七年級數(shù)學(xué) 第13講 角的運(yùn)算（解析版）

第13講角的運(yùn)算1．會(huì)利用角平分線的意義進(jìn)行有關(guān)表示或計(jì)算；2.掌握角的和、差、倍、分關(guān)系，并會(huì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.3.掌握角大小比較方法。知識(shí)點(diǎn)1：角平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．注意：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣．知識(shí)點(diǎn)2：角的運(yùn)算如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．注意：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對中(角的頂點(diǎn)與量角器的中心對齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．知識(shí)點(diǎn)3：角的比較角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下圖，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．考點(diǎn)1：角平分線的的定義例1.（2022秋?萬源市校級期末）如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4，則下列結(jié)論正確的有（）①AD平分∠BAE；②AF平分∠EAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠BAC；⑤AE平分∠BAC．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】C【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AE平分∠DAF；∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠BAE＝∠CAE，∴AE平分∠BAC．∴正確的結(jié)論有2個(gè)．故選：C．【變式1-1】（2022秋?澄海區(qū)期末）已知射線OC在∠AOB內(nèi)部，下列說法不能確定射線OC是∠AOB的平分線的是（）A．∠AOC+∠BOC＝∠AOB B．∠AOC＝∠AOB C．∠AOB＝2∠BOC D．∠AOC＝∠BOC【答案】A【解答】解：A、如圖所示，，射線OC在∠AOB內(nèi)部且∠AOC+∠BOC＝∠AOB，但是不能確定射線OC是∠AOB的平分線，符合題意；B、當(dāng)∠AOC＝∠AOB時(shí)，OC一定在∠AOB的內(nèi)部且OC是∠AOB的平分線，不符合題意；C、當(dāng)∠AOB＝2∠BOC時(shí)，OC一定在∠AOB的內(nèi)部且OC是∠AOB的平分線，不符合題意；D、當(dāng)∠AOC＝∠BOC時(shí)，OC一定在∠AOB的內(nèi)部且OC是∠AOB的平分線，不符合題意．故選：A．【變式1-2】（2022秋?達(dá)川區(qū)校級期末）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OD是∠AOC的角平分線，∠COB＝42°，則∠DOC的度數(shù)是（）A．59° B．60° C．69° D．70°【答案】C【解答】解：∵∠COB＝42°，∴∠AOC＝180°﹣∠COB＝138°，∵OD是∠AOC的角平分線，∴∠DOC＝＝＝69°．故選：C．【變式1-3】（2023春?寶坻區(qū)校級月考）如圖，直線AB、CD交于O，OE是∠BOC的平分線且∠BOE＝50°，那么∠AOC＝（）°A．80 B．100 C．130 D．150【答案】A【解答】解：∵OE是∠BOC的平分線，∴∠BOC＝2∠BOE＝100°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝80°，故選：A．考點(diǎn)2：角的計(jì)算例2.（2022秋?大渡口區(qū)校級期末）如圖所示，OC是∠AOB的平分線，∠BOD＝∠DOC，∠BOD＝13°，則∠AOD的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．60° D．52°【答案】B【解答】解：∵，∠BOD＝13°，∴∠DOC＝3∠BOD＝39°，∴∠BOC＝∠DOC﹣∠BOD＝26°，∵OC是∠AOB的平分線，∴∠AOB＝2∠BOC＝52°，∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝65°；故選：B．