七年級數(shù)學(xué) 第04講 有理數(shù)的加減（原卷版）

第04講有理數(shù)的加減1.理解有理數(shù)加法和減法法則；2.能利用加法和減法法則進行簡單的有理數(shù)的加法、減法運算；3.能掌握加法、減法的運算定律和運算技巧，熟練計算；4.通過將減法轉(zhuǎn)化成加法，初步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的歸一思想知識點1：加法法則⑴同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。⑵絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值?；橄喾磾?shù)的兩個數(shù)相加得0。⑶一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。知識點2：加法運算定律（1）加法交換律：兩數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即a＋b=b＋a加法結(jié)合律：在有理數(shù)加法中，三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）知識點3：減法法則減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即a－b=a＋（﹣）b考點1：有理數(shù)加減法的概念辨析例1.（2023春?閔行區(qū)期中）如果兩個數(shù)的和是正數(shù)，那么（）A．這兩個加數(shù)都是正數(shù) B．一個加數(shù)為正數(shù)，另一個加數(shù)為0 C．一個加數(shù)為正數(shù)，另一個加數(shù)為負數(shù)，且正數(shù)的絕對值大于負數(shù)的絕對值 D．以上皆有可能【變式1-1】（2022秋?定州市期末）下列問題情境，不能用加法算式﹣2+10表示的是（）A．水位先下降2cm，再上升10cm后的水位變化情況 B．某日最低氣溫為﹣2℃，溫差為10℃，該日最高氣溫 C．用10元紙幣購買2元文具后找回的零錢 D．?dāng)?shù)軸上表示﹣2與10的兩個點之間的距離【變式1-2】（2022秋?宜興市月考）下列說法正確的是（）A．減去一個數(shù)等于加上一個數(shù) B．兩個相反數(shù)相減得0 C．兩個數(shù)相減差一定小于被減數(shù) D．兩個數(shù)相減，差不一定小于被減數(shù)【變式1-3】（2021秋?信都區(qū)期中）在應(yīng)用有理數(shù)減法法則，對進行運算時，下列說法正確的是（）A．①、②均需變成“+” B．只有①變成“+” C．只有①變成“×” D．只有②變成“+”考點二：有理數(shù)加減法在數(shù)軸上的運用例2.（2020?新華區(qū)一模）數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則a+b的值（）A．是正數(shù) B．是零 C．是負數(shù) D．正、負無法確定【變式2-1】（2022秋?永春縣校級期末）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列各式正確的是（）A．.a＜0 B．b＞0 C．a(chǎn)+b＞0 D．a(chǎn)+b＜0【變式2-2】（2022秋?安徽期中）有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應(yīng)位置如圖所示則下列四個選項正確的是（）A．a(chǎn)＜b＜﹣b＜﹣a B．a(chǎn)＜﹣b＜﹣a＜b C．a(chǎn)+b＞0 D．﹣a+b＞0【變式2-3】（2022秋?賓陽縣期中）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)＞0 B．b＜1 C．a(chǎn)+1＞0 D．a(chǎn)﹣b＞0考點三：有理數(shù)加減法混合運算例3.（2023春?南崗區(qū)校級月考）計算：（1）（﹣0.9）+1.5；（2）；（3）；（4）．【變式3-1】（2023春?惠陽區(qū)校級月考）計算：（﹣8）+（﹣1.2）+（﹣0.6）+（﹣2.4）．【變式3-2】（2021秋?魚臺縣期末）計算（1）4.7+（﹣0.8）+5.3+（﹣8.2）；（2）（﹣）+（+）+（﹣）．例4.（2022秋?