第07講 圓與對(duì)稱性（5種題型）（解析版）

第07講圓與對(duì)稱性（5種題型）1.在探索過(guò)程中認(rèn)識(shí)圓，理解圓的本質(zhì)屬性；2.了解圓及其有關(guān)概念，理解弦、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、同心圓、等圓、等弧等與圓有關(guān)的概念，理解概念之間的區(qū)別和聯(lián)系；一．圓的認(rèn)識(shí)（1）圓的定義定義①：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓．固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合．（2）與圓有關(guān)的概念弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等．連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡(jiǎn)稱弧，圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。?）圓的基本性質(zhì)：①軸對(duì)稱性．②中心對(duì)稱性．二．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r②點(diǎn)P在圓上?d＝r①點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r（2）點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．（3）符號(hào)“?”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．三．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧．四．垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見(jiàn)的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．五．圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．說(shuō)明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．一．圓的認(rèn)識(shí)（共3小題）1．（2022秋?邗江區(qū)校級(jí)月考）已知⊙O的半徑是3cm，則⊙O中最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)是（）A．3cm B．6cm C．1.5cm D．cm【分析】利用圓的直徑為圓中最長(zhǎng)的弦求解．【解答】解：∵圓的直徑為圓中最長(zhǎng)的弦，∴⊙O中最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為2×3＝6（cm）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：熟練掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．2．（2022秋?江陰市校級(jí)月考）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．直徑是圓中最長(zhǎng)的弦 B．半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧 C．面積相等的兩個(gè)圓是等圓 D．半圓是圓中最長(zhǎng)的弧【分析】利用圓的有關(guān)定義和性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【解答】解：A、直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，說(shuō)法正確，不符合題意；B、半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧，說(shuō)法正確，不符合題意；C、面積相等的兩個(gè)圓是等圓，說(shuō)法正確，不符合題意；D、由于半圓小于優(yōu)弧，所以半圓是圓中最長(zhǎng)的弧說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】考查了圓的有關(guān)概念，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)定義及性質(zhì)，難度不大．3．（2022秋?啟東市校級(jí)月考）畫圓時(shí)圓規(guī)兩腳間可叉開(kāi)的距離是圓的（）A．直徑 B．半徑 C．周長(zhǎng) D．面積【分析】畫圓時(shí)，圓規(guī)兩腳分開(kāi)的距離，即圓的半徑，據(jù)此解答即可．【解答】解：畫圓時(shí)圓規(guī)兩腳間可叉開(kāi)的距離是圓的半徑．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的認(rèn)識(shí)，認(rèn)識(shí)平面圖形，解答本題關(guān)鍵是抓住圓規(guī)畫圓的方法．二．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（共6小題）4．（2022秋?連云港期中）已知⊙O的半徑為3，點(diǎn)P在⊙O外，則OP的長(zhǎng)可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由⊙O的半徑及點(diǎn)P在⊙O外，可得出OP的長(zhǎng)大于3，再對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵⊙O的半徑為3，點(diǎn)P在⊙O外，∴OP的長(zhǎng)大于3．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，牢記“①點(diǎn)P在圓外?d＞r；②點(diǎn)P在圓上?d＝r；③點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r”是解題的關(guān)鍵．5．（2021秋?無(wú)錫期末）已知⊙O的半徑為4，OA＝5，則點(diǎn)A在（）A．⊙O內(nèi) B．⊙O上 C．⊙O外 D．無(wú)法確定【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．【解答】解：∵⊙O的半徑為4，OA＝5，∴OA＞半徑，∴點(diǎn)A在⊙O外．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．6．（2022秋?江陰市校級(jí)月考）已知⊙O的半徑是4，OA＝3，則點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)A在圓內(nèi) B．點(diǎn)A在圓上 C．點(diǎn)A在圓外 D．無(wú)法確定【分析】根據(jù)⊙O的半徑r＝4，且點(diǎn)A到圓心O的距離d＝3知d＜r，據(jù)此可得答案．【解答】解：∵⊙O的半徑r＝4，且點(diǎn)A到圓心O的距離d＝3，∴d＜r，∴點(diǎn)A在⊙O內(nèi)，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r；②點(diǎn)P在圓上?d＝r；③點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r．7．（2022秋?如皋市期中）在數(shù)軸上，點(diǎn)A所表示的實(shí)數(shù)為4，點(diǎn)B所表示的實(shí)數(shù)為b，⊙A的半徑為2，要使點(diǎn)B在⊙A內(nèi)時(shí)，實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）A．b＞2 B．b＞6 C．b＜2或b＞6 D．2＜b＜6【分析】首先確定AB的取值范圍，然后根據(jù)點(diǎn)A所表示的實(shí)數(shù)寫出a的取值范圍，即可得到正確選項(xiàng)．【解答】解：∵⊙A的半徑為2，若點(diǎn)B在⊙A內(nèi)，∴AB＜2，∵點(diǎn)A所表示的實(shí)數(shù)為4，∴2＜b＜6，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．8．（2022秋?梁溪區(qū)校級(jí)期中）已知⊙O的半徑是4，點(diǎn)P到圓心O的距離d為方程x2﹣4x﹣5＝0的一個(gè)根，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系為（）A．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) B．點(diǎn)P在⊙O上 C．點(diǎn)P在⊙O外 D．不能確定【分析】求出方程的根，再根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系判斷位置關(guān)系即可．