專題41條件概率-《2023年高考數(shù)學(xué)命題熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展》

專題41條件概率【熱點(diǎn)聚焦】（1）考查條件概率的計(jì)算；（2）考查獨(dú)立事件概率的計(jì)算；（3）考查全概率公式及其應(yīng)用；（4）以選擇題、填空題的形式，綜合考查概率計(jì)算問題.【重點(diǎn)知識回眸】（一）條件概率1．條件概率定義一般地，當(dāng)事件B發(fā)生的概率大于0時(shí)(即P(B)＞0)，已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為事件概率表示P(A|B)計(jì)算公式P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB)2．條件概率的性質(zhì)(1)0≤P(B|A)≤1；(2)P(A|A)＝1；(3)如果B與C互斥，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．3．【兩點(diǎn)說明】（1）如果知道事件A發(fā)生會影響事件B發(fā)生的概率，那么P(B)≠P(B|A)；（2）已知A發(fā)生，在此條件下B發(fā)生，相當(dāng)于AB發(fā)生，要求P(B|A)，相當(dāng)于把A看作新的基本事件空間計(jì)算AB發(fā)生的概率，即P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(\f(nAB,nΩ),\f(nA,nΩ))＝eq\f(PAB,PA).（二）事件的獨(dú)立性1.事件的相互獨(dú)立性(1)定義：設(shè)A，B為兩個事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立．(2)性質(zhì)：①若事件A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)．②如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也相互獨(dú)立．2.事件的獨(dú)立性(1)事件A與B相互獨(dú)立的充要條件是P(AB)＝P(A)P(B)．(2)當(dāng)P(B)＞0時(shí)，A與B獨(dú)立的充要條件是P(A|B)＝P(A)．（3）如果P(A)＞0，A與B獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)成立．P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(PAPB,PA)＝P(B)．3.牢記并理解事件中常見詞語的含義(1)A，B中至少有一個發(fā)生的事件為A∪B；(2)A，B都發(fā)生的事件為AB；(3)A，B都不發(fā)生的事件為eq\o(\x\to(A))eq\o(\x\to(B))；(4)A，B恰有一個發(fā)生的事件為Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B；(5)A，B至多一個發(fā)生的事件為Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B∪eq\o(\x\to(A))eq\o(\x\to(B)).（三）全概率公式1．全概率公式(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))；(2)定理1若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：①任意兩個事件均互斥，即AiAj＝?，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.則對Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝eq\o(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PBAi)＝eq\o(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PAiPB|Ai).2．貝葉斯公式(1)一般地，當(dāng)0＜P(A)＜1且P(B)＞0時(shí)，有P(A|B)＝eq\f(PAPB|A,PB)＝eq\f(PAPB|A,PAPB|A＋P\o(A,\s\up6(－))PB|\o(A,\s\up6(－))).(2)定理2若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：①任意兩個事件均互斥，即AiAj＝?，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.則對Ω中的任意概率非零的事件B，有P(Aj|B)＝eq\f(PAjPB|Aj,PB)＝eq\o(\f(PAjPB|Aj,\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PAiPB|Ai)).【拓展】貝葉斯公式充分體現(xiàn)了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))，P(AB)之間的轉(zhuǎn)化．即P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))之間的內(nèi)在聯(lián)系．