第07講 圓與對稱性（5種題型）（原卷版）

第07講圓與對稱性（5種題型）1.在探索過程中認(rèn)識圓，理解圓的本質(zhì)屬性；2.了解圓及其有關(guān)概念，理解弦、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、同心圓、等圓、等弧等與圓有關(guān)的概念，理解概念之間的區(qū)別和聯(lián)系；一．圓的認(rèn)識（1）圓的定義定義①：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓．固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)的集合．（2）與圓有關(guān)的概念弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等．連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。?）圓的基本性質(zhì)：①軸對稱性．②中心對稱性．二．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r②點(diǎn)P在圓上?d＝r①點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r（2）點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．（3）符號“?”讀作“等價于”，它表示從符號“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．三．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。普?：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。模箯蕉ɡ淼膽?yīng)用垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長、半徑、弦心距等問題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．五．圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣弧．（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．一．圓的認(rèn)識（共3小題）1．（2022秋?邗江區(qū)校級月考）已知⊙O的半徑是3cm，則⊙O中最長的弦長是（）A．3cm B．6cm C．1.5cm D．cm2．（2022秋?江陰市校級月考）下列說法錯誤的是（）A．直徑是圓中最長的弦 B．半徑相等的兩個半圓是等弧 C．面積相等的兩個圓是等圓 D．半圓是圓中最長的弧3．（2022秋?啟東市校級月考）畫圓時圓規(guī)兩腳間可叉開的距離是圓的（）A．直徑 B．半徑 C．周長 D．面積二．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（共6小題）4．（2022秋?連云港期中）已知⊙O的半徑為3，點(diǎn)P在⊙O外，則OP的長可以是（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2021秋?無錫期末）已知⊙O的半徑為4，OA＝5，則點(diǎn)A在（）A．⊙O內(nèi) B．⊙O上 C．⊙O外 D．無法確定6．（2022秋?江陰市校級月考）已知⊙O的半徑是4，OA＝3，則點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)A在圓內(nèi) B．點(diǎn)A在圓上 C．點(diǎn)A在圓外 D．無法確定7．（2022秋?如皋市期中）在數(shù)軸上，點(diǎn)A所表示的實(shí)數(shù)為4，點(diǎn)B所表示的實(shí)數(shù)為b，⊙A的半徑為2，要使點(diǎn)B在⊙A內(nèi)時，實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）A．b＞2 B．b＞6 C．b＜2或b＞6 D．2＜b＜68．（2022秋?梁溪區(qū)校級期中）已知⊙O的半徑是4，點(diǎn)P到圓心O的距離d為方程x2﹣4x﹣5＝0的一個根，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系為（）A．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) B．點(diǎn)P在⊙O上 C．點(diǎn)P在⊙O外 D．不能確定9．（2022秋?東臺市期中）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（3，0）、B（0，3），點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且BC＝2，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為（）A． B． C． D．2三．垂徑定理（共4小題）10．（2022秋?錫山區(qū)校級月考）如圖，在⊙O中，OC⊥AB于點(diǎn)C，若⊙O的半徑為10，AB＝16，則OC的長為．11．（2022秋?惠山區(qū)期中）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，若AB＝10，CD＝8，則圖中陰影部分的面積為．12．（2022秋?高郵市期中）如圖，已知⊙O的直徑為26，弦AB＝24，動點(diǎn)P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若點(diǎn)M、N分別是弦AB、PQ的中點(diǎn)，則線段MN的取值范圍是（）A．7≤MN≤17 B．14≤MN≤34 C．7＜MN＜17 D．6≤MN≤1613．（2022秋?大豐區(qū)月考）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，若BE＝CD＝8，則⊙O的半徑的長是（）A．5 B．4 C．3 D．2四．垂徑定理的應(yīng)用（共4小題）14．（2022秋?如皋市校級月考）興隆蔬菜基地建圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示，已知AB＝16m，半徑OA＝10m，高度CD為m．15．（2022秋?江寧區(qū)校級月考）如圖是一個隧道的橫截圖，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中點(diǎn)，EM經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)E，若CD＝4m，EM＝6m，則⊙O的半徑為m．