的能力．3．注意區(qū)分兩向量平行與垂直的坐標形式，二者不能混淆，可以對比學習、記憶．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．則a∥b?x1y2－x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.課堂練習1．已知向量a，b的夾角為120°，|a|＝1，|b|＝5，則|3a－b|等于()A．7 B．6 C．5 D．42．在邊長為1的等邊△ABC中，設eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，則a·b＋b·c＋c·a等于()A．－eq\f(3,2) B．0 C.eq\f(3,2) D．33．設a＝(2，x)，b＝(－4,5)，若a與b的夾角θ為鈍角，則x的取值范圍是________．4．已知點A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))方向上的投影為________．5．[位育中學期末·16]已知向量，，對任意的，恒有，則()A． B． C． D．6．已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的取值范圍________．7．在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點．若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝1，則AB的長為________．8．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為120°，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2.若Aeq\o(P,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，則實數(shù)λ的值為________．9.[位育中學期末·12]給定平面上四點滿足，則面積的最大值為．10．[位育中學期中·12]設是平面內(nèi)互不平行的三個向量，，有下列命題：

①方程不可能有兩個不同的實數(shù)解；

②方程有實數(shù)解的充要條