漢陽區(qū)校級期末）計算：（1）7+（﹣2）﹣3.4；（2）（﹣21.6）+3﹣7.4+（﹣）；（3）31+（﹣）+0.25；（4）7﹣（﹣）+1.5；（5）49﹣（﹣20.6）﹣；（6）（﹣）﹣7﹣（﹣3.2）+（﹣1）【變式4-1】（2022秋?花垣縣月考）計算：（1）14﹣（﹣12）+（﹣25）﹣17；（2）．【變式4-2】（2022秋?渾南區(qū)月考）計算：（1）（﹣72）﹣（﹣37）﹣（﹣22）﹣17；（2）（﹣2）﹣（+3）﹣（+4）+（﹣3）；（3）1+（﹣7）﹣（﹣3.25）﹣；（4）20﹣（﹣6）﹣|﹣3|；（5）13﹣（﹣12）+（﹣21）；（6）﹣0.8﹣5.2+11.6﹣5.6．【變式4-3】（2022秋?文圣區(qū)校級月考）計算：（1）﹣3﹣3；（2）﹣0.8﹣5.2+11.6﹣5.6；（3）﹣2+（﹣3）﹣（﹣5）；（4）11.125﹣1+4﹣4.75；（5）﹣165+265﹣78﹣22+65；（6）（﹣7.3）﹣（﹣6）+|﹣3.3|+1．考點四：有理數(shù)加減法與絕對值的綜合例5.（2022秋?東莞市期中）計算：（1）5+（﹣6）﹣3+9﹣（﹣4）；（2）．【變式5-1】（2022秋?蘭考縣月考）計算：（1）20+（﹣14）﹣（﹣18）+13；（2）﹣﹣|﹣|﹣+1．【變式5-2】（2022秋?泌陽縣校級月考）計算：（1）﹣32﹣（﹣17）﹣|﹣23|+（﹣15）；（2）（﹣0.6）+2+10+（﹣1）+（﹣2.5）．【變式5-3】（2022秋?靖江市月考）計算：（1）0﹣4﹣（﹣5）；（2）﹣20﹣（﹣18）+（﹣14）+13；（3）（﹣）+（﹣）+（﹣）+；（4）2.7+（﹣8.5）﹣（+3.4）﹣（﹣1.2）；（5）﹣|﹣1|﹣（+2）﹣（﹣2.75）；（6）（﹣3）﹣（﹣2.4）+（﹣）﹣（+4）．考點五：有理數(shù)加減法中的規(guī)律計算例6.（2022秋?新邵縣期中）閱讀：對于，可以按如下方法計算：原式＝＝＝．上面這種方法叫拆項法．仿照上面的方法，請你計算：．【變式6-1】（2022秋?陳倉區(qū)校級月考）2+2﹣4+6﹣8+10﹣12+……+98﹣100．【變式6-2】（2022秋?越秀區(qū)校級期中）閱讀下面的解題方法．計算：﹣5+（﹣9）+17+（﹣3）．解：原式＝[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）]＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]＝0+（﹣）＝﹣．上述解題方法叫做拆項法，按此方法計算：（﹣2021）+4043+（﹣2022）+1．【變式6-3】（2022秋?乳山市期中）【信息提取】在有些情況下，不需要計算出結(jié)果也能把絕對值符號去掉．例如：|6+7|＝6+7，|6﹣7|＝7﹣6，|7﹣6|＝7﹣6，|﹣6﹣7|＝6+7．【初步體驗】（1）根據(jù)上面的規(guī)律，把下列各式寫成去掉絕對值符號的形式（不要計算出結(jié)果）：①|(zhì)7﹣21|＝；②＝；③＝．【拓廣應(yīng)用】（2）計算：④；⑤．考點六：有理數(shù)加減法的實際應(yīng)應(yīng)用例7．（2022秋?商河縣校級期末）．出租車司機小王某天下午營運全是在南北走向的公路上進行的．如果向南記作“+”，向北記作“﹣”，他這天下午行車情況如下：（單位：千米）﹣2，+5，﹣8，﹣3，+6，﹣6．（1）小王將最后一名乘客送到目的地時，在下午出車的出發(fā)地的什么方向？距下午出車的出發(fā)地多遠？（2）若出租車每公里耗油0.3升，求小王回到出發(fā)地共耗油多少升？（3）若規(guī)定每趟車的起步價是10元，且每趟車3千米以內(nèi)（含3千米）只收起步價；若超過3千米，除收起步價外，超過的每千米（不足1千米按1千米計算）還需收4元錢，小王今天是收入是多少元？【變式7-1】（2022秋?興化市校級期末）在2022年8月的北碚山火救災(zāi)中，位于山腰的2號物資集散地作為重要的物資中轉(zhuǎn)站，8月21日結(jié)束時還剩礦泉水16箱，集散地礦泉水的進出情況如下表（運進記作“+”．運出記作“﹣”），經(jīng)過五天奮戰(zhàn)，8月26日結(jié)束時還剩礦泉水36箱．時間8月22日8月23日8月24日8月25日8月26日運進+54+52+40+64b運出﹣30a﹣50﹣52﹣22與前一天相比（增加記作“+”，減少記作“﹣”）+24+16﹣10+12c（1）直接寫出a、b、c的值：a＝﹣36；b＝0；c＝﹣22；（2）請通過計算求出哪一天結(jié)束時2號物資集散地礦泉水?dāng)?shù)量最多？