【解答】解：x2﹣4x﹣5＝0的根為x1＝5，x2＝﹣1＜0（舍去），于是點(diǎn)P到圓心O的距離d＝5，而半徑r＝4，∴d＞r，所以點(diǎn)P在⊙O的外部，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解一元二次方程，求出方程的根是解決問(wèn)題的前提，掌握點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小是判斷點(diǎn)與圓位置關(guān)系的關(guān)鍵．9．（2022秋?東臺(tái)市期中）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（3，0）、B（0，3），點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且BC＝2，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為（）A． B． C． D．2【分析】作點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)A'根據(jù)中位線的性質(zhì)得到OM＝A′C，求出A'C的最大值即可．【解答】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)A'（﹣3，0），則點(diǎn)O是AA'的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，∴OM是△AA'C的中位線，∴OM＝A′C，∴當(dāng)A'C最大時(shí)，OM最大，∵點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且BC＝2，∴點(diǎn)C在以B為圓心，2為半徑的⊙B上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)A'C經(jīng)過(guò)圓心B時(shí)，A′C最大，即點(diǎn)C在圖中C'位置．A'C'＝AB+BC'＝3+2．∴OM的最大值＝+1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識(shí)，確定OM為最大值時(shí)點(diǎn)C的位置是解題的關(guān)鍵．三．垂徑定理（共4小題）10．（2022秋?錫山區(qū)校級(jí)月考）如圖，在⊙O中，OC⊥AB于點(diǎn)C，若⊙O的半徑為10，AB＝16，則OC的長(zhǎng)為6．【分析】連接OA，利用垂徑定理，勾股定理求解即可．【解答】解：如圖，連接OA．∵OC⊥AB，∴AC＝CB＝AB＝8，∵OA＝10，∠ACO＝90°，∴OC＝＝＝6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．11．（2022秋?惠山區(qū)期中）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，若AB＝10，CD＝8，則圖中陰影部分的面積為20．【分析】利用垂徑定理，得出CH＝DH＝4，由OC＝OD得出Rt△COH≌Rt△DOH，進(jìn)而得出圖中陰影部分的面積為S△ABD，即可得出答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，CD＝8，∴CH＝DH＝4，∵OC＝OD，∴Rt△COH≌Rt△DOH（HL），∴S△COH＝S△DOH，故圖中陰影部分的面積為：S△ABD＝AB?DH＝×10×4＝20．故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂徑定理，得出圖中陰影部分的面積為：S△ABD是解題關(guān)鍵．12．（2022秋?高郵市期中）如圖，已知⊙O的直徑為26，弦AB＝24，動(dòng)點(diǎn)P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若點(diǎn)M、N分別是弦AB、PQ的中點(diǎn)，則線段MN的取值范圍是（）A．7≤MN≤17 B．14≤MN≤34 C．7＜MN＜17 D．6≤MN≤16【分析】連接OM、ON、OA、OP，由垂徑定理得OM⊥AB，ON⊥PQ，AM＝AB＝12，PN＝PQ＝5，由勾股定理得OM＝5，ON＝12，當(dāng)AB∥PQ時(shí)，M、O、N三點(diǎn)共線，當(dāng)AB、PQ位于O的同側(cè)時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度最短＝ON﹣OM＝7，當(dāng)AB、PQ位于O的兩側(cè)時(shí)，線段EF的長(zhǎng)度最長(zhǎng)＝OM+ON＝17，便可得出結(jié)論．【解答】解：連接OM、ON、OA、OP，如圖所示：∵⊙O的直徑為26，∴OA＝OP＝13，∵點(diǎn)M、N分別是弦AB、PQ的中點(diǎn)，AB＝24，PQ＝10，∴OM⊥AB，ON⊥PQ，AM＝AB＝12，PN＝PQ＝5，∴OM＝＝5，ON＝＝12，當(dāng)AB∥PQ時(shí)，M、O、N三點(diǎn)共線，當(dāng)AB、PQ位于O的同側(cè)時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度最短＝ON﹣OM＝12﹣5＝7，當(dāng)AB、PQ位于O的兩側(cè)時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度最長(zhǎng)＝ON+OM＝12+5＝17，∴線段MN的長(zhǎng)度的取值范圍是7≤MN≤17，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理、勾股定理以及線段的最值問(wèn)題，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋?大豐區(qū)月考）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，若BE＝CD＝8，則⊙O的半徑的長(zhǎng)是（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】連接OC，設(shè)⊙O的半徑為R，則OE＝8﹣R，根據(jù)垂徑定理得出CE＝DE＝4，根據(jù)勾股定理得出OC2＝CE2+OE2，代入后求出R即可．【解答】解：連接OC，設(shè)⊙O的半徑為R，則OE＝8﹣R，∵CD⊥AB，AB過(guò)圓心O，CD＝8，∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，R2＝42+（8﹣R）2，解得：R＝5，即⊙O的半徑長(zhǎng)是5，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理和勾股定理，能熟記垂直于弦的直徑平分這條弦是解此題的關(guān)鍵．四．垂徑定理的應(yīng)用（共4小題）14．（2022秋?如皋市校級(jí)月考）興隆蔬菜基地建圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示，已知AB＝16m，半徑OA＝10m，高度CD為4m．【分析】根據(jù)圖可知OC⊥AB，由垂徑定理可知∠ADO＝90°，AD＝AB＝8，在Rt△AOD中，利用勾股定理可求OD，進(jìn)而可求CD．【解答】解：∵OC⊥AB，∴∠ADO＝90°，AD＝AB＝8，在Rt△AOD中，OD2＝OA2﹣AD2，∴OD＝＝6，∴CD＝10﹣6＝4（m）．故答案是4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理、勾股定理，解題的關(guān)鍵是先求出OD．15．（2022秋?江寧區(qū)校級(jí)月考）如圖是一個(gè)隧道的橫截圖，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中點(diǎn)，EM經(jīng)過(guò)圓心O交⊙O于點(diǎn)E，若CD＝4m，EM＝6m，則⊙O的半徑為m．【分析】因?yàn)镸是⊙O弦CD的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理，EM⊥CD，則CM＝DM＝2，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，進(jìn)而可求得半徑OC．【解答】解：∵M(jìn)是⊙O弦CD的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理：EM⊥CD，又CD＝4則有：CM＝CD＝2m，設(shè)圓的半徑是x米，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，即：x2＝22+（6﹣x）2，解得：x＝，所以圓的半徑長(zhǎng)是m．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，解決與弦有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，往往需構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長(zhǎng)的一半為三邊的直角三角形，若設(shè)圓的半徑為r，弦長(zhǎng)為a，這條弦的弦心距為d，則有等式r2＝d2+（）2成立，知道這三個(gè)量中的任意兩個(gè)，就可以求出另外一個(gè)．16．（2022?鐘樓區(qū)校級(jí)模擬）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，如圖1，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB長(zhǎng)為4米，⊙O半徑長(zhǎng)為3米．