【典型考題解析】熱點(diǎn)一條件概率【典例1】（2014·全國·高考真題（理））某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45【答案】A【詳解】記“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，“第二天空氣質(zhì)量也為優(yōu)良”，由題意可知,所以，故選A.【典例2】（2022·湖南永州·一模）現(xiàn)有甲?乙?丙?丁四個人到九嶷山?陽明山?云冰山?舜皇山4處景點(diǎn)旅游，每人只去一處景點(diǎn)，設(shè)事件為“4個人去的景點(diǎn)各不相同”，事件為“只有甲去了九嶷山”，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意，根據(jù)條件概率的公式，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，可得答案.【詳解】由題意，4人去4個不同的景點(diǎn)，總事件數(shù)為，事件的情況數(shù)為，則事件發(fā)生的概率為，事件與事件的交事件為“甲去了九嶷山，另外三人去了另外三個不同的景點(diǎn)”事件的情況數(shù)為，則事件發(fā)生的概率為，即.故選：C.【典例3】（2022·全國·高考真題）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．（?。┳C明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計(jì)值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計(jì)值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)答案見解析(2)（i）證明見解析；(ii)；【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；(2)(i)根據(jù)定義結(jié)合條件概率公式即可完成證明；(ii)根據(jù)（i）結(jié)合已知數(shù)據(jù)求.（1）由已知，又，，所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.（2）(i)因?yàn)椋运裕?ii)由已知，，又，，所以【總結(jié)提升】1.求條件概率的兩種方法(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)，這是求條件概率的通法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).2.判斷所求概率為條件概率的主要依據(jù)是題目中的“已知”“在…前提下(條件下)”等字眼．第3題中沒有出現(xiàn)上述字眼，但已知事件的發(fā)生影響了所求事件的概率，也認(rèn)為是條件概率問題．運(yùn)用P(AB)＝P(B|A)·P(A)，求條件概率的關(guān)鍵是求出P(A)和P(AB)，要注意結(jié)合題目的具體情況進(jìn)行分析．熱點(diǎn)二全概率公式【典例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）一份新高考數(shù)學(xué)試卷中有8道單選題，小胡對其中5道題有思路，3道題完全沒有思路.有思路的題做對的概率是，沒有思路的題只能猜一個答案，猜對答案的概率為，則小胡從這8道題目中隨機(jī)抽取1道做對的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用全概率公式求解即可.【詳解】設(shè)事件表示“考生答對”，設(shè)事件表示“考生選到有思路的題”.則小胡從這8道題目中隨機(jī)抽取1道做對的概率為：故選：C.【典例5】（2022·安徽·蕪湖一中模擬預(yù)測）甲口袋中有3個紅球，2個白球和5個黑球，乙口袋中有3個紅球，3個白球和4個黑球，先從甲口袋中隨機(jī)取出一球放入乙口袋，分別以和表示由甲口袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙口袋中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．事件與事件B相互獨(dú)立C． D．【答案】D【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)題意求出，判斷A選項(xiàng)；B選項(xiàng)，利用全概率公式求出，得到，判斷事件事件與事件B不相互獨(dú)立，得到D選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，利用條件概率公式求解即可.【詳解】由題意得，所以A錯誤；因?yàn)?，，所以，即，故事件事件與事件B不相互獨(dú)立，所以B錯誤，D正確；，所以C錯誤；故選：D【典例6】假定具有癥狀S＝{S1，S2，S3，S4}的疾病有d1，d2，d3三種，現(xiàn)從20000份患有疾病d1，d2，d3的病歷卡中統(tǒng)計(jì)得到下列數(shù)字：疾病人數(shù)出現(xiàn)S癥狀人數(shù)d177507500d252504200d370003500試問當(dāng)一個具有S中癥狀的病人前來要求診斷時(shí)，他患有疾病的可能性是多少？在沒有別的資料可依據(jù)的診斷手段情況下，診斷該病人患有這三種疾病中哪一種較合適？【答案】推測病人患有疾病d1較為合理．