（3）由于地勢陡峭，2號物資集散地礦泉水的進出運輸都只能由“山城騎士”摩托車隊完成，為保證安全，每位騎士一次只能運輸2箱礦泉水，則需要多少人次才能完成這五天的任務(wù)？【變式7-2】（2022秋?寧強縣期末）老師倡導(dǎo)同學(xué)們多讀書，讀好書，要求每天讀課外書30分鐘，小偉由于種種原因，實際每天讀課外書的時間與老師要求時間相比有出入，下表是小偉某周的讀課外書情況（增加記為正，減少記為負）．星期一二三四五六日增減/分鐘+5﹣2﹣4+13﹣10+15﹣9（1）讀課外書最多的一天比最少的一天多多少分鐘？（2）根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知，小偉該周實際讀課外書多少分鐘？【變式7-3】（2022秋?息縣期中）某校舉辦了“廢紙回收，變廢為寶”活動，各班收集的廢紙均以5kg為標(biāo)準(zhǔn)，超過的記為“+”，不足的記為“﹣”，七年級六個班級的廢紙收集情況如表所示，統(tǒng)計員小虎不小心將一個數(shù)據(jù)弄臟看不清了，但他記得三班收集廢紙最少，且收集廢紙最多和最少的班級的質(zhì)量差為4kg．班級一二三四五六超過（不足）（kg）+1+2﹣1.50﹣1（1）請你計算七年級六班同學(xué)收集廢紙的質(zhì)量；（2）若本次活動收集廢紙質(zhì)量排名前三的班級可獲得榮譽稱號，請計算獲得榮譽稱號的班級收集廢紙的總質(zhì)量；（3）若七年級六個班級將本次活動收集的廢紙集中賣出，30kg（包括30kg）以內(nèi)的2元/千克，超出30kg的部分2.5元/千克，求廢紙賣出的總價格．考點七：有理數(shù)加減法中新定義問題例8．（2021秋?盂縣期末）先閱讀下面材料，再完成任務(wù)：【材料】下列等式：4﹣＝4×+1，7﹣＝7×+1，…，具有a﹣b＝ab+1的結(jié)構(gòu)特征，我們把滿足這一特征的一對有理數(shù)稱為“共生有理數(shù)對”，記作（a，b）．例如：（4，）、（7，）都是“共生有理數(shù)對”．【任務(wù)】（1）在兩個數(shù)對（﹣2，1）、（2，）中，“共生有理數(shù)對”是（2，）；（2）請再寫出一對“共生有理數(shù)對”（﹣，﹣3）；（要求：不與題目中已有的“共生有理數(shù)對”重復(fù)）（3）若（x，﹣2）是“共生有理數(shù)對”，求x的值；（4）若（m，n）是“共生有理數(shù)對”，判斷（﹣n，﹣m）是“共生有理數(shù)對”．（填“是”或“不是”）【變式8-1】（2021春?隨縣期末）已知[x]表示不超過x的最大整數(shù)．如：[3.2]＝3，[﹣0.7]＝﹣1．現(xiàn)定義：{x}＝[x]﹣x，如{1.5}＝[1.5]﹣1.5＝﹣0.5，則{3.9}+{﹣}﹣{1}＝﹣1.4．【變式8-2】（2022秋?綦江區(qū)校級月考）點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離AB＝|a﹣b|，例如：數(shù)軸上表示﹣1與﹣2的兩點間的距離＝|﹣1﹣（﹣2）|＝﹣1+2＝1；而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x與﹣2兩點間的距離．利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示﹣2和﹣5兩點之間的距離3．（2）若數(shù)軸上表示點x的數(shù)滿足|x﹣3|＝2，那么x＝1或5．（3）若數(shù)軸上表示點x的數(shù)滿足﹣4＜x＜4，求|x﹣4|+|x+4|的值．1．（2022?沈陽）計算5+（﹣3），結(jié)果正確的是（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣82．（2022?天津）計算（﹣3）+（﹣2）的結(jié)果等于（）A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．13．（2021?西寧）中國人最先使用負數(shù)，魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽在其著作《九章算術(shù)注》中，用不同顏色的算籌（小棍形狀的記數(shù)工具）分別表示正數(shù)和負數(shù)（紅色為正，黑色為負）．