若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是（）A．1米 B．2米 C．米 D．米【分析】連接OC，OC交AB于D，由垂徑定理得AD＝BD＝AB＝2（米），再由勾股定理得OD＝（米），然后求出CD的長(zhǎng)即可．【解答】解：連接OC，OC交AB于D，由題意得：OA＝OC＝3米，OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝2（米），∠ADO＝90°，∴OD＝＝＝（米），∴CD＝OC﹣OD＝（3﹣）米，即點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是（3﹣）米，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋?泰州月考）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圓弧所在的圓的半徑r的長(zhǎng)；（2）當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時(shí)，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時(shí)，是否要采取緊急措施？【分析】（1）連接OA，利用r表示出OD的長(zhǎng)，在Rt△AOD中根據(jù)勾股定理求出r的值即可；（2）連接OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出A′B′的長(zhǎng)，據(jù)此可得出結(jié)論．【解答】解：（1）連接OA，由題意得：AD＝AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，解得，r＝34（米）；（2）連接OA′，∵OE＝OP﹣PE＝30米，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，解得：A′E＝16（米）．∴A′B′＝32（米）．∵A′B′＝32＞30，∴不需要采取緊急措施．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．五．圓心角、弧、弦的關(guān)系（共5小題）18．（2022秋?溧水區(qū)期中）如圖，C是的中點(diǎn)，弦AB＝8，CD⊥AB，且CD＝2，則所在圓的半徑為（）A．4 B．5 C．6 D．10【分析】由垂徑定理，勾股定理，可以求解．【解答】解：設(shè)所在圓的圓心為點(diǎn)O，⊙O的半徑為r，連接OD，OA，∵CD⊥AB，點(diǎn)C是中點(diǎn)，∴O，D，C三點(diǎn)共線，AD＝BD＝4，∵OA2＝OD2+AD2，∴r2＝（r﹣2）2+42，∴r＝5，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，垂徑定理，關(guān)鍵是定出圓心，構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理列出關(guān)于半徑的方程．19．（2022秋?淮陰區(qū)月考）如圖，A、B、C、D是⊙O上四點(diǎn)，且AD＝CB，求證：AB＝CD．【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得出即可．【解答】證明：∵AD＝CB，∴＝，∴+＝+，即＝，∴AB＝CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，能根據(jù)定理求出＝是解此題的關(guān)鍵．20．（2022秋?吳江區(qū)校級(jí)月考）如圖，⊙O在△ABC三邊上截得的弦長(zhǎng)相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，則∠BOC＝（）A．100° B．110° C．115° D．120°【分析】過(guò)點(diǎn)O作OP⊥AB于點(diǎn)P，OQ⊥AC于點(diǎn)Q，OK⊥BC于點(diǎn)K，由于DE＝FG＝MN，所以弦的弦心距也相等，所以O(shè)B、OC是角平分線，可求出∠POQ，進(jìn)而可求出∠BOC．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥AB于點(diǎn)P，OQ⊥AC于點(diǎn)Q，OK⊥BC于點(diǎn)K，∴∠APO＝∠AQO＝90°，∵∠A＝50°，∴∠POQ＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∵DE＝FG＝MN，∴OP＝OK＝OQ，∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB，∴∠BOC＝＝115°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查垂徑定理，解題關(guān)鍵是構(gòu)造出輔助線——弦心距．21．（2022秋?玄武區(qū)期末）如圖，在⊙O中，AB＝AC．（1）若∠BOC＝100°，則的度數(shù)為130°；（2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半徑．【分析】（1）根據(jù)圓周角、弧、弦間的關(guān)系可以得到AB＝AC，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)解答；（2）連接AO，延長(zhǎng)AO交BC于D，則AD⊥BC，構(gòu)造直角三角形，通過(guò)勾股定理求得該圓的半徑即可．【解答】解：（1）∵在⊙O中，∠BOC＝100°，∴∠BAC＝50°，∵＝，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴＝130°，故答案為：130；（2）連接AO，延長(zhǎng)AO交BC于D，則AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝5，∴在直角△ABD中，由勾股定理，得AD＝＝＝12；在直角△OBD中，由勾股定理，得OB2＝（12﹣OB）2+52，解得OB＝，即⊙O的半徑是．【點(diǎn)評(píng)】考查了圓周角、弧、弦的關(guān)系，在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．22．（2022秋?吳江區(qū)校級(jí)月考）已知⊙O的半徑為2，弦，弦，則∠BOC的度數(shù)為150°或30°．【分析】分類討論：①當(dāng)點(diǎn)B和點(diǎn)C在AO兩側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥AB于點(diǎn)P，作OQ⊥AC于點(diǎn)Q，根據(jù)垂徑定理可求出，，再根據(jù)勾股定理可求出，OQ＝1，從而得出AP＝OP，，即得出∠PAO＝45°，∠QAO＝30°，進(jìn)而可求出∠BAC＝75°，最后由圓周角定理即可求出∠BOC的大小；②當(dāng)點(diǎn)B和點(diǎn)C在AO同側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，作ON⊥AC于點(diǎn)N，同理可求出∠BAC＝15°，再由圓周角定理即可求出∠BOC的大?。窘獯稹拷猓悍诸愑懻摚孩佼?dāng)點(diǎn)B和點(diǎn)C在AO兩側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥AB于點(diǎn)P，作OQ⊥AC于點(diǎn)Q，如圖，∴．∵OA＝2，∴，∴AP＝OP，∴∠PAO＝45°．∵，OA＝2，∴，∴，∴∠QAO＝30°，∴∠BAC＝∠PAO+∠QAO＝75°∴∠BOC＝2∠BAC＝150°；②當(dāng)點(diǎn)B和點(diǎn)C在AO同側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，作ON⊥AC于點(diǎn)N，如圖，由①同理可得：∠MAO＝45°，∠NAO＝30°，∴∠BAC＝∠MAO﹣∠NAO＝15°，∴∠BOC＝2∠BAC＝30°．綜上可知∠BOC的度數(shù)為150°或30°．故答案為：150°或30°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)．正確的作出圖形和輔助線并利用分類討論的思想是解題關(guān)鍵．一．選擇題（共10小題）1．（2022秋?邗江區(qū)期中）已知⊙O的半徑為2，則⊙O中最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)（）A．2 B． C．4 D．【分析】利用圓的直徑為圓中最長(zhǎng)的弦求解．【解答】解：∵圓的直徑為圓中最長(zhǎng)的弦，∴⊙O中最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為2×2＝4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：熟練掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．2．（2022秋?無(wú)錫期末）已知⊙O的半徑為5cm，當(dāng)線段OA＝5cm時(shí)，則點(diǎn)A在（）A．⊙O內(nèi) B．⊙O上 C．