【解析】以A表示事件“患有出現(xiàn)S中的某些癥狀”，Di表示事件“患者患有疾病di”(i＝1,2,3)，由于該問題觀察的個數(shù)很多，用事件的頻率作為概率的近似是合適的，由統(tǒng)計(jì)數(shù)字可知P(D1)＝eq\f(7750,20000)＝0.3875，P(D2)＝eq\f(5250,20000)＝0.2625，P(D3)＝eq\f(7000,20000)＝0.35，P(A|D1)＝eq\f(7500,7750)≈0.9677，P(A|D2)＝eq\f(4200,5250)＝0.8，P(A|D3)＝eq\f(3500,7000)＝0.5.從而P(A)＝P(A|D1)P(D1)＋P(A|D2)P(D2)＋P(A|D3)P(D3)＝0.3875×0.9677＋0.2625×0.8＋0.35×0.5≈0.76.由貝葉斯公式得P(D1|A)＝eq\f(PA|D1PD1,PA)＝eq\f(0.3875×0.9677,0.76)≈0.4934，P(D2|A)＝eq\f(PA|D2PD2,PA)＝eq\f(0.2625×0.8,0.76)≈0.2763，P(D3|A)＝eq\f(PA|D3PD3,PA)＝eq\f(0.35×0.5,0.76)≈0.2303，從而推測病人患有疾病d1較為合理．【總結(jié)提升】1．以上三例分別代表全概率公式及其應(yīng)用、貝葉斯公式及其應(yīng)用及全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用.2．利用貝葉斯公式求概率的步驟第一步：利用全概率公式計(jì)算P(A)，即P(A)＝eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)；第二步：計(jì)算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解；第三步：代入P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求解．3.貝葉斯公式實(shí)質(zhì)上是條件概率公式P(Bi|A)＝eq\f(PBiA,PA)，P(BiA)＝P(Bi)·P(A|Bi)，全概率公式P(A)＝eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)的綜合應(yīng)用．4..若隨機(jī)試驗(yàn)可以看成分兩個階段進(jìn)行，且第一階段的各試驗(yàn)結(jié)果具體結(jié)果怎樣未知，那么：（1）如果要求的是第二階段某一個結(jié)果發(fā)生的概率，則用全概率公式；（2）如果第二個階段的某一個結(jié)果是已知的，要求的是此結(jié)果為第一階段某一個結(jié)果所引起的概率，一般用貝葉斯公式，類似于求條件概率，熟記這個特征，在遇到相關(guān)的題目時(shí)，可以準(zhǔn)確地選擇方法進(jìn)行計(jì)算，保證解題的正確高效.【提醒】1.全概率公式P(B)＝eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)在解題中體現(xiàn)了化整為零的轉(zhuǎn)化化歸思想．2．貝葉斯概率公式反映了條件概率P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)，全概率公式P(A)＝eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)及乘法公式P(AB)＝P(B)P(A|B)之間的關(guān)系．即P(Bj|A)＝eq\f(PBjA,PA)＝eq\f(PBjPA|Bj,PA)＝eq\f(PBjPA|Bj,\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PBiPA|Bi).熱點(diǎn)三獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系【典例7】判斷下列各對事件是否是相互獨(dú)立事件．(1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生．現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”；(2)容器內(nèi)盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球，“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的還是白球”；(3)擲一顆骰子一次，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”．【答案】見解析【解析】(1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生，對“從乙組中選出1名女生”這一事件發(fā)生的概率沒有影響，所以它們是相互獨(dú)立事件．(2)“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”的概率為eq\f(5,8)，若這一事件發(fā)生了，則“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的仍是白球”的概率為eq\f(4,7)；若前一事件沒有發(fā)生，則后一事件發(fā)生的概率為eq\f(5,7)，可見，前一事件是否發(fā)生，對后一事件發(fā)生的概率有影響，所以二者不是相互獨(dú)立事件．