如圖1表示的是（+2）+（﹣2），根據(jù)這種表示法，可推算出圖2所表示的算式是（）A．（+3）+（+6） B．（+3）+（﹣6） C．（﹣3）+（+6） D．（﹣3）+（﹣6）4．（2022?呼和浩特）計算﹣3﹣2的結(jié)果是（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．55．（2022?杭州）圓圓想了解某地某天的天氣情況，在某氣象網(wǎng)站查詢到該地這天的最低氣溫為﹣6℃，最高氣溫為2℃，則該地這天的溫差（最高氣溫與最低氣溫的差）為（）A．﹣8℃ B．﹣4℃ C．4℃ D．8℃6．（2022?河北）與﹣3相等的是（）A．﹣3﹣ B．3﹣ C．﹣3+ D．3+7．（2021?河北）能與﹣（﹣）相加得0的是（）A．﹣﹣ B．+ C．﹣+ D．﹣+8．（2022?臺灣）算式+﹣（﹣）之值為何？（）A． B． C． D．9．（2019?德州）已知：[x]表示不超過x的最大整數(shù)．例：[4.8]＝4，[﹣0.8]＝﹣1．現(xiàn)定義：{x}＝x﹣[x]，例：{1.5}＝1.5﹣[1.5]＝0.5，則{3.9}+{﹣1.8}﹣{1}＝．1．（2022秋?蘭溪市期末）比﹣2大1的數(shù)（）A．﹣3 B．﹣1 C． D．22．（2023?雁塔區(qū)校級模擬）我市某天的最高氣溫是4℃，最低氣溫是﹣2℃，則這一天的最高氣溫與最低氣溫的差為（）A．6℃ B．2℃ C．﹣2℃ D．﹣6℃3．（2021秋?藁城區(qū)校級月考）下列說法正確的是（）A．減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù) B．零減去一個數(shù)仍得這個數(shù) C．互為相反數(shù)的兩個數(shù)相減得零 D．相同的兩個數(shù)的差為04．（2021秋?雁塔區(qū)校級月考）下列說法中正確的是（）A．比﹣3大的負數(shù)有3個 B．比﹣2大3的數(shù)是﹣5 C．比2小5的數(shù)是﹣3 D．比﹣3小2的數(shù)是﹣15．（2022秋?贛州期末）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖，則下列說法中，錯誤的是（）A．a(chǎn)＜0 B．b＞0 C．b﹣a＞0 D．a(chǎn)+b＜06．（2022秋?花都區(qū)期末）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則a+b0．（填“＞”、“＜”或“＝”）7．（2022秋?博興縣期末）在數(shù)軸上，與表示數(shù)1的點的距離是2的點表示的數(shù)是．8．（2022秋?松原期末）計算：20﹣11+（﹣10）﹣（﹣12）．9．（2022秋?榮縣期中）計算：（﹣21）﹣（﹣9）+|﹣8|﹣（﹣12）．10．（2022秋?小店區(qū)校級月考）計算題：（1）8+（﹣11）﹣|﹣5|；（2）12+（﹣）﹣（﹣8）﹣；（3）0.125+3﹣+5﹣0.25；（4）（﹣5）﹣（﹣12）﹣（+3）+（+6）．11．（2022秋?迎澤區(qū)校級月考）計算：（1）﹣6﹣（﹣13）+（﹣9）；（2）8+（﹣11）﹣|﹣5|；（3）；（4）．12．（2022秋?揭西縣校級月考）閱讀下題的計算方法：計算．解：原式＝＝＝＝上面這種解題方法叫做拆項法，按此方法計算：（﹣4）+（+8）+（﹣3）．13．（2022秋?望花區(qū)期中）點A，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b，A，B兩點之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A，B兩點之間的距離AB＝|a﹣b|，例如：數(shù)軸上表示﹣1與﹣2的兩點間的距離＝|﹣1﹣（﹣2）|＝﹣1+2＝1；而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|平所以|x+2|表示x與﹣2兩點間的距離．利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示﹣2和﹣5兩點之間的距離；（2）若數(shù)軸上表示點x的數(shù)滿足|x﹣1|＝2，那么x＝；（3）若數(shù)軸上表示點x的數(shù)滿足﹣4＜x＜3，求|x﹣3|+|x+4|的值；（4）|x﹣3|+|x+4|+|x+8|的最小值是．14．（2022秋?咸安區(qū)期中）隨著人們生活