【變式2-1】（2022秋?安鄉(xiāng)縣期末）如圖，已知O是直線AB上一點(diǎn)，∠1＝40°，OD平分∠BOC，則∠2的度數(shù)是（）A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】C【解答】解：∵∠1＝40°，∴∠COB＝180°﹣40°＝140°，∵OD平分∠BOC，∴∠2＝∠BOC＝×140°＝70°．故選：C．【變式2-2】（2022秋?長垣市期末）如圖，已知，，且∠COD＝20°，則∠AOB＝（）A．100° B．110° C．120° D．135°【答案】C【解答】解：設(shè)∠AOB＝x，則∠AOC＝x，∠AOD＝x，∵∠AOD﹣∠AOC＝∠COD，∴x﹣x＝20°，解得：x＝120°，∴∠AOB＝120°．故選：C．【變式2-3】（2022秋?東明縣校級期末）如圖，點(diǎn)A、B、O在一條直線上，射線OC是∠DOB的平分線，∠AOD＝110°，∠BOC＝°．【答案】35．【解答】解：∵∠AOD＝110°，∴∠BOD＝180°﹣110°＝70°，∵OC平分∠BOD，∴∠BOC＝∠BOD＝×70°＝35°．故答案為：35．考點(diǎn)3：雙角平分線的運(yùn)算例3.（2022秋?南川區(qū)期末）如圖所示，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線．（1）如果∠AOB＝40°，∠DOE＝25°，那么∠BOD是多少度？（2）如果∠AOE＝150°，∠COD＝20°，那么∠AOB是多少度？【答案】（1）65°；（2）55°．【解答】解：（1）∵OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線，∠AOB＝40°，∠DOE＝25°，∴∠BOC＝∠AOB＝40°，∠COD＝∠DOE＝25°，∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝40°+25°＝65°．（2）∵OD是∠COE的平分線，∠COD＝20°，∴∠COE＝2∠COD＝2×20°＝40°，∵∠AOE＝150°，∴∠AOC＝∠AOE﹣∠COE＝150°﹣40°＝110°，∵OB是∠AOC的平分線，∴．【變式3-1】（2022秋?濟(jì)南期末）如圖，點(diǎn)A，O，B在同一條直線上，射線OD和射線OE分別平分∠AOC和∠BOC，求∠DOE的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵射線OD和射線OE分別平分∠AOC和∠BOC，∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC，∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝（∠AOC+∠BOC），∵點(diǎn)A，O，B在同一條直線上，∴∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠DOE＝×180°＝90°．【變式3-2】（2022秋?黔江區(qū)期末）如圖，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線．（1）若∠AOB＝30°，∠DOE＝20°，那么∠BOD是多少度？（2）若∠AOE＝150°，∠AOB＝40°，那么∠COD是多少度？【答案】（1）50°；（2）35°．【解答】解：（1）∵OB是∠AOC的平分線，∴∠BOC＝∠AOB＝30°，∵OD是∠COE的平分線，∴∠COD＝∠DOE＝20°，∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝30°+20°＝50°；（2））∵OB是∠AOC的平分線，∴∠AOC＝2∠AOB＝80°，∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝150°﹣80°＝70°，∵OD是∠COE的平分線，∴∠COD＝∠COE＝35°．【變式3-3】（2022秋?七星關(guān)區(qū)期末）如圖，O為直線AB上的一點(diǎn)，且∠COD為直角，OE平分∠BOD，OF平分∠AOE．若∠BOC＝54°，求∠DOF的度數(shù)．【答案】63°．【解答】解：∵∠COD＝90°，∠BOC＝54°，∴∠BOD＝90°﹣54°＝36°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠BOE＝18°，∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝54°+18°＝72°，∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣18°＝162°，∵OF平分∠AOE，∴∠EOF＝∠AOE＝81°，∴∠DOF＝∠EOF﹣∠DOE＝81°﹣18°＝63°．