⊙O外 D．無(wú)法確定【分析】點(diǎn)在圓上，則d＝r；點(diǎn)在圓外，d＞r；點(diǎn)在圓內(nèi)，d＜r（d即點(diǎn)到圓心的距離，r即圓的半徑）．【解答】解：∵⊙O的半徑為5cm，OA＝5cm，∴點(diǎn)A在⊙O上．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，也就是比較點(diǎn)與圓心的距離和半徑的大小關(guān)系．3．（2023?沛縣模擬）如圖．AB是⊙O的直徑，∠D＝40°，則∠BOC＝（）A．80° B．100° C．120° D．140°【分析】根據(jù)圓周角定理即可求出∠BOC．【解答】解：∵∠D＝40°，∴∠BOC＝2∠D＝80°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，鄰補(bǔ)角定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．4．（2022秋?姑蘇區(qū)校級(jí)期中）已知⊙O的半徑為2，點(diǎn)P是⊙O內(nèi)一點(diǎn)，且OP＝，過(guò)P作互相垂直的兩條弦AC、BD，則四邊形ABCD面積的最大值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】設(shè)出OE＝x，利用勾股定理表示出AC，BD，用對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積的計(jì)算方法建立面積和OE的函數(shù)關(guān)系式，即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖：連接OA、OD，作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，∵AC⊥BD，∴四邊形OEPF為矩形，∵OA＝OD＝2，OP＝，設(shè)OE為x（x＞0），根據(jù)勾股定理得，OF＝EP＝＝，在Rt△AOE中，AE＝＝∴AC＝2AE＝2，同理得，BD＝2DF＝2＝2，又∵任意對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的，∴S四邊形ABCD＝AC×BD＝×2×2＝2＝2當(dāng)x2＝即：x＝時(shí)，四邊形ABCD的面積最大，等于2＝5．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題是一道綜合性較強(qiáng)的題，融合了方程思想、數(shù)形結(jié)合思想．勾股定理，對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積的計(jì)算方法，表示出AC，BD是解本題的關(guān)鍵．5．（2023?鹽都區(qū)一模）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，OC⊥AB于點(diǎn)C，則OC的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由于OC⊥AB于點(diǎn)C，所以由垂徑定理可得，在Rt△ABC中，由勾股定理即可得到答案．【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝8，∴，在Rt△ABC中，OA＝5，AC＝4，由勾股定理可得：．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，熟練運(yùn)用垂徑定理并結(jié)合勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022秋?亭湖區(qū)校級(jí)期末）如圖是一個(gè)圓柱形的玻璃水杯，將其橫放，截面是個(gè)半徑為5cm的圓，杯內(nèi)水面AB＝8cm，則水深CD是（）A．cm B．cm C．2cm D．3cm【分析】連接OA、OC，先由垂徑定理可得AC長(zhǎng)，再由勾股定理得OC長(zhǎng)，從而求出CD長(zhǎng)．【解答】解：如圖，連接OA、OC，則OC⊥AB，∴AC＝AB＝4（cm），在Rt△OAC中，OC＝＝＝3（cm），∴CD＝5﹣3＝2（cm）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?海陵區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DE交⊙O于點(diǎn)F．若，AE＝2，則⊙O的直徑長(zhǎng)為（）A． B．8 C．10 D．【分析】連接OF，首先證明，設(shè)OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，連接OF．∵DE⊥AB，∴DE＝EF，，∵點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，設(shè)OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，則有，解得x＝4，∴AB＝2x＝8．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，垂徑定理，弧，弦之間的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．8．（2022秋?啟東市校級(jí)月考）下列說(shuō)法中，不正確的是（）A．過(guò)圓心的弦是圓的直徑 B．等弧的長(zhǎng)度一定相等 C．周長(zhǎng)相等的兩個(gè)圓是等圓 D．直徑是弦，半圓不是弧【分析】對(duì)于A，直徑是通過(guò)圓心且兩個(gè)端點(diǎn)都在圓上的線段，即可進(jìn)行判斷；對(duì)于B，能重合的弧叫等弧，即可進(jìn)行判斷；對(duì)于C和D，分別根據(jù)等圓，直徑，半圓的知識(shí)，也可進(jìn)行判斷．【解答】解：A．直徑是通過(guò)圓心且兩個(gè)端點(diǎn)都在圓上的線段，故正確；B．能重合的弧叫等弧，長(zhǎng)度相等，故正確；C．周長(zhǎng)相等的圓其半徑也相等，為等圓，故正確．D．直徑是弦，半圓是弧，故錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的認(rèn)識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握弦，弧等知識(shí)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．9．（2022秋?邳州市期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以點(diǎn)A為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)C在⊙A內(nèi)且點(diǎn)B在⊙A外時(shí)，r的值可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，再由點(diǎn)C在⊙A內(nèi)且點(diǎn)B在⊙A外求解．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝3，∵點(diǎn)C在⊙A內(nèi)且點(diǎn)B在⊙A外，∴3＜r＜5，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握勾股定理．10．（2022秋?邗江區(qū)校級(jí)期末）已知圓O的半徑為5，同一平面內(nèi)有一點(diǎn)P，且OP＝4，則點(diǎn)P與圓O的關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在圓內(nèi) B．點(diǎn)P在圓外 C．點(diǎn)P在圓上 D．無(wú)法確定【分析】根據(jù)題意：OP＝4＜r，進(jìn)行判斷即可．【解答】解：設(shè)圓的半徑為r，由題意得：OP＝4＜r＝5，∴點(diǎn)P與圓O的關(guān)系是：點(diǎn)P在圓內(nèi)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．熟練掌握利用點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系，來(lái)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共8小題）11．（2022秋?興化市期末）若⊙O的半徑為5，OA＝4，則點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是：點(diǎn)A在⊙O內(nèi)．（填“內(nèi)、上、外”）【分析】要確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，主要確定點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系；利用d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d＝r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)判斷出即可．【解答】解：∵⊙O的半徑為5，OA＝4，∴d＜r，∴點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是：點(diǎn)A在⊙O內(nèi)，故答案為：內(nèi)．