黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)學(xué)科試卷滿分150分，考試時間120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由集合的交集運(yùn)算求解．【詳解】，則，故選：C2.若復(fù)數(shù)滿足，則的實(shí)部與虛部之和為（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡求得，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以的實(shí)部為，虛部為，則的實(shí)部與虛部之和為.故選：D.3.已知等差數(shù)列的前6項(xiàng)和為60，且，則（）A5 B.10 C.15 D.20【答案】C【解析】【分析】由通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式代入求解即可.【詳解】由，可得：，即，又，所以，所以.故選：C4.在平面直角坐標(biāo)系中，若的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義及余弦的和差公式即可求解.【詳解】的終邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，，.故選：.5.如圖，四邊形表示水平放置的四邊形根據(jù)斜二測畫法得到的直觀圖，，，，，則（）A B. C.6 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)斜二測的性質(zhì)還原圖形，再由勾股定理即可求解.【詳解】解：還原四邊形，如圖所示：依題意可得：．取的中點(diǎn)，連接，則，且，故.

故選：B6.若曲線的一條切線方程是，則（）A. B.1 C. D.e【答案】A【解析】【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率求解切點(diǎn)坐標(biāo)，把切點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程求值．【詳解】由，得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，得，切點(diǎn)坐標(biāo)為，代入，得，即．故選：A．7.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為，面積為的扇形，則該圓錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出圓錐的底面圓半徑和高，再求出外接球的半徑，由此求得圓錐的外接球的面積.【詳解】設(shè)圓錐的底面圓半徑為，則該圓錐的側(cè)面展開圖扇形弧長為，于是，解得，該圓錐的高為，設(shè)該圓錐的外接球的半徑為，則球心到圓錐底面圓距離，由球的性質(zhì)知，，解得，所以該圓錐的外接球的面積為.故選：A8.在學(xué)習(xí)完“錯位相減法”后，善于觀察的同學(xué)發(fā)現(xiàn)對于“等差×等比數(shù)列”此類數(shù)列求和，也可以使用“裂項(xiàng)相消法”求解．例如，故數(shù)列的前項(xiàng)和．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，利用上述方法求（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先將裂成兩項(xiàng)，再運(yùn)用待定系數(shù)法求解裂成兩項(xiàng)的系數(shù)，接著利用裂項(xiàng)相消法求和即得.【詳解】設(shè)，左右對照可得，解得所以，則數(shù)列的前項(xiàng)和為：，故.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查運(yùn)用裂項(xiàng)相消法解決“等差×等比數(shù)列”的求和問題，屬于難題.解題的關(guān)鍵在于按照題意，將數(shù)列通項(xiàng)寫成兩項(xiàng)的差的形式，通過待定系數(shù)法確定各項(xiàng)系數(shù)，再裂項(xiàng)相加即可.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知平面向量，夾角為，且，若，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.與可以作為平面內(nèi)向量的一組基底C. D.在上的投影向量為【答案】BD【解析】【分析】對A，計(jì)算可判斷；對B，根據(jù)平面向量基底的定義判斷；對C，利用向量數(shù)量積運(yùn)算判斷；對D，根據(jù)投影向量的定義運(yùn)算判斷.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，因?yàn)椋耘c不共線，所以與可以作為平面的一組基底，故B正確；對于C，因?yàn)?，所以，故C錯誤；對于D，，所以在上的投影向量為，故D正確.故選：BD.10.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，為線段上一點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）A.為鈍角三角形B.的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍C.若為中點(diǎn)，則D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】依題意由正弦定理得，不妨設(shè)，則，故求出最大邊所對的角即最大角即可判斷A；由余弦定理以及二倍角公式即可判斷B；求出中線即可判斷C；借助求出角平分線即可判斷D.【詳解】由題知內(nèi)角所對的邊分別為，由正弦定理可知，不妨設(shè)，則，對于A，由上知邊為最大邊，故為最大角，由余弦定理知，故為銳角，所以為銳角三角形，故錯誤；對于，由上知A為最小角，且，又，知，即，又均為銳角，則，故B正確；對于，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，平方得，，又，故，故C正確；對于D，由，得，又，所以，由，即，故，故D正確，故選：BCD.11.設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)和為，若，則稱數(shù)列bn是數(shù)列an的“均值數(shù)列”．已知數(shù)列bn是數(shù)列an的“均值數(shù)列”，且，則下列結(jié)論正確的是（A.B.設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)積為，則有最大值，無最小值C.數(shù)列中沒有最大項(xiàng)D.若對任意，成立，則或【答案】AD【解析】【分析】先由數(shù)列遞推式求得，再由求得，由與的關(guān)系式求出，代值即可判斷A項(xiàng)；對于B，由通項(xiàng)分析項(xiàng)的符號特征即可判斷；對于C，分析數(shù)列的項(xiàng)的單調(diào)性特點(diǎn)可判斷其由最大項(xiàng)，排除C；對于D，利用C項(xiàng)結(jié)果將不等式恒成立轉(zhuǎn)化成求解不等式即得.【詳解】當(dāng)時，，得，因①，當(dāng)時，②，由①②，，即，取時，滿足題意，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，又因，故.當(dāng)時，；當(dāng)時，，因時，符合題意，故，則，故A正確；對于B，由A已得，，則，因時，，時，，而，故沒有最大值，也沒有最小值，故B錯誤；對于C，由，可得，易得,且，故的最大項(xiàng)為，故C錯誤；對于D，由，可得，由C項(xiàng)分析已得為的最大項(xiàng)，故得，解得或，故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查新定義數(shù)列的項(xiàng)與和的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于難題.