綜上，∠DOF的度數(shù)為63°．考點(diǎn)4：有關(guān)折疊的角度運(yùn)算例4.（2023春?東平縣期中）如圖，將一張長方形紙按照如圖所示的方法對折，兩條虛線為折痕，這兩條折痕構(gòu)成的角的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．75° D．90°【答案】D【解答】解：如圖：由折疊得，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1+∠4＝∠2+∠3，∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠4＝∠2+∠3＝90°，∴兩條折痕構(gòu)成的角的度數(shù)是90°．故選：D．【變式4-1】（2023春?北辰區(qū)期中）如圖，將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、CB均落在對角線BD上，得折痕BE、BF，則∠EBF的度數(shù)是（）A．15° B．40° C．45° D．60°【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD＝45°，由折疊得，∠ABE＝∠DBE＝22.5°，同理∠CBF＝∠DBF＝22.5°，∴∠EBF＝45°．故選：C．【變式4-2】（2023?高青縣一模）將一張長方形紙片按如圖方式折疊，BD、BE為折痕，點(diǎn)C′恰好落在A′B上，若∠ABE＝20°，則∠DBC為（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】D【解答】解：根據(jù)翻折的性質(zhì)可知，∠ABE＝∠A′BE，∠DBC＝∠DBC′，∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′＝180°，∴∠ABE+∠DBC＝90°，∵∠ABE＝20°，∴∠DBC＝70°．故選：D．【變式4-3】（2022秋?濰坊期末）如圖，在矩形紙片ABCD中，把∠D沿直線AE折疊，使得點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處．已知∠EAF與∠BAF的度數(shù)之比為2：5，則∠DAF的度數(shù)是（）A．20° B．30° C．40° D．45°【答案】C【解答】解：已知∠EAF與∠BAF的度數(shù)之比為2：5，設(shè)∠EAF＝2x°，∠BAF＝5x°，∵把∠D沿直線AE折疊，使得點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，∴∠DAE＝∠EAF＝2x°，∵紙片ABCD是矩形，∴5x+2x+2x＝90°，解得x＝10，∴∠DAF＝∠EAF+∠DAE＝2x+2x＝40°，故選：C．【變式4-4】（2022秋?路北區(qū)校級期末）如圖是一個(gè)長方形紙片ABCD，將紙片沿EF，EG折疊，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)A'，點(diǎn)D對應(yīng)點(diǎn)D'，并且點(diǎn)D'在線段A'E上，若∠AEF＝15°，則∠DEG的大小為（）A．80° B．75° C．70° D．45°【答案】B【解答】解：由折疊知：∠AEF＝∠A'EF，∠DEG＝∠D'EG，∵∠AEF+∠A'EF+∠DEG+∠D'EG＝180°，∴2∠AEF+2∠DEG＝180°，∴∠DEG＝90°﹣∠AEF＝90°﹣15°＝75°．故選：B．考點(diǎn)5：三角形拼接角的運(yùn)算例5.．（2022秋?金安區(qū)校級期末）如圖，一副三角板如圖擺放，若∠1＝9°，則∠2的度數(shù)為（）A．24° B．25° C．26° D．27°【答案】A【解答】解：由直角三角板知∠BCA＝45°，∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠1＝45°﹣9°＝36°．∴∠2＝∠ECD﹣∠ACD＝60°﹣36°＝24°．故選：A．【變式5-1】（2022秋?岳陽期末）把兩塊三角板按如圖所示拼在一起，則∠ABC等于（）A．90° B．100° C．120° D．150°【答案】C【解答】解：如圖所示：∵∠CEB＝90°，∠EBA＝30°，∴∠ABC＝90°+30°＝120°，故選：C．【變式5-2】（2022秋?陳倉區(qū)期末）一副三角板如圖擺放，則∠ABC的度數(shù)是（）A．90° B．75° C．60° D．15°【答案】B【解答】解：由題意得∠ABC＝30°+45°＝75°．故選B．【變式5-3】（2022秋?晉中期末）將一副三角板如圖所示放置，若∠AOD＝20°，那么∠COB的度數(shù)是（）A．