2025版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)36空間幾何體及其表面積體積訓(xùn)練含解析新人教B版

三十六空間幾何體及其表面積、體積(建議用時(shí)：45分鐘)A組全考點(diǎn)鞏固練1．(多選題)下列命題中正確的是()A．由五個(gè)面圍成的多面體可能是四棱錐B．用一個(gè)平面去截棱錐便可得到棱臺(tái)C．僅有一組對(duì)面平行的五面體是棱臺(tái)D．正棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等AD解析：由五個(gè)面圍成的多面體可以是四棱錐、三棱柱或三棱臺(tái)，故A正確；當(dāng)平面與棱錐底面不平行時(shí)，截得的幾何體不是棱臺(tái)，故B錯(cuò)誤；僅有一組對(duì)面平行的五面體也可能是三棱柱，故C錯(cuò)誤；依據(jù)正棱錐的結(jié)構(gòu)特征知，正棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)肯定都相等，故D正確．2．(多選題)如圖，將裝有水的長(zhǎng)方體水槽固定底面一邊后傾斜一個(gè)角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體可以是()A．四棱柱 B．四棱臺(tái)C．三棱柱 D．三棱錐AC解析：依據(jù)題圖，因?yàn)橛兴牟糠质冀K有兩個(gè)平面平行，而其余各面都易證是平行四邊形，因此形成的幾何體是四棱柱或三棱柱．3．(2024·全國(guó)卷Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形態(tài)可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為()A.eq\f(\r(5)－1,4) B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(5)＋1,4) D.eq\f(\r(5)＋1,2)C解析：如圖，設(shè)CD＝a，PE＝b，則PO＝eq\r(PE2－OE2)＝eq\r(b2－\f(a2,4)).由題意知PO2＝eq\f(1,2)ab，即b2－eq\f(a2,4)＝eq\f(1,2)ab，化簡(jiǎn)得4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2－2×eq\f(b,a)－1＝0，解得eq\f(b,a)＝eq\f(1＋\r(5),4)(負(fù)值舍去)．4．(多選題)等腰直角三角形直角邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積可以為()A．eq\r(2)π B．(1＋eq\r(2))πC．2eq\r(2)π D．(2＋eq\r(2))πAB解析：若繞一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，則圓錐的底面半徑為1，高為1，所以母線長(zhǎng)為eq\r(2)，這時(shí)表面積為eq\f(1,2)×2π×1×eq\r(2)＋π·12＝(1＋eq\r(2))π；若繞斜邊一周時(shí)旋轉(zhuǎn)體為L(zhǎng)兩個(gè)倒立圓錐對(duì)底組合在一起，且由題意底面半徑為eq\f(\r(2),2)，一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為1，所以表面積S＝2×eq\f(1,2)×2π×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\r(2)π.綜上所述該幾何體的表面積可以為(1＋eq\r(2))π或eq\r(2)π.5．將半徑為3，圓心角為eq\f(2π,3)的扇形圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為()A．π B．2πC．3π D．4πB解析：半徑為3，圓心角為eq\f(2π,3)的扇形弧長(zhǎng)為2π，故其圍成的圓錐母線長(zhǎng)為3，底面圓周長(zhǎng)為2π，得其底面半徑為1.如圖，MB＝1，AB＝3，所以AM＝2eq\r(2).由△ANO與△AMB相像可得eq\f(ON,BM)＝eq\f(AO,AB)，得ON＝eq\f(\r(2),2)，所以S球＝4π×eq\f(1,2)＝2π.故選B.6．已知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上．若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的eq\f(3,16)，則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為_(kāi)_______．eq\f(1,3)解析：如圖，設(shè)球的半徑為R，圓錐底面半徑為r.由題意得πr2＝eq\f(3,16)×4πR2，所以r2＝eq\f(3,4)R2.依據(jù)球的截面的性質(zhì)可知兩圓錐的高必過(guò)球心O，且兩圓錐的頂點(diǎn)以及圓錐與球的交點(diǎn)是球的大圓上的點(diǎn)，且AB⊥O1C，所以O(shè)O1＝eq\r(R2－r2)＝eq\f(R,2)，因此體積較小的圓錐的高為AO1＝R－eq\f(R,2)＝eq\f(R,2)，體積較大的圓錐的高為BO1＝R＋eq\f(R,2)＝eq\f(3,2)R.故這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為eq\f(1,3).7．有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形(如圖所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為_(kāi)_______．2＋eq\f(\r(2),2)解析：如圖1，在直觀圖中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E.圖1圖2在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝eq\f(\r(2),2).而四邊形AECD為矩形，AD＝1，∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝eq\f(\r(2),2)＋1.由此可還原原圖形如圖2.在原圖形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝eq\f(\r(2),2)＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴這塊菜地的面積S＝eq\f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).8．已知三棱柱ABC－A1B1C1的全部頂點(diǎn)都在球O的球面上，該三棱柱的五個(gè)面所在的平面截球面所得的圓大小相同．若球O6eq\r(3)解析：因?yàn)槿庵鵄BC－A1B1C1的五個(gè)面所在的平面截球面所得的圓的大小相同，所以該三棱柱的底面是等邊三角形．設(shè)三棱柱底面邊長(zhǎng)為a，高為h，截面圓的半徑為r，球半徑為R，所以r＝eq\f(a,\r(3)).因?yàn)榍騉的表面積為20π，所以4πR2＝20π，解得R＝eq\r(5).