(3)法一：記A：出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，B：出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)，則A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，∴P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(A∩B)＝eq\f(1,6).∴P(A∩B)＝P(A)·P(B)，∴事件A與B相互獨(dú)立．法二：由法一可知P(B|A)＝eq\f(1,3)，又P(B)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，∴P(B|A)＝P(B)，∴事件A與B相互獨(dú)立．【典例8】面對某種流感病毒，各國醫(yī)療科研機(jī)構(gòu)都在研究疫苗，現(xiàn)有A，B，C三個獨(dú)立的研究機(jī)構(gòu)在一定的時(shí)期內(nèi)能研制出疫苗的概率分別是eq\f(1,5)，eq\f(1,4)，eq\f(1,3).求：(1)他們都研制出疫苗的概率；(2)他們都失敗的概率；(3)他們能夠研制出疫苗的概率．【答案】【解析】令事件A，B，C分別表示A，B，C三個獨(dú)立的研究機(jī)構(gòu)在一定時(shí)期內(nèi)成功研制出該疫苗，依題意可知，事件A，B，C相互獨(dú)立，且P(A)＝eq\f(1,5)，P(B)＝eq\f(1,4)，P(C)＝eq\f(1,3).(1)他們都研制出疫苗，即事件A，B，C同時(shí)發(fā)生，故P(A∩B∩C)＝P(A)P(B)P(C)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,60).(2)他們都失敗即事件eq\o(\x\to(A))，eq\o(\x\to(B))，eq\o(\x\to(C))同時(shí)發(fā)生，故P(eq\o(\x\to(A))∩eq\o(\x\to(B))∩eq\o(\x\to(C)))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,5).(3)“他們能研制出疫苗”的對立事件為“他們都失敗”，結(jié)合對立事件間的概率關(guān)系可得所求事件的概率P＝1－P(eq\o(\x\to(A))∩eq\o(\x\to(B))∩eq\o(\x\to(C)))＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).【典例9】（2023·全國·高三專題練習(xí)）甲?乙兩人組成“星隊(duì)”參加趣味知識競賽.比賽分兩輪進(jìn)行，每輪比賽答一道趣味題.在第一輪比賽中，答對題者得2分，答錯題者得0分；在第二輪比賽中，答對題者得3分，答錯題者得0分.已知甲?乙兩人在第一輪比賽中答對題的概率都為p，在第二輪比賽中答對題的概率都為q.且在兩輪比賽中答對與否互不影響.設(shè)定甲?乙兩人先進(jìn)行第一輪比賽，然后進(jìn)行第二輪比賽，甲?乙兩人的得分之和為“星隊(duì)”總得分.已知在一次比賽中甲得2分的概率為，乙得5分的概率為.(1)求p，q的值；(2)求“星隊(duì)”在一次比賽中的總得分為5分的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)甲得2分的概率為，乙得5分的概率為，結(jié)合概率的公式求解即可；（2）設(shè)分別表示在一次比賽中甲得分的事件，分別表示在一次比賽中乙得分的事件，根據(jù)題意可得所有可能的情況為，再計(jì)算即可（1）設(shè)分別表示在一次比賽中甲得分的事件，分別表示在一次比賽中乙得分的事件.因?yàn)樵谝淮伪荣愔屑椎?分的概率為，乙得5分的概率為，所以，即，解得.（2）由已知得，，，，設(shè)為“6星隊(duì)'在一次比賽中的總得分為5分"，則，則，所以“星隊(duì)”在一次比賽中的總得分為5分的概率是.【規(guī)律方法】1.判斷事件是否相互獨(dú)立的方法（1）定義法：事件A，B相互獨(dú)立?P(A∩B)＝P(A)·P(B)．（2）由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響．（3）條件概率法：當(dāng)P(A)>0時(shí)，可用P(B|A)＝P(B)判斷．2.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟(1)首先確定各事件之間是相互獨(dú)立的；(2)確定這些事件可以同時(shí)發(fā)生；(3)求出每個事件的概率，再求積．3.使用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式時(shí)，要掌握公式的適用條件，即各個事件是相互獨(dú)立的，而且它們能同時(shí)發(fā)生．4．求復(fù)雜事件的概率一般可分三步進(jìn)行(1)列出題中涉及的各個事件，并用適當(dāng)?shù)姆柋硎舅鼈儯?2)理清各事件之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)赜檬录g的“并”“交”表示所求事件；(3)根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確地運(yùn)用概率公式進(jìn)行計(jì)算．5.計(jì)算事件同時(shí)發(fā)生的概率常用直接法，當(dāng)遇到“至少”“至多”問題可以考慮間接法．【精選精練】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若將整個樣本空間想象成一個邊長為1的正方形，任何事件都對應(yīng)樣本空間的一個子集，且事件發(fā)生的概率對應(yīng)子集的面積．則如圖所示的陰影部分的面積表示（