解題的思路在于，由遞推和式采用賦值相減法求出通項(xiàng)，可得,再由與的關(guān)系式求出通項(xiàng)，再分析項(xiàng)的符號以及單調(diào)性特征，逐一判斷選項(xiàng)可得.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若，且為第二象限角，則___________.【答案】##【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求解，再利用正弦的二倍角公式，即得解【詳解】由題意，為第二象限角，故故答案為：13.已知函數(shù)在處取得極大值，則_________．【答案】0【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由求出并驗(yàn)證即可.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，，解得或，當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，函數(shù)在處取得極大值，符合題意，則；當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，函數(shù)在處取得極小值，不符合題意，所以.故答案為：014.已知數(shù)列an滿足，，則______；設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)和為，則______．（第二個空結(jié)果用指數(shù)冪表示）【答案】①.60②.【解析】【分析】根據(jù)遞推公式，依次求和；當(dāng)為奇數(shù)時，令，可得，當(dāng)為偶數(shù)時，令，可得，即可求得數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用分組求和法，即可求解.【詳解】由得，進(jìn)而得；當(dāng)為奇數(shù)時，，令，則，當(dāng)為偶數(shù)時，，令，則，則，當(dāng)時，，所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即則當(dāng)為奇數(shù)時，由，則，所以，當(dāng)為偶數(shù)時，由，則，所以，所以，所以，所以，.故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）將的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求不等式的解集．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由降冪公式和輔助角公式化簡，結(jié)合周期公式即可求解；（2）結(jié)合平移法則和誘導(dǎo)公式化簡得，由余弦函數(shù)圖象特征解不等式即可求解.【小問1詳解】，故；【小問2詳解】因?yàn)椋蜃笃揭苽€單位長度，得到，故要使，需滿足，解得，故的解集為16.數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式．（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意有，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，可求數(shù)列通項(xiàng)公式．（2），分為奇數(shù)和為偶數(shù)，結(jié)合分組求和法求.【小問1詳解】由，有，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，則有，所以數(shù)列通項(xiàng)公式.【小問2詳解】設(shè)，為奇數(shù)時，；為偶數(shù)時，.為奇數(shù)時，；為偶數(shù)時，.所以.17.在中，角的對邊分別是，已知．（1）求角；（2）若點(diǎn)在邊上，且，求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用正弦定理得，再利用正弦的和角公式得到，即可求解；（2）根據(jù)條件，利用向量的線性運(yùn)算，得到，從而有，再結(jié)合條件，利用余弦定理得到，即可求解.【小問1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，整理得到，即，又B∈0,π，所以，得到，又，所以.【小問2詳解】因?yàn)椋?，又，又由余弦定理，得，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)取等號，所以面積的最大值為.18.南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積，體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為求離散變量的垛積問題”．在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形作類比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻薨垛、芻童垛等的公式．如圖，“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……第層球數(shù)是第n層球數(shù)與的和，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列an．（1）求數(shù)列an（2）證明：當(dāng)時，（3）若數(shù)列bn滿足，對于，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）依題意可得，利用累加法計(jì)算可得；（2）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證；（3）由（2）令即可得到，從而得到，再利用錯位相減法計(jì)算可得.【小問1詳解】根據(jù)題意，，則有，當(dāng)時，，又也滿足，所以.【小問2詳解】設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，則，即，即當(dāng)時，.【小問3詳解】由（2）可知當(dāng)時，，令，則，所以，所以，令，則，所以，所以，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問關(guān)鍵是結(jié)合（2）的結(jié)論，令得到，從而得到.19.定義：如果函數(shù)在定義域內(nèi)，存在極大值和極小值，且存在一個常數(shù)，使成立，則稱函數(shù)為極值可差比函數(shù)，常數(shù)稱為該函數(shù)的極值差比系數(shù)．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，判斷是否為極值可差比函數(shù)，若是求極值差比系數(shù)，若不是說明理由；（2）是否存在使的極值差比系數(shù)為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（3）若，求的極值差比系數(shù)的取值范圍．【答案】（1）是極值可差比函數(shù)，；（2）不存在，理由見解析；（3）【解析】【分析】（1）按照題目所給信息，驗(yàn)證fx（2）將問題轉(zhuǎn)化為驗(yàn)證方程在范圍內(nèi)是否有解；（3）由（2）可得的極值差比為，后令，結(jié)合，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域即可.【小問1詳解】當(dāng)時，fx=x?所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值為，極小值為，所以，因此是極值可差比函數(shù)．其中；小問2詳解】由題的定義域?yàn)?,+∞，，即，假設(shè)是極值可差比函數(shù)，且極值差比系數(shù)為，設(shè)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為.則Δ=a2?4>0x1+又，則.由于.由題則有：，從而，結(jié)合，得（*）.令g