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d＝r時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．12．（2022秋?興化市校級(jí)期末）一個(gè)圓的半徑是15cm，點(diǎn)P在圓上，那么P點(diǎn)到該圓圓心的距離為15cm．【分析】圓上點(diǎn)到圓心的距離等于圓的半徑，由此即可求解．【解答】解：根據(jù)題意，點(diǎn)P在圓上，圓的半徑是15cm，∴P點(diǎn)到該圓圓心的距離為15cm，故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，當(dāng)點(diǎn)在圓外，點(diǎn)到圓心的距離大于半徑；當(dāng)點(diǎn)在圓上，點(diǎn)到圓心的距離等于半徑；當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)到圓心的距離小于半徑，解題的關(guān)鍵是看點(diǎn)到圓心的距離與圓半徑的關(guān)系．13．（2023?邳州市一模）如圖，某同學(xué)準(zhǔn)備用一根內(nèi)半徑為5cm的塑料管裁一個(gè)引水槽，使槽口寬度AB為8cm，則槽的深度CD為2cm．【分析】根據(jù)垂徑定理得到，再利用勾股定理即可求出答案．【解答】解：如圖，由題意可知，OA＝5cm，OC⊥AB，則cm，在Rt△ADO中，由勾股定理得，OD＝＝3（cm），∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2（cm）．故答案為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理、勾股定理是正確解答的前提．14．（2023?鼓樓區(qū)模擬）如圖所示，小區(qū)內(nèi)有個(gè)圓形花壇O，點(diǎn)C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，則這個(gè)花壇的半徑為20．【分析】通過(guò)作弦心距，構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖，連接OA，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB，垂足為D，∵AB是弦，OD⊥AB，AC＝11，BC＝21，∴AD＝BD＝AB＝16，∴CD＝AD﹣AC＝5，∴OD＝＝＝12，∴OA＝＝＝20．故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，掌握垂徑定理和勾股定理是解決問(wèn)題的前提，構(gòu)造直角三角形是正確解答的關(guān)鍵．15．（2022秋?連云港期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)D在⊙O上，且CD＝OE，CD的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E．若∠C＝25°，則∠CEO度數(shù)為50°．【分析】根據(jù)CD＝OD求出∠DOC＝∠C＝25°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠EDO＝∠C+∠DOC＝50°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠E＝∠EDO＝50°．【解答】解：連接OD．∵CD＝OE，OE＝OD，∴CD＝OD，∵∠C＝25°，∴∠DOC＝∠C＝25°，∴∠EDO＝∠C+∠DOC＝50°，∵OD＝OE，∴∠E＝∠EDO＝50°．故答案為：50．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，能求出∠ODE的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．16．（2022秋?連云港期末）如圖，在⊙O中，弦AB＝4，點(diǎn)C在AB上移動(dòng)，連接OC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OC，交⊙O于點(diǎn)D，則CD長(zhǎng)的最大值為2．【分析】根據(jù)勾股定理求出CD，利用垂線段最短得到當(dāng)OC⊥AB時(shí)，OC最小，根據(jù)垂徑定理計(jì)算即可．【解答】解：∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD＝＝，當(dāng)OC的值最小時(shí)，CD的值最大，OC⊥AB時(shí)，OC最小，此時(shí)D、B兩點(diǎn)重合，∴CD＝CB＝AB＝2，即CD的最大值為2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋?秦淮區(qū)期末）如圖，在以O(shè)為圓心半徑不同的兩個(gè)圓中，大圓和小圓的半徑分別為6和4，大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C，D．若AC＝3，則CD的長(zhǎng)為．【分析】由垂徑定理得到CH＝DH，由勾股定理列出關(guān)于CH的方程，求出CH長(zhǎng)，即可求出CD的長(zhǎng)．【解答】解：作OH⊥AB于H，連接OC，OA，設(shè)CH＝x，∴CH＝DH，AH＝x+3，∵OH2＝OC2﹣CH2＝OA2﹣AH2，∴42﹣x2＝62﹣（x+3）2，∴x＝，∴CD＝2CH＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是掌握垂徑定理，勾股定理．18．（2023?南京二模）如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E．若AB＝4，CE＝6，則⊙O的半徑r為．【分析】如圖，作輔助線；設(shè)⊙O的半徑為r，運(yùn)用勾股定理列出r2＝22+（6﹣r）2，求出r即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，連接OA．設(shè)⊙O的半徑為r，則OE＝6﹣r．∵弦AB⊥CD，∴AE＝BE＝2；由勾股定理得：r2＝22+（6﹣r）2，解得：r＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了垂徑定理、勾股定理及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運(yùn)用勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析、判斷、推理或解答．三．解答題（共8小題）19．（2022秋?如皋市校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠D＝90°，AB的中點(diǎn)為O．求證：A，B，C，D四點(diǎn)在以O(shè)為圓心的圓上．【分析】連結(jié)OC、OD，由直角三角形斜邊上的中線定理得OA＝OB＝OC＝OD＝AB，則可得出結(jié)論．【解答】證明：連結(jié)OC，OD，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB的中點(diǎn)為O，∴OA＝OB＝OC＝OD＝AB，∴A，B，C，D四點(diǎn)在以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓上．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，圓的定義，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋?灌云縣月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．若∠A＝25°，求∠DCE的度數(shù)．【分析】先利用互余計(jì)算出∠B＝65°，再利用半徑相等得到CB＝CD，所以∠CDB＝∠B＝65°，然后利用三角形外角性質(zhì)計(jì)算∠DCE的度數(shù)．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝25°，∴∠B＝90°﹣∠A＝65°，∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝65°，∵∠CDB＝∠DCE+∠A，∴∠DCE＝65°﹣25°＝40°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：常常利用半徑相等組成等腰三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．21．（2022秋?漣水縣校級(jí)月考）如圖，AB是⊙O的弦，點(diǎn)C、D在直線AB上，且AC＝BD，連接OC、OD．求證：OC＝OD【分析】過(guò)O點(diǎn)作OH⊥CD于H點(diǎn)，如圖，根據(jù)垂徑定理得到AH＝BH，再證明CH＝DH，然后證明△OCH≌△ODH，從而得到OC＝OD．【解答】證明：過(guò)O點(diǎn)作OH⊥CD于H點(diǎn)，如圖，則AH＝BH，∵AC＝BD，∴AC+AH＝BD+BH，即CH＝DH，在△OCH和△ODH中，，∴△OCH≌△ODH（SAS），∴OC＝OD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱巳热切蔚呐卸ㄅc性質(zhì)．