）A．事件A發(fā)生的概率 B．事件B發(fā)生的概率C．事件B不發(fā)生條件下事件A發(fā)生的概率 D．事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率【答案】A【分析】理解條件概率和的含義，可得陰影部分面積表示的含義.【詳解】由題意可知：表示在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，表示在事件B不發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，結(jié)合在一塊就是事件A發(fā)生的概率.故選：A.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）2021年5月15日，我國首次火星探測任務(wù)天問一號探測器在火星烏托邦平原南部預(yù)選著陸區(qū)著陸，在火星上首次留下中國印跡，極大地鼓舞了天文愛好者探索宇宙奧秘的熱情．某校航天科技小組決定從甲、乙等6名同學(xué)中選出4名同學(xué)參加該市舉行的“我愛火星”知識競賽，已知甲同學(xué)被選出，則乙同學(xué)也被選出的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件概率公式和古典概型概率公式直接計(jì)算即可.【詳解】設(shè)“甲同學(xué)被選出”記為事件A，“乙同學(xué)被選出”記為事件，則，則在甲同學(xué)被選出的情況下，乙同學(xué)也被選出的概率．故選：A．3．（2022·河南省上蔡第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)（文））一個質(zhì)地均勻的正八面體，八個面上分別標(biāo)有數(shù)字.任意拋擲一次這個正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間.已知事件“與地面接觸的面上的數(shù)字不大于4”，“與地面接觸的面上的數(shù)字為偶數(shù)”，“與地面接觸的面上的數(shù)字為質(zhì)數(shù)”，有以下說法：①相互獨(dú)立；②相互獨(dú)立；③；④.其中正確說法的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】分別寫出包含的樣本空間，根據(jù)相互獨(dú)立事件滿足的乘法公式，即可判斷ABC選項(xiàng)，根據(jù)條件概率的公式可求解D.【詳解】由題意可得，,即得，，所以,，故①③④正確，②錯誤.故選：C4．（2022·河南省上蔡第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)（文））閱讀不僅可以開闊視野，還可以提升語言表達(dá)和寫作能力.某校全體學(xué)生參加的期末過程性評價(jià)中大約有的學(xué)生寫作能力被評為優(yōu)秀等級.經(jīng)調(diào)查知，該校大約有的學(xué)生每天閱讀時(shí)間超過小時(shí)，這些學(xué)生中寫作能力被評為優(yōu)秀等級的占.現(xiàn)從每天閱讀時(shí)間不超過小時(shí)的學(xué)生中隨機(jī)抽查一名，該生寫作能力被評為優(yōu)秀等級的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用全概率公式可構(gòu)造方程求得所求概率.【詳解】設(shè)寫作能力被評為優(yōu)秀等級為事件，每天閱讀時(shí)間超過小時(shí)為事件，則，，；，，即從每天閱讀時(shí)間不超過小時(shí)的學(xué)生中隨機(jī)抽查一名，該生寫作能力被評為優(yōu)秀等級的概率為.故選：B.5．（2022·湖南湘潭·高三開學(xué)考試）設(shè)某芯片制造廠有甲、乙兩條生產(chǎn)線均生產(chǎn)規(guī)格的芯片，現(xiàn)有20塊該規(guī)格的芯片，其中甲、乙生產(chǎn)的芯片分別為12塊，8塊，且乙生產(chǎn)該芯片的次品率為，現(xiàn)從這20塊芯片中任取一塊芯片，若取得芯片的次品率為，則甲廠生產(chǎn)該芯片的次品率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先設(shè)分別表示取得的這塊芯片是由甲廠、乙廠生產(chǎn)的，B表示取得的芯片為次品，甲廠生產(chǎn)該芯片的次品率為，得到則，，，，再利用全概率公式求解即可.【詳解】設(shè)分別表示取得的這塊芯片是由甲廠、乙廠生產(chǎn)的，B表示取得的芯片為次品，甲廠生產(chǎn)該芯片的次品率為，則，，，，則由全概率公式得：，解得，故選：B．6．（2011·遼寧·高考真題（理））從中任取個不同的數(shù)，事件“取到的個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件“取到兩個數(shù)均為偶數(shù)”，則A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得和的值，然后利用條件概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求的概率.【詳解】依題意,,故.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查條件概型的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7．