因?yàn)榈酌婧蛡?cè)面截得的圓的大小相同，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(3))))2.所以a＝eq\r(3)h.①又因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(3))))2＝R2，②由①②得a＝2eq\r(3)，h＝2，所以三棱柱的體積為V＝eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(3))2×2＝6eq\r(3).9．若圓錐的表面積是15π，側(cè)面綻開(kāi)圖的圓心角是60°，求圓錐的體積．解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線為l，則2πr＝eq\f(π,3)l，得l＝6r.又S錐＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝eq\r(\f(15,7)).所以圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(36r2－r2)＝eq\r(35)r＝eq\r(35)×eq\r(\f(15,7))＝5eq\r(3)，圓錐的體積V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×eq\f(15,7)×5eq\r(3)＝eq\f(25\r(3),7)π.10．已知正三棱臺(tái)(上、下底面是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是2cm與4cm，側(cè)棱長(zhǎng)是eq\r(6)cm，試求該幾何體的體積．解：如圖，O′，O分別是上、下底面的中心，連接OO′，O′B′，OB，在平面BOO′B′內(nèi)作B′E⊥OB于點(diǎn)E.△A′B′C′是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，O′是中心，所以O(shè)′B′＝eq\f(2,3)×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(2\r(3),3)(cm)．同理OB＝eq\f(4\r(3),3)cm，則BE＝OB－O′B′＝eq\f(2\r(3),3)(cm)．在Rt△B′EB中，BB′＝eq\r(6)cm，BE＝eq\f(2\r(3),3)cm，所以B′E＝eq\f(\r(42),3)cm，即棱臺(tái)高為eq\f(\r(42),3)cm.所以三棱臺(tái)的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(42),3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)×16＋\f(\r(3),4)×4＋\r(\f(\r(3),4)×16×\f(\r(3),4)×4)))＝eq\f(7\r(14),3)(cm3)．B組新高考培優(yōu)練11．(2024·全國(guó)卷Ⅰ)已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙O1為△ABC的外接圓，若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為()A．64π B．48πC．36π D．32πA解析：設(shè)圓O1的半徑為r，球的半徑為R.依題意，得πr2＝4π，所以r＝2.由正弦定理可得AB＝2rsin60°＝2eq\r(3)，所以O(shè)O1＝AB＝2eq\r(3).依據(jù)圓的截面性質(zhì)OO1⊥平面ABC，所以O(shè)O1⊥O1A，R＝OA＝eq\r(OO\o\al(2,1)＋O1A2)＝eq\r(OO\o\al(2,1)＋r2)＝4，所以球O的表面積S＝4πR2＝64π.12．《算術(shù)書(shū)》竹簡(jiǎn)于二十世紀(jì)八十年頭在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典著，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．該術(shù)相當(dāng)于給出圓錐的底面周長(zhǎng)l與高h(yuǎn)，計(jì)算其體積V的近似公式V＝eq\f(1,36)l2h.它事實(shí)上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取3，那么，近似公式V≈eq\f(25,942)l2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取()A.eq\f(22,7) B.eq\f(25,8)C.eq\f(157,50) D.eq\f(355,113)C解析：V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2π)))2h＝eq\f(1,12π)l2h.由eq\f(1,12π)≈eq\f(25,942)，得π≈eq\f(157,50).故選C.13．某同學(xué)在參與《通用技術(shù)》實(shí)踐課時(shí)，制作了一個(gè)實(shí)心工藝品(如圖所示)．該工藝品可以看成是一個(gè)球體被一個(gè)棱長(zhǎng)為8的正方體的6個(gè)面所截后剩余的部分(球心與正方體的中心重合)．若其中一個(gè)截面圓的周長(zhǎng)為6π，則該球的半徑為_(kāi)_______．現(xiàn)給出定義：球面被平面所截得的一部分叫做球冠．截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高．假如球面的半徑是R，球冠的高是h，那么球冠的表面積計(jì)算公式是S＝2πRh.由此可知，該實(shí)心工藝品的表面積是________．594π解析：設(shè)截面圓半徑為r，球的半徑為R，則球心到某一截面的距離為正方體棱長(zhǎng)的一半，即此距離為4.依據(jù)截面圓的周長(zhǎng)可得6π＝2πr，得r＝3.故R2＝32＋42＝25，得R＝5.如圖，OA＝OB＝R＝5，且OO1＝4，則球冠的高h(yuǎn)＝R－OO1＝1.所截的一個(gè)球冠表面積S＝2πRh＝2π×5×1＝10π，且截面圓面積為π×32＝9π.所以工藝品的表面積S′＝4πR2－6(S－9π)＝100π－6π＝94π.14．(2024·八省聯(lián)考)北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用．刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何探討的重要內(nèi)容．用曲率刻畫(huà)空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制)，多面風(fēng)光 上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和．例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是eq\f(π,3)，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為2π－3×eq\f(π,3)＝π，故其總曲率為4π.(1)求四棱錐的總曲率；(2)若多面體滿意：頂點(diǎn)數(shù)－棱數(shù)＋面數(shù)＝2，證明：這類多面體的總曲率是常數(shù)．(1)