22．（2022秋?江陰市校級(jí)月考）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上．（1）在圖中清晰標(biāo)出點(diǎn)P的位置；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)是（6，6），⊙P的半徑是5．【分析】點(diǎn)P的坐標(biāo)是弦AB，CD的垂直平分線的交點(diǎn)．【解答】解：（1）弦AB的垂直平分線是y＝6，弦CD的垂直平分線是x＝6，因而交點(diǎn)P的坐標(biāo)是（6，6）．（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)是，⊙P的半徑是P的半徑是PA的長(zhǎng)，，故答案為：（6，6），5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，掌握?qǐng)A心是圓的垂直平分線的交點(diǎn)，是解決本題的關(guān)鍵．23．（2022秋?海州區(qū)校級(jí)月考）在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．（1）若以A為圓心，6cm長(zhǎng)為半徑作⊙A（畫圖），則B、C、D與圓的位置關(guān)系是什么？（2）若作⊙A，使B、C、D三點(diǎn)至少有一個(gè)點(diǎn)在⊙A內(nèi)，至少有一點(diǎn)在⊙A外，則⊙A的半徑r的取值范圍是6cm＜r＜10cm．【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出點(diǎn)B，C，D與⊙A的位置關(guān)系；（2）利用（1）中所求，即可得出半徑r的取值范圍．【解答】解：（1）如圖，連接AC，∵AB＝6cm，AD＝8cm，∴AC＝10cm，∵⊙A的半徑為6cm長(zhǎng)，∴點(diǎn)B在⊙A上，點(diǎn)C在⊙A外，點(diǎn)D在⊙A外；（2）∵以點(diǎn)A為圓心作⊙A，使B，C，D三點(diǎn)中至少有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，∴⊙A的半徑r的取值范圍是6cm＜r＜10cm．故答案為：6cm＜r＜10cm．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，矩形的性質(zhì)，解決本題要注意點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，要熟悉勾股定理，及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．24．（2022秋?儀征市校級(jí)月考）如圖，⊙O中，直徑CD⊥弦AB于E點(diǎn)，若AB＝10，DE＝2，求CD的長(zhǎng)．【分析】連接OA，由垂徑定理，勾股定理列出關(guān)于半徑的方程，即可求解．【解答】解：連接OA，設(shè)⊙O的半徑是r，∵CD⊥AB，∴AE＝AB＝5，∵AO2＝OE2+AE2，∴r2＝（r﹣2）2+52，∴r＝，∴CD＝2r＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，垂徑定理，關(guān)鍵是連接OA，構(gòu)造直角三角形．25．（2022秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，一座石橋的主橋拱是圓弧形，某時(shí)刻測(cè)得水面AB寬度為6米，拱高CD（弧的中點(diǎn)到水面的距離）為1米．（1）求主橋拱所在圓的半徑；（2）若水面下降1米，求此時(shí)水面的寬度．【分析】（1）連接OA，OC，設(shè)半徑OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣1，在Rt△ACO中，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可；（2）根據(jù)勾股定理列式可得FG的長(zhǎng)，最后由垂徑定理可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，DC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝3，DC經(jīng)過(guò)圓心，設(shè)拱橋的橋拱弧AB所在圓的圓心為O，連接OA，OC，聯(lián)結(jié)OA，設(shè)半徑OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣1，在Rt△ACO中，∵OA2＝AC2+OC2，∴R2＝（R﹣1）2+32，解得R＝5．答：主橋拱所在圓的半徑長(zhǎng)為5米；（2）設(shè)OD與EF相交于點(diǎn)G，連接OF，∵EF∥AB，OD⊥AB，∴OD⊥EF，∴∠OGF＝90°，在Rt△OGF中，OG＝5﹣1﹣1＝3，OF＝5，∴FG＝＝4，∴EF＝2FG＝8，答：此時(shí)水面的寬度為8米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．26．（2022秋?沭陽(yáng)縣月考）如圖，CD是⊙O的直徑，點(diǎn)A在DC的延長(zhǎng)線上，∠A＝20°，AE交⊙O于點(diǎn)B，且AB＝OC．（1）求∠AOB的度數(shù)．（2）求∠EOD的度數(shù)．【分析】（1）由AB＝O得到AB＝BO，則∠AOB＝∠1＝∠A＝20°；（2）∠1＝∠E，因此∠EOD＝3∠A，即可求出∠EOD．【解答】解：（1）連OB，如圖，∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB＝BO，∴∠AOB＝∠1＝∠A＝20°；（2）∵∠2＝∠A+∠1，∴∠2＝2∠A，∵OB＝OE，∴∠2＝∠E，∴∠E＝2∠A，∴∠DOE＝∠A+∠E＝3∠A＝60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)，等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角定理，解題的關(guān)鍵是能從圖形中發(fā)現(xiàn)每個(gè)角之間的關(guān)系．一、單選題1．的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為，點(diǎn)與的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)在內(nèi) B．點(diǎn)在上 C．點(diǎn)在外 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可得．【詳解】解：，點(diǎn)在外，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．2．如圖，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一點(diǎn)，且OM最小值為4，⊙O的半徑為（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】當(dāng)OM⊥AB時(shí)值最小．根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解．【詳解】解：根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線的線段中，垂線段最短，知：當(dāng)OM⊥AB時(shí)，為最小值4，連接OA，根據(jù)垂徑定理，得：BM=AB=3，根據(jù)勾股定理，得：OA==5，即⊙O的半徑為5．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，主要運(yùn)用了垂徑定理、勾股定理求得半徑．特別注意能夠分析出OM的最小值．3．平面內(nèi)，若⊙O的半徑為3，OP＝2，則點(diǎn)P在（）A．⊙O內(nèi) B．⊙O上 C．⊙O外 D．以上都有可能【答案】A【分析】要確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，主要確定點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系；點(diǎn)與圓心的距離d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．【詳解】∵OP＜3，∴點(diǎn)P在⊙O內(nèi)部．故選A．【點(diǎn)睛】此題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷．解題關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．4．直角三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)位于三角形的（）A．三角形內(nèi) B．三角形外 C．斜邊的中點(diǎn) D．不能確定【答案】C【分析】垂直平分線的交點(diǎn)是三角形外接圓的圓心，由此可得出此交點(diǎn)在斜邊中點(diǎn)．