（2022·湖南益陽·模擬預(yù)測）有臺車床加工同一型號的零件，第臺加工的次品率為，第，臺加工的次品率均為，加工出來的零件混放在一起，第，，臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，隨機(jī)取一個零件，記“零件為次品”，“零件為第臺車床加工”，則下列結(jié)論：①，②，③，④其中正確的有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】由全概率公式和條件概率依次判斷4個結(jié)論即可.【詳解】因?yàn)?，故①正確；因?yàn)?，故②正確；因?yàn)?，，所以，故③正確；由上可得，又因?yàn)?，故④錯誤．正確的有3個.故選：C.8．（2022·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）從裝有個紅球和個藍(lán)球的袋中(，均不小于2)，每次不放回地隨機(jī)摸出一球.記“第一次摸球時(shí)摸到紅球”為，“第一次摸球時(shí)摸到藍(lán)球”為；“第二次摸球時(shí)摸到紅球”為，“第二次摸球時(shí)摸到藍(lán)球”為，則下列說法錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合已知條件分別求出，，，可判斷A和C是否錯誤；然后利用條件概率分別計(jì)算，，可判斷B和D是否錯誤.【詳解】由題意可知，，，，，從而，故AC正確；又因?yàn)椋?，故B正確；，故，故D錯誤.故選：D.二、多選題9．（2021·福建省福州第一中學(xué)高三開學(xué)考試）甲箱中有個紅球，個白球和個黑球；乙箱中有個紅球，個白球和個黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，分別以表示由甲箱中取出的是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．事件與事件不相互獨(dú)立 D．兩兩互斥【答案】BD【分析】根據(jù)的意義可求其概率，從而可判斷B的正誤，根據(jù)全概率公式可計(jì)算，故可判斷A的正誤，根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式和互斥事件的定義可判斷CD的正誤.【詳解】，又，故B正確.故，故A錯誤.，故，所以事件與事件不相互獨(dú)立，根據(jù)互斥事件的定義可得兩兩互斥，故選：BD.10．（2022·吉林·東北師大附中高三開學(xué)考試）甲盒中有2個紅球和4個白球，乙盒中有3個紅球和3個白球，現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)取出一球放入乙盒，記事件A=“甲盒中取出的是紅球”，B=“甲盒中取出的是白球”，再從乙盒中隨機(jī)取一個球，記M=“乙盒中取出的是紅球”，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】先利用條件概率求出，，即可判斷選項(xiàng)C、D；再求出，即可判斷A、B.【詳解】由題意分析可知：，故C正確；，故D錯誤；所以.故A正確，B錯誤.故選：AC11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）同時(shí)拋擲兩個質(zhì)地均勻的四面分別標(biāo)有1，2，3，4的正四面體一次，記事件A表示“第一個四面體向下的一面出現(xiàn)偶數(shù)”，事件B表示“第二個四面體向下的一面出現(xiàn)奇數(shù)”，事件C表示“兩個四面體向下的一面同時(shí)出現(xiàn)奇數(shù)或者同時(shí)出現(xiàn)偶數(shù)”，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由相互獨(dú)立事件的乘法公式可判斷A、C、D；由條件概率公式可判斷B；【詳解】由題意，，，,故A正確．所以，，所以，故B正確．事件A，B，C不可能同時(shí)發(fā)生，故，故C錯誤；，故D錯誤．故選：AB．12．（2022·江蘇南通·高三開學(xué)考試）某校團(tuán)委組織“喜迎二十大、永遠(yuǎn)跟黨走、奮進(jìn)新征程”學(xué)生書畫作品比賽，經(jīng)評審，評出一、二、三等獎作品若干（一、二等獎作品數(shù)相等），其中男生作品分別占，，，現(xiàn)從獲獎作品中任取一件，記“取出一等獎作品”為事件，“取出男生作品”為事件，若，則（

）A． B．一等獎與三等獎的作品數(shù)之比為C． D．【答案】ABD【分析】依題意設(shè)一、二等獎作品有件，三等獎作品有件，即可表示男、女生獲一、二、三等獎的作品數(shù)，再根據(jù)求出與的關(guān)系，從而一一判斷即可.【詳解】解：設(shè)一、二等獎作品有件，三等獎作品有件，則男生獲一、二、三等獎的作品數(shù)為、、，女生獲一、二、三等獎的作品數(shù)為、、，因?yàn)?，所以，所以，故A正確；，故C錯誤；一等獎與三等獎的作品數(shù)之比為，故B正確；，故D正確；故選：ABD三、填空題13．（2022·上海嘉定·高三階段練習(xí)）已知，則___________.【答案】【分析】根據(jù)條件概率得到事件A與事件B相互獨(dú)立，進(jìn)而得到其對立事件也相互獨(dú)立，從而利用對立事件概率公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以事件A與事件B相互獨(dú)立，則事件與事件也相互獨(dú)立，則.故答案為：.14．（2022·黑龍江哈爾濱·高三開學(xué)考試）盒子中有大小形狀相同的7個小球，其中有4個白球，3個黑球，先隨機(jī)從盒子中取出兩個小球，再從該盒中取出一個小球，則最后取出的小球?yàn)榘浊虻母怕适莀_____．【答案】【分析】由全概率公式求解【詳解】記為先取出的兩個小球都為白球，為先取出的兩個小球?yàn)橐话滓缓?，為先取出的兩個小球都為黑球，為最后取出的小球?yàn)榘浊?，則故答案為：15．（2022·天津·高考真題）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為____________；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為____________【答案】