16．（2022?鐘樓區(qū)校級模擬）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，如圖1，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB長為4米，⊙O半徑長為3米．若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是（）A．1米 B．2米 C．米 D．米17．（2022秋?泰州月考）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圓弧所在的圓的半徑r的長；（2）當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時，是否要采取緊急措施？五．圓心角、弧、弦的關(guān)系（共5小題）18．（2022秋?溧水區(qū)期中）如圖，C是的中點(diǎn)，弦AB＝8，CD⊥AB，且CD＝2，則所在圓的半徑為（）A．4 B．5 C．6 D．1019．（2022秋?淮陰區(qū)月考）如圖，A、B、C、D是⊙O上四點(diǎn)，且AD＝CB，求證：AB＝CD．20．（2022秋?吳江區(qū)校級月考）如圖，⊙O在△ABC三邊上截得的弦長相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，則∠BOC＝（）A．100° B．110° C．115° D．120°21．（2022秋?玄武區(qū)期末）如圖，在⊙O中，AB＝AC．（1）若∠BOC＝100°，則的度數(shù)為°；（2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半徑．22．（2022秋?吳江區(qū)校級月考）已知⊙O的半徑為2，弦，弦，則∠BOC的度數(shù)為．一．選擇題（共10小題）1．（2022秋?邗江區(qū)期中）已知⊙O的半徑為2，則⊙O中最長的弦長（）A．2 B． C．4 D．2．（2022秋?無錫期末）已知⊙O的半徑為5cm，當(dāng)線段OA＝5cm時，則點(diǎn)A在（）A．⊙O內(nèi) B．⊙O上 C．⊙O外 D．無法確定3．（2023?沛縣模擬）如圖．AB是⊙O的直徑，∠D＝40°，則∠BOC＝（）A．80° B．100° C．120° D．140°4．（2022秋?姑蘇區(qū)校級期中）已知⊙O的半徑為2，點(diǎn)P是⊙O內(nèi)一點(diǎn)，且OP＝，過P作互相垂直的兩條弦AC、BD，則四邊形ABCD面積的最大值為（）A．4 B．5 C．6 D．75．（2023?鹽都區(qū)一模）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，OC⊥AB于點(diǎn)C，則OC的長為（）A．1 B．2 C．3 D．46．（2022秋?亭湖區(qū)校級期末）如圖是一個圓柱形的玻璃水杯，將其橫放，截面是個半徑為5cm的圓，杯內(nèi)水面AB＝8cm，則水深CD是（）A．cm B．cm C．2cm D．3cm7．（2022秋?海陵區(qū)校級期末）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，延長DE交⊙O于點(diǎn)F．若，AE＝2，則⊙O的直徑長為（）A． B．8 C．10 D．8．（2022秋?啟東市校級月考）下列說法中，不正確的是（）A．過圓心的弦是圓的直徑 B．等弧的長度一定相等 C．周長相等的兩個圓是等圓 D．直徑是弦，半圓不是弧9．（2022秋?邳州市期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以點(diǎn)A為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)C在⊙A內(nèi)且點(diǎn)B在⊙A外時，r的值可能是（）A．3 B．4 C．5 D．610．（2022秋?邗江區(qū)校級期末）已知圓O的半徑為5，同一平面內(nèi)有一點(diǎn)P，且OP＝4，則點(diǎn)P與圓O的關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在圓內(nèi) B．點(diǎn)P在圓外 C．點(diǎn)P在圓上 D．無法確定二．填空題（共8小題）11．（2022秋?興化市期末）若⊙O的半徑為5，OA＝4，則點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是：點(diǎn)A在⊙O．（填“內(nèi)、上、外”）12．（2022秋?興化市校級期末）一個圓的半徑是15cm，點(diǎn)P在圓上，那么P點(diǎn)到該圓圓心的距離為cm．13．（2023?邳州市一模）如圖，某同學(xué)準(zhǔn)備用一根內(nèi)半徑為5cm的塑料管裁一個引水槽，使槽口寬度AB為8cm，則槽的深度CD為cm．14．（2023?鼓樓區(qū)模擬）如圖所示，小區(qū)內(nèi)有個圓形花壇O，點(diǎn)C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，則這個花壇的半徑為．15．（2022秋?連云港期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C是BA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)D在⊙O上，且CD＝OE，CD的延長線交⊙O于點(diǎn)E．若∠C＝25°，則∠CEO度數(shù)為°．16．（2022秋?連云港期末）如圖，在⊙O中，弦AB＝4，點(diǎn)C在AB上移動，連接OC，過點(diǎn)C作CD⊥OC，交⊙O于點(diǎn)D，則CD長的最大值為．17．（2022秋?秦淮區(qū)期末）如圖，在以O(shè)為圓心半徑不同的兩個圓中，大圓和小圓的半徑分別為6和4，大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C，D．若AC＝3，則CD的長為．18．（2023?南京二模）如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E．若AB＝4，CE＝6，則⊙O的半徑r為．三．解答題（共8小題）19．（2022秋?如皋市校級月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠D＝90°，AB的中點(diǎn)為O．求證：A，B，C，D四點(diǎn)在以O(shè)為圓心的圓上．20．（2022秋?灌云縣月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．