專題06數(shù)列求和（原卷版）

專題06數(shù)列求和【題型歸納目錄】題型1：公式法題型2：錯位相減法題型3：分組求和法題型4：裂項相消法題型5：倒序相加法題型6：并項求和題型7：數(shù)列奇偶項求和【考點預測】一．公式法（1）等差數(shù)列的前n項和，推導方法：倒序相加法．（2）等比數(shù)列的前n項和，推導方法：乘公比，錯位相減法．（3）一些常見的數(shù)列的前n項和：①；②；③；=4\*GB3④二．幾種數(shù)列求和的常用方法（1）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．（2）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．（3）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，那么求這個數(shù)列的前項和即可用錯位相減法求解．（4）倒序相加法：如果一個數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可用倒序相加法求解．三．常見的裂項技巧積累裂項模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）積累裂項模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）積累裂項模型3：指數(shù)型（1）（2）（3）（4）（5）（6），設，易得，于是（7）積累裂項模型4：對數(shù)型積累裂項模型5：三角型（1）（2）（3）（4），則【典例例題】題型1：公式法例1．已知等差數(shù)列中，，．（1）求的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．例2．（2022·陜西·石泉縣江南高級中學高二期中（文））在數(shù)列中，a1＝1，an＝2an﹣1+n﹣2（n≥2）．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn．例3．（2022·西藏·林芝市第二高級中學高二期中）在等比數(shù)列中，，．(1)求；(2)設，求數(shù)列的前項和．變式1．（2022·上海·高二專題練習）已知等差數(shù)列的前項和為，公差，且，成等比數(shù)列.(1)求公差的值；(2)求.題型2：錯位相減法例4．（2022·陜西·興平市南郊高級中學高二階段練習（文））已知數(shù)列滿足．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和為．例5．（2022·福建·高二期中）已知數(shù)列中，前n項的和為，且(1)求數(shù)列的通項公式；(2)如果恒成立，求最小值.例6．（2022·山西省渾源中學高二階段練習）設是等比數(shù)列，公比不為，已知，且、、成等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)設數(shù)列的前項和為，求；(3)設，為數(shù)列的前項和，求不超過的最大整數(shù)．變式2．（2022·陜西·府谷縣府谷中學高二階段練習（文））已知等差數(shù)列的前項和為，，．等比數(shù)列的各項均不相等，且，．(1)求數(shù)列與的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和．變式3．（2022·浙江大學附屬中學高二期末）對任意非零數(shù)列，定義數(shù)列，其中的通項公式為.(1)若，求；(2)若數(shù)列，滿足且，的前項和為.求證：.題型3：分組求和法例7．（2022·陜西·西安市長安區(qū)第七中學高二階段練習）已知數(shù)列滿足，求該數(shù)列的前項和例8．（2022·廣西·鐘山中學高二階段練習）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，，.(1)求數(shù)列?的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.例9．（2022·全國·高二專題練習）在等差數(shù)列中，已知，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和．變式4．（2022·陜西·漢濱區(qū)五里高級中學高二期中）等差數(shù)列的前項和為，，．(1)求；(2)設，求數(shù)列的前項和．變式5．（2022·福建·莆田第二十五中學高二階段練習）己知等差數(shù)列的前n項和為，滿足，___________.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在上面問題中，并解答.（注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答給分）(1)求的通項公式；(2)設，求的前n項和.變式6．（2022·廣東廣州·高二期末）已知數(shù)列滿足：．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前18項和．題型4：裂項相消法例10．（2022·湖南·安仁縣第一中學高二階段練習）已知數(shù)列中，，當時，，記．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列的前n項和為，證明：．例11．（2022·廣東·饒平縣第二中學高二開學考試）已知等差數(shù)列是公差等于的數(shù)列，等比數(shù)列滿足：，，.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．例12．（2022·江蘇省灌南高級中學高二階段練習）已知等差數(shù)列的前n項和為，．(1)求的通項公式；(2)設數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，求．變式7．（2022·陜西·禮泉縣第二中學高二階段練習）記為數(shù)列的前項和，為數(shù)列的前項和，已知，是與的等比中項.(1)求的通項公式；(2)若，求使得的最大正整數(shù).變式8．（2022·浙江師范大學附屬東陽花園外國語學校高二開學考試）已知數(shù)列滿足，（）.(1)求，的值，并求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.變式9．（2022·河南·新蔡縣第一高級中學高二階段練習（理））已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，，若成等比(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，數(shù)列的前項和，求.題型5：倒序相加法例13．（2022·天津英華國際學校高二階段練習）設數(shù)列的通項公式為，利用等差數(shù)列前項和公式的推導方法，可得數(shù)列的前2020項和為___________.例14．（2022·全國·高二專題練習），且，則數(shù)列的通項公式為________．例15．（2022·全國·高二課時練習）設數(shù)列的通項公式為該數(shù)列的前n項和為，則_________.變式10．（2022·全國·高二單元測試）已知函數(shù)，，正項等比數(shù)列滿足，則等于______．變式11．（2022·全國·高二課時練習）設，利用課本中推導等差數(shù)列前n項和的公式的方法，可求得_________．題型6：并項求和例16．（2022·全國·高三專題練習）數(shù)列滿足，前16項和為540，則__．例17．（2022·貴州黔東南·高二期末（文））已知等差數(shù)列{an}的首項為1，公差d>0，前n項和為Sn，數(shù)列也為等差數(shù)列..(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設數(shù)列的前n項和為Tn，求.例18．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的通項公式為()，其前項和為，則_______.變式12．（2022·江蘇·高郵市第一中學高三階段練習）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前2020項的和為（

）A．0 B．1010 C．2020 D．2024變式13．（2022·河北唐山·一模）已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項和為.（1）求的值；（2）求的最大值.變式14．（2022·江蘇·濱?？h東元高級中學高二階段練習）已知數(shù)列的前項和，數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項和為.(1)求；(2)求的最大值.題型7：數(shù)列奇偶項求和例19．（2022·山東濰坊·高二階段練習）設數(shù)列的前n項和為，且滿足．(1)求；(2)設求數(shù)列的前n項和．例20．（2022·江蘇·蘇州中學高二階段練習）已知數(shù)列是等差數(shù)列，設為數(shù)列的前n項和，數(shù)列是等比數(shù)列，，若．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前2n項和．例21．（2022·浙江·高二期末）設數(shù)列的前項和為，且滿足，是公比等比數(shù)列，且，是的等差中項．（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