【分析】由題意結(jié)合概率的乘法公式可得兩次都抽到A的概率，再由條件概率的公式即可求得在第一次抽到A的條件下，第二次抽到A的概率.【詳解】由題意，設(shè)第一次抽到A的事件為B,第二次抽到A的事件為C,則.故答案為：；.16．（2022·陜西·寶雞市陳倉高級中學(xué)高三開學(xué)考試（理））2022年高考結(jié)束后小明與小華兩位同學(xué)計(jì)劃去老年公寓參加志愿者活動.小明在如圖的街道E處，小華在如圖的街道F處，老年公寓位于如圖的G處，則下列說法正確的是______（填序號）①小華到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為4條②小明到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為35條③小明到老年公寓在選擇的最短路徑中，與到F處和小華會合一起到老年公寓的概率為④小明與小華到老年公寓在選擇的最短路徑中，兩人并約定在老年公寓門口匯合，事件A：小明經(jīng)過F，事件B：從F到老年公寓兩人的路徑?jīng)]有重疊部分（路口除外），則【答案】②③【分析】根據(jù)起點(diǎn)走向終點(diǎn)所需要向上、向右走的總步數(shù)，并確定向上或向右各走的步數(shù)，則最短路徑的走法有，再利用古典概型的概率公及條件概率的求法，求小明到處和小華會合一起到老年公寓的概率，小明經(jīng)過且從到老年公寓兩人的路徑?jīng)]有重疊的概率即可.【詳解】由圖可知，要使小華、小明到老年公寓的路徑最短，則只能向上、向右移動，而不能向下、向左移動，對于①，小華到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小走3步，其中1步向上，所以最短路徑的條數(shù)為條，所以①錯誤，對于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小共走7步，其中3步向上，最短路徑的條數(shù)為條，所以②正確，對于③，小明到的最短路徑走法有條，再從處和小華一起到老年公寓的路徑最短有3條，而小明到老年公寓共有35條，所以到處和小華會合一起到老年公寓的概率為，所以③正確，對于④，由題意可知：事件的走法有18條，即，事件，所以，所以④錯誤，故答案為：②③四、解答題17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)某種燈管使用了500h還能繼續(xù)使用的概率是0.94，使用到700h后還能繼續(xù)使用的概率是0.87，問已經(jīng)使用了500h的燈管還能繼續(xù)使用到700h的概率是多少？【答案】【分析】設(shè)事件表示某種燈管使用了，事件表示某種燈管使用了，則，，利用條件概率的計(jì)算公式能求出使用了的燈管還能繼續(xù)使用到的概率．【詳解】解：設(shè)A＝“能使用到500h”，B＝“能使用到700h”，則，．而所求的概率為，由于，故．故答案為：.18．（2022·廣東·東莞四中高三階段練習(xí)）某品牌汽車廠今年計(jì)劃生產(chǎn)10萬輛轎車，生產(chǎn)每輛轎車都需要安裝一個配件M，其中由本廠自主生產(chǎn)的配件M可以滿足20%的生產(chǎn)需要，其余的要向甲?乙兩個配件廠家訂購.已知本廠生產(chǎn)配件M的成本為500元/件，從甲?乙兩廠訂購配件M的成本分別為600元/件和800元/件，該汽車廠計(jì)劃將每輛轎車使用配件M的平均成本控制為640元/件.(1)分別求該汽車廠需要從甲廠和乙廠訂購配件M的數(shù)量；(2)已知甲廠?乙廠和本廠自主生產(chǎn)的配件M的次品率分別為4%，2%和1%，求該廠生產(chǎn)的一輛轎車使用的配件M是次品的概率.【答案】(1)5萬個，3萬個(2)0.028【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合加權(quán)平權(quán)平均數(shù)運(yùn)算求解；（2）根據(jù)全概率公式運(yùn)算求解．（1）設(shè)使用甲廠生產(chǎn)的配件M的比例為a，則使用乙廠生產(chǎn)的配件M的比例為，由已知可得，解得a=0.5.所以需要從甲廠訂購配件M的數(shù)量為100.5=5萬個；從乙廠訂購配件M的數(shù)量為=3萬個.（2）由（1）知甲廠?乙廠和本廠自主生產(chǎn)的配件M的比例分別為0.5，0.3，0.2，所以該汽車廠使用的配件M的次品率的估計(jì)值為，所以該廠生產(chǎn)的一輛轎車使用的配件M是次品的概率為0.028.19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知箱中有5個大小相同的產(chǎn)品，其中3個正品，2個次品，每次從箱中取1個，不放回的取兩次，求：(1)第一次取到正品的概率；(2)在第一次取到正品的條件下