120° B．140° C．160° D．170°【答案】C【解答】解：由題意得：∠COD＝∠AOB＝90°，∵∠AOD＝20°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝70°，∴∠COB＝∠COD+∠BOD＝160°，故選：C．考點(diǎn)6：角的大小比較例6.（2022秋?儀征市期末）如圖，用同樣大小的三角板比較∠A和∠B的大小，下列判斷正確的是（）A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．沒有量角器，無法確定【答案】B【解答】解：∵圖中三角尺為等腰直角三角形，∴∠A＜45°，＜B＞45°，∴∠A＜∠B，故選：B．【變式6-1】（2023春?福山區(qū)期中）如圖，正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長都為1，則∠α與∠β的大小關(guān)系為（）A．∠α＜∠β B．∠α＝∠β C．∠α＞∠β D．無法估測【答案】A【解答】解：將∠α平移，使∠α與∠β兩個(gè)角的頂點(diǎn)重合，∠α下邊的一條邊與∠β下邊的一條邊重合，可得：∠α上面的一條邊在∠β的內(nèi)部，所以∠α＜∠β，故選：A．【變式6-2】（2022秋?遂川縣期末）下面所標(biāo)注的四個(gè)角中最大的角是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A：圖中標(biāo)注的角為鈍角，鈍角大于90°；B：圖中標(biāo)注的角為銳角，銳角大于0°而小于90°；C：圖中標(biāo)注的角為直角，直角等于90°；D：圖中標(biāo)注的角為平角，平角等于180°．∴銳角＜直角＜鈍角＜平角．故選：D．【變式6-3】（2022秋?長安區(qū)校級期末）用“疊合法”比較∠1與∠2的大小，正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：根據(jù)“疊合法”比較∠1與∠2的大小，可知：正確的是D．故選：D．1．（2023?河北一模）如圖1，圖2所示，把一副三角板先后放在∠AOB上，則∠AOB的度數(shù)可能（）A．60° B．50° C．40° D．30°【答案】C【解答】解：由圖1可得∠AOB＜45°，由圖2可得∠AOB＞30°，∴30°＜∠AOB＜45°，故選：C．2．（2023?順義區(qū)一模）如圖，要把角鋼（1）變成夾角是90°的鋼架（2），則在角鋼（1）上截去的缺口的度數(shù)為（）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】B【解答】解：因?yàn)槿笨诮羌?0°，在截取之前的角是平角180°，所以在角鋼（1）上截去的缺口的度數(shù)為180°﹣90°＝90°．故選：B．3．（2023?安次區(qū)二模）下列度數(shù)的角，只借助一副三角尺不能拼出的是（）A．15° B．75° C．105° D．115°【答案】D【解答】解：A、15°＝45°﹣30°它可以用一副三角尺拼出；B、75°＝45°+30°，它可以用一副三角尺拼出；C、105°＝45°+60°，它可以用一副三角尺拼出；D、115°，無法用一副三角尺拼出．故選：D．4．（2023?樂山）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OD是∠BOC的平分線，若∠AOC＝140°，則∠BOD的度數(shù)為．【答案】20°．【解答】解：∵∠AOC＝140°，∴∠BOC＝180°﹣140°＝40°，∵OD是∠BOC的平分線，∴∠BOD＝∠BOC＝20°，故答案為：20°．5．（2022?百色）如圖擺放一副三角板，直角頂點(diǎn)重合，直角邊所在直線分別重合，那么∠BAC的大小為135°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)題意可得，∠BAC＝90°+45°＝135°．故答案為：135．6．（2022?湘潭）如圖，一束光沿CD方向，先后經(jīng)過平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，則∠AEF＝40°．【答案】40°．【解答】解：∵一束光沿CD方向，先后經(jīng)過平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，∴∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，在△ODE中，∠OED＝180°﹣∠AOB﹣∠EDO＝180°﹣120°﹣20°＝40°，∴∠AEF＝∠OED＝40°．故答案為：40°1．（2022秋?長沙期末）如圖，已知點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，∠AOC＝58°，∠BOD＝74°，則∠COD等于（）A．