河北省承德市承德縣一中等校2024-2025學年高三上學期10月月考數(shù)學試題

第21頁/共21頁高三數(shù)學考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米，黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米，黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：集合與常用邏輯用語，不等式，函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)，三角恒等變換，解三角形，平面向量，復(fù)數(shù)，數(shù)列.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則的真子集個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集運算和真子集的定義求解.【詳解】因，所以，所以的真子集個數(shù)為個.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念和運算法則計算可得.【詳解】由題意，因為，所以，故選：B.3.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前30項和（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件等式求出并裂項，運用裂項相消法即可求得.【詳解】把代入整理得：，故.故選：D.4.若曲線與軸，直線的交點分別為為坐標原點，則向量與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得兩點的坐標，然后根據(jù)向量運算求得正確答案.【詳解】依題意，，，解得，故，由，所以，解得，所以，所以，所以.故選：C5.已知是以為直徑的圓上一點，為的中點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律即可求解.【詳解】如圖，連接，，因為是圓的直徑，所以，又，，則，又是的中點，則，.故選：B.6.已知數(shù)列滿足.若為遞減數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】依題意可知且，由于為遞減數(shù)列，所以，，，所以.故選：C7.已知函數(shù)（為常數(shù)），若在上的最大值為，最小值為，且，則（）A.6 B.4 C.3 D.2【答案】D【解析】【分析】將函數(shù)解析式化為，令，則，設(shè)，，可判斷是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)及，求得答案.【詳解】因為，，令，則，設(shè)，，則，所以是奇函數(shù)，最大值為，最小值為，則，由，解得.故選：D.8.在中，角為銳角，的面積為，且，則周長的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角恒等變換、正弦定理等知識判斷出三角形是直角三角形，利用基本不等式求得周長的最小值.【詳解】依題意，，由得，即，，由于是銳角，所以，與一正一負，或，若，即，由于，所以，所以，，此不等式組無解，所以不成立.同理可得不成立.所以，所以，所以，.所以，所以三角形的周長，當且僅當時等號成立，所以三角形的周長的最小值為.故選：A【點睛】本題涉及幾何中的面積和周長問題，結(jié)合了三角函數(shù)和基本不等式，考查了學生的綜合解題能力．解題過程中，利用基本不等式求周長的最小值，這是本題的關(guān)鍵點之一．基本不等式的應(yīng)用不僅要找到正確的表達式，還需要驗證等號成立的條件，以確保最小值能夠?qū)嶋H取到．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知為數(shù)列的前項和，若，則（）A.存在，使得既有最小項也有最大項B.存在，使得僅有最小項無最大項C.存在，使得既有最小項也有最大項D.存在，使得無最小項有最大項【答案】BCD【解析】【分析】借助與的關(guān)系計算可得數(shù)列通項公式，即可表示出，計算出后分、、及，，討論數(shù)列的增減性即可得解.【詳解】由，則當時，有，當時，，符合上式，故，即，則，當時，，故數(shù)列為遞增數(shù)列，此時數(shù)列僅有最小項，且最小項為，故B正確，A錯誤.則當，有，，即，即數(shù)列為遞減數(shù)列，此時數(shù)列僅有最大項，且最大項為，故D正確；當，時，則當時，，當時，，又，即當時，數(shù)列遞減，故此時數(shù)列在中，有最小項，且有最大項，故C正確；故選：BCD10.若實數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】把作為主元，求得，分類計算求得的最值，可判斷AB；方程變形為，可得判斷C；賦值法可判斷D.【詳解】因為，可得，當時，可得，令，求導(dǎo)得，令，可得，解得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，無最小值，故，當時，可得，令，求導(dǎo)得，令，可得，解得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，無最大值，故，故A正確，B錯誤；由，可得，所以，所以，當且僅當，即或時取等號，故C正確；當時，方程，，方程有解，所以，故D錯誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于點對稱B.為奇函數(shù)C.是的極小值點D.在上有極值【答案】ABC【解析】【分析】由對稱中心的定義代入驗證可得滿足，即可知A正確；利用奇函數(shù)定義化簡可得B正確，對函數(shù)求導(dǎo)并判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，即可判斷C正確，利用輔助角公式化簡并根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可判斷D錯誤.【詳解】對于A，由易知,即滿足，所以的圖象關(guān)于點對稱，可得A正確；對于B，易知，滿足奇函數(shù)定義，即可得為奇函數(shù)，即B正確；對于C，求導(dǎo)可得，不妨只研究當時的單調(diào)性，當時，，當時，，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此在處取得極小值，所以是的極小值點，即C正確.對于D，由可知，當時，，此時函數(shù)在上是單調(diào)遞減的，因此在上沒有極值，即D錯誤.故選：ABC【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于利用中心對稱函數(shù)性質(zhì)驗證選項中的對稱中心是否滿足中心對稱表達式，并充分利用三角函數(shù)性質(zhì)解決極值點問題.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則曲線在點處切線方程為__________.【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)，即可求解斜率，根據(jù)點斜式即可求解直線方程.【詳解】，故，又，故曲線在點處的切線方程為，即，故答案為：13.已知數(shù)列滿足，則__________.【答案】2【解析】【分析】由數(shù)列遞推式整理轉(zhuǎn)化，得出數(shù)列an的周期為4，即可求得.【詳解】由，可得，顯然，則有，故，，即數(shù)列an的周期為4.故故答案為：2.14.如圖的“心形”曲線恰好是半圓，半圓，曲線組合而成的，則曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積等于__________.【答案】