【詳解】∵直角三角形的外接圓圓心在斜邊中點(diǎn)，∴直角三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)位于三角形的斜邊中點(diǎn)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外接圓的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.5．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)是分別為（0,3）、（4,3），在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)C，使是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．5個(gè) B．6個(gè)C．7個(gè) D．8個(gè)【答案】C【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三種情況（①若AC＝AB，②若BC＝BA，③若CA＝CB）討論，通過(guò)畫圖就可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖：①若AC＝AB，則以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸有4個(gè)交點(diǎn)；②若BC＝BA，則以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸有2個(gè)交點(diǎn)（A點(diǎn)除外）；③若CA＝CB，則點(diǎn)C在AB的垂直平分線上，∵A（0，3），B（4，3），∴AB∥x軸，∴AB的垂直平分線與坐標(biāo)軸只有1個(gè)交點(diǎn)．綜上所述：符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有7個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定、圓的定義、垂直平分線的性質(zhì)的逆定理等知識(shí)，還考查了動(dòng)手操作的能力，運(yùn)用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．6．往直徑為的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，則水的最大深度為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，根據(jù)垂徑定理即可求得AD的長(zhǎng)，又由⊙O的直徑為，求得OA的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理，即可求得OD的長(zhǎng)，進(jìn)而求得油的最大深度的長(zhǎng)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，由垂徑定理得：，∵⊙O的直徑為，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴油的最大深度為，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理的知識(shí)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意輔助線的作法，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0，1)、B(0，3)、C(0，-1)、D(4，4)，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)且滿足PC⊥PB，則線段PD的最大值為（）A．10 B．8 C．7 D．9【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)且滿足，得到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑是2的圓，可得當(dāng)線段過(guò)圓心時(shí)，的值最大，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵，，三點(diǎn)的坐標(biāo)為：(0，1)，(0，3)，(0，-1)，則有：，又∵點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)且滿足，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑是2的圓，如圖示，當(dāng)線段過(guò)圓心時(shí)，的值最大，過(guò)點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，∵點(diǎn)的坐標(biāo)是(4，4)，點(diǎn)的坐標(biāo)是(0，1)，∴，，則：∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)，勾股定理，平面坐標(biāo)系內(nèi)的兩點(diǎn)的距離，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)等知識(shí)點(diǎn)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題8．下列說(shuō)法①直徑是弦；②圓心相同，半徑相同的兩個(gè)圓是同心圓；③兩個(gè)半圓是等??；④經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條直徑．正確的是______填序號(hào)．【答案】①【分析】利用圓的有關(guān)定義及性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng).【詳解】解：直徑是弦，但弦不是直徑，故①正確；圓心相同但半徑不同的兩個(gè)圓是同心圓，故②錯(cuò)誤；若兩個(gè)半圓的半徑不等，則這兩個(gè)半圓的弧長(zhǎng)不相等，故③錯(cuò)誤；經(jīng)過(guò)圓的圓心可以作無(wú)數(shù)條的直徑，故④錯(cuò)誤.綜上，正確的只有①.故答案為：①【點(diǎn)睛】本題考查了圓的知識(shí)，了解有關(guān)圓的定義及性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵，難度不大.9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以點(diǎn)為圓心，5為半徑作圓，則該圓與軸分別交于點(diǎn)，則三角形的面積為_(kāi)_______．【答案】12【分析】過(guò)P點(diǎn)作PH⊥AB于H點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理可知：HA=HB，根據(jù)勾股定理求出HB，即可求解．【詳解】解：過(guò)P點(diǎn)作PH⊥AB于H點(diǎn)，如下圖所示：根據(jù)垂徑定理可知：HA=HB，且，∴PH=3，，∴AB=2HB=8，∴，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，平面直角坐標(biāo)系等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握垂徑定理及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．10．如圖，的直徑，弦，垂足為，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】24【分析】連接，先根據(jù)求出的長(zhǎng)，再在中，利用勾股定理可得的長(zhǎng)，然后利用垂徑定理即可得．【詳解】解：如圖，連接，的直徑，，，，，，，故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．11．如圖，⊙O的半徑是2，AB是⊙O的弦，P是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)，且1≤OP≤2，則弦AB所對(duì)的圓心角的度數(shù)是__________．【答案】【分析】作OD⊥AB，由1≤OP≤2，證得，求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出答案即可．【詳解】解：作OD⊥AB，∵P是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)，且1≤OP≤2，∴OD=1，∵⊙O的半徑是2，∴，∵OA=OB，∴，∴弦AB所對(duì)的圓心角，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查直角三角形直角邊等于斜邊一半的性質(zhì)，圓的半徑相等的性質(zhì)，等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并綜合應(yīng)用解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．12．如圖是一個(gè)俱樂(lè)部的徽章.徽章的圖案是一個(gè)金色的圓圈，中間是一個(gè)矩形，矩形中間又有一個(gè)藍(lán)色的菱形，徽章的直徑為10cm，則徽章內(nèi)的菱形的邊長(zhǎng)為_(kāi)____cm．【答案】5【分析】連接圓心和矩形鄰邊的兩個(gè)中點(diǎn)，易得一個(gè)矩形，那么菱形的邊長(zhǎng)為圓的半徑．【詳解】如圖，連接圓心和矩形鄰邊的兩個(gè)中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理，可得過(guò)圓心的這兩條線段，分別垂直于矩形的兩邊，則組成的四邊形是矩形，因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等，所以徽章內(nèi)的菱形的邊長(zhǎng)等于半徑的長(zhǎng)，即5cm．故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題主要考查垂徑定理、矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難點(diǎn)是作出輔助線，構(gòu)造出矩形．13．如圖，AB為的直徑，弦于點(diǎn)H，若，，則OH的長(zhǎng)度為_(kāi)_．【答案】3【分析】連接OC，由垂徑定理可求出CH的長(zhǎng)度，在Rt△OCH中，根據(jù)CH和⊙O的半徑，即可由勾股定理求出OH的長(zhǎng)．【詳解】連接OC，Rt△OCH中，OC=AB=5，CH=CD=4；由勾股定理，得：OH=；即線段OH的長(zhǎng)為3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ恚?4．已知⊙O的半徑為13cm，弦AB的長(zhǎng)為10cm，則圓心O到AB的距離為_(kāi)____cm．【答案】12【分析】如圖，作OC⊥AB于C，連接OA，根據(jù)垂徑定理得到AC=BC=AB=5，然后利用勾股定理計(jì)算OC的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖，作OC⊥AB于C，連接OA，則AC＝BC＝AB＝5，在Rt△OAC中，OC＝＝12，所以圓心O到AB的距離為12cm．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?5．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是________【答案】2+2試題解析：如圖，取CA的中點(diǎn)D，連接OD、BD，則OD=CD=AC=×4=2，由勾股定理得，BD=，所以，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是2+2．16．已知以點(diǎn)C（a，b）為圓心，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x－a）2＋（y－b）2＝r2.例如：以A（2，3）為圓心，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x－2）2＋（y－3）2＝4，則以原點(diǎn)為圓心，過(guò)點(diǎn)P（1，0）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)___.【答案】x2＋y2＝1【詳解】因?yàn)樵c(diǎn)為圓心,過(guò)點(diǎn)P（1,0）的圓即是以（0,0）半徑為1的圓,則標(biāo)準(zhǔn)方程為:（x－0）2＋（y－0）2＝1,即x2＋y2＝1,故答案為:x2＋y2＝1.17．）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，P是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到△B/CP，連接B/A，B/A長(zhǎng)度的最小值是m，B/A長(zhǎng)度的最大值是n，則m+n的值等于______.【答案】16【分析】先判斷出長(zhǎng)度的最大值與長(zhǎng)度的最小值相應(yīng)的位置，然后進(jìn)一步計(jì)算即可.【詳解】如圖，以C點(diǎn)為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫圓，交AC于N點(diǎn)，延長(zhǎng)AC交圓于M點(diǎn)，∵點(diǎn)P是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，△BCP沿CP所在的直線翻折得到△，∴點(diǎn)B落在以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑的圓上，∴CM=CN=BC=6，∵圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離最大和最小的點(diǎn)是圓外一點(diǎn)過(guò)圓心的直線與圓的交點(diǎn)，∴長(zhǎng)度的最小值m=AN=AC-CN=8-6=2，且長(zhǎng)度的最大值n=AM=AC+CM=8+6=14，∴m+n=16，所以答案為16.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與圓的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，由AB=AC即可求出C點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：∵A(8，0)，B(0，6)，∴OA=8，OB=6，∴，∴AC=AB=10，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為：8-10=-2，縱坐標(biāo)為：0，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2，0)，故答案為(-2，0)．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、同圓半徑相等和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出OC的長(zhǎng)，注意：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．19．如圖，在矩形紙片ABCD中，邊AB=12，AD=5，點(diǎn)P為DC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)D，C重合，將紙片沿AP折疊，則CD′的最小值為_(kāi)__．【答案】8【分析】先分析出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以A為圓心，5為半徑的圓弧，要求的最小值，只要求出點(diǎn)C到圓心的距離再減去半徑即可．【詳解】解：∵折疊，∴，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡就是以A為圓心，5為半徑的圓弧，∵，，∴由勾股定理得，∴．故答案是：8．【點(diǎn)睛】本題考查矩形與折疊，線段最值的求解，解題的關(guān)鍵是分析出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)點(diǎn)到圓上一點(diǎn)最短距離的求解方法進(jìn)行求解．三、解答題20．已知四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)E、F、G、H分別為各邊中點(diǎn)，判斷E、F、G、H四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上，如果在同一圓上，找到圓心，并證明四點(diǎn)共圓；如果不在，說(shuō)明理由．【答案】點(diǎn)E、F、G、H四點(diǎn)是以AC，BD的交點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上，證明見(jiàn)解析.【分析】根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直，以及直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，得出E、F、G、H到O點(diǎn)距離都等于定長(zhǎng)即可.【詳解】解：如圖，連接AC，BD相交于點(diǎn)O，連接OE，OF，OG，OH，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，AC⊥BD，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴OE＝AB，同理：OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD，∴OE＝OF＝OG＝OH，∴點(diǎn)E、F、G、H四點(diǎn)是以AC，BD的交點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上．【點(diǎn)睛】本題主要考查了四點(diǎn)共圓的條件，用到了菱形的性質(zhì)及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.21．如圖，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，求弦BD的長(zhǎng)【答案】2【分析】作CE⊥AB于E，在Rt△BCE中利用30度性質(zhì)即可求出BE，再根據(jù)垂徑定理可以求出BD.【詳解】解：如圖，作CE⊥AB于E．∵∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-20°-