若∠A＝25°，求∠DCE的度數(shù)．21．（2022秋?漣水縣校級月考）如圖，AB是⊙O的弦，點(diǎn)C、D在直線AB上，且AC＝BD，連接OC、OD．求證：OC＝OD22．（2022秋?江陰市校級月考）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上．（1）在圖中清晰標(biāo)出點(diǎn)P的位置；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)是，⊙P的半徑是．23．（2022秋?海州區(qū)校級月考）在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．（1）若以A為圓心，6cm長為半徑作⊙A（畫圖），則B、C、D與圓的位置關(guān)系是什么？（2）若作⊙A，使B、C、D三點(diǎn)至少有一個點(diǎn)在⊙A內(nèi)，至少有一點(diǎn)在⊙A外，則⊙A的半徑r的取值范圍是．24．（2022秋?儀征市校級月考）如圖，⊙O中，直徑CD⊥弦AB于E點(diǎn)，若AB＝10，DE＝2，求CD的長．25．（2022秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，一座石橋的主橋拱是圓弧形，某時刻測得水面AB寬度為6米，拱高CD（弧的中點(diǎn)到水面的距離）為1米．（1）求主橋拱所在圓的半徑；（2）若水面下降1米，求此時水面的寬度．26．（2022秋?沭陽縣月考）如圖，CD是⊙O的直徑，點(diǎn)A在DC的延長線上，∠A＝20°，AE交⊙O于點(diǎn)B，且AB＝OC．（1）求∠AOB的度數(shù)．（2）求∠EOD的度數(shù)．一、單選題1．的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為，點(diǎn)與的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)在內(nèi) B．點(diǎn)在上 C．點(diǎn)在外 D．無法確定2．如圖，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一點(diǎn)，且OM最小值為4，⊙O的半徑為（）A．5 B．4 C．3 D．23．平面內(nèi)，若⊙O的半徑為3，OP＝2，則點(diǎn)P在（）A．⊙O內(nèi) B．⊙O上 C．⊙O外 D．以上都有可能4．直角三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)位于三角形的（）A．三角形內(nèi) B．三角形外 C．斜邊的中點(diǎn) D．不能確定5．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)是分別為（0,3）、（4,3），在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)C，使是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C的個數(shù)是（）A．5個 B．6個C．7個 D．8個6．往直徑為的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，則水的最大深度為（）A． B． C． D．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0，1)、B(0，3)、C(0，-1)、D(4，4)，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)且滿足PC⊥PB，則線段PD的最大值為（）A．10 B．8 C．7 D．9二、填空題8．下列說法①直徑是弦；②圓心相同，半徑相同的兩個圓是同心圓；③兩個半圓是等??；④經(jīng)過圓內(nèi)一定點(diǎn)可以作無數(shù)條直徑．正確的是______填序號．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以點(diǎn)為圓心，5為半徑作圓，則該圓與軸分別交于點(diǎn)，則三角形的面積為________．10．如圖，的直徑，弦，垂足為，，則的長為______．11．如圖，⊙O的半徑是2，AB是⊙O的弦，P是弦AB上的動點(diǎn)，且1≤OP≤2，則弦AB所對的圓心角的度數(shù)是__________．12．如圖是一個俱樂部的徽章.徽章的圖案是一個金色的圓圈，中間是一個矩形，矩形中間又有一個藍(lán)色的菱形，徽章的直徑為10cm，則徽章內(nèi)的菱形的邊長為_____cm．13．如圖，AB為的直徑，弦于點(diǎn)H，若，，則OH的長度為__．14．已知⊙O的半徑為13cm，弦AB的長為10cm，則圓心O到AB的距離為_____cm．15．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動時，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動．在運(yùn)動過程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是________16．已知以點(diǎn)C（a，b）為圓心，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x－a）2＋（y－b）2＝r2.例如：以A（2，3）為圓心，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x－2）2＋（y－3）2＝4，則以原點(diǎn)為圓心，過點(diǎn)P（1，0）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____.17．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，P是直線AB上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到△B/CP，連接B/A，B/A長度的最小值是m，B/A長度的最大值是n，則m+n的值等于______.18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．19．如圖，在矩形紙片ABCD中，邊AB=12，AD=5，點(diǎn)P為DC邊上的動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)D，C重合，將紙片沿AP折疊，則CD′的最小值為___．三、解答題20．已知四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)E、F、G、H分別為