42° B．46° C．48° D．51°【答案】C【解答】解：根據(jù)題意可得，因?yàn)椤螦OC+∠COD+∠BOD＝180°，所以∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠BOD＝180°﹣58°﹣74°＝48°．故選：C．2．（2022秋?靖西市期末）關(guān)于角的描述錯(cuò)誤的是（）A．∠1與∠AOB表示同一個(gè)角 B．∠AOC可以用∠O表示 C．∠AOC＝∠AOB+∠BOC D．∠β表示∠BOC【答案】B【解答】解：由于頂點(diǎn)O處，共有3個(gè)角，所以∠AOC不可以用∠O來表示，故B錯(cuò)誤．故選：B．3．（2022秋?泰興市期末）在所給的：①15°、②65°、③75°、④115°、⑤135°的角中，可以用一副三角板畫出來的是（）A．②④⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④【答案】C【解答】解：①45°﹣30°＝15°，可以用一副三角板畫出來；②65°不可以用一副三角板畫出來；③45°+30°＝75°，可以用一副三角板畫出來；④115°不可以用一副三角板畫出來；⑤90°+45°＝135°，可以用一副三角板畫出來；綜上所述，可以用一副三角板畫出來的有：①③⑤．故選：C．4．（2022秋?晉安區(qū)期末）已知射線OC在∠AOB的內(nèi)部，下列4個(gè)表述中：①∠AOC＝∠AOB，②∠AOC＝∠BOC，③∠AOB＝2∠BOC，④∠AOC+∠BOC＝∠AOB，能表示射線OC是∠AOB的角平分線的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解答】解：①∵∠AOC＝∠AOB，∴∠AOB＝2∠AOC＝∠AOC+∠BOC，∴∠AOC＝∠BOC，∴OC平分∠AOB，即OC是∠AOB的角平分線，此表述正確．②∵∠AOC＝∠BOC，∴OC平分∠AOB，即OC是∠AOB的角平分線，此表述正確；③∵∠AOB＝2∠BOC＝∠AOC+∠BOC，∴∠AOC＝∠BOC，∴OC平分∠AOB，即OC是∠AOB的角平分線，此表述正確；④∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∴假如∠AOC＝30°，∠BOC＝40°，∠AOB＝70°，符合上式，但是OC不是∠AOB的角平分線，此表述錯(cuò)誤．故選：C．5．（2022秋?中寧縣期末）一副三角板如圖所示放置，則∠AOB的度數(shù)為（）A．75° B．90° C．105° D．120°【答案】C【解答】解：如圖：根據(jù)三角板的度數(shù)可得：∠2＝45°，∠1＝60°，∠AOB＝∠1+∠2＝45°+60°＝105°，故選：C．6．（2022秋?荊門期末）如圖，將一副三角尺的兩個(gè)銳角（60°角和45°角）的頂點(diǎn)O疊放在一起，若∠AOD與∠BOC的和為35°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．55° B．65° C．70° D．75°【答案】C【解答】解：由題意得：∠AOB＝60°，∠COD＝45°，∴∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝60°﹣∠DOB，∠BOC＝∠COD﹣∠DOB＝45°﹣∠DOB，∵∠AOD+∠BOC＝35°，∴60°﹣∠DOB+45°﹣∠DOB＝35°，∴∠DOB＝35°，∴∠BOC＝10°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝70°，故選：C．7．（2022秋?洪山區(qū)期末）如圖，長方形紙片ABCD，M為AD邊的中點(diǎn)，將紙片沿BM，CM折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A1處，點(diǎn)D落在點(diǎn)D1處，若∠1＝30°，則∠BMC＝（）A．135° B．120° C．105° D．100°【答案】C【解答】解：∵∠1＝30°∴∠AMA1+∠DMD1＝180°﹣30°＝150°∵將紙片沿BM，CM折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A1處，點(diǎn)D落在點(diǎn)D1處，∴MB平分∠AMA1，MC平分∠DMD1∴∠BMA1+∠CMD1＝（∠AMA1+∠DMD1）＝75°∴∠BMC＝∠1+∠BMA1+∠CMD1＝30°+75°＝105°故選：C．8．（2023春?萊西市期中）如圖所示，由正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，O是網(wǎng)格線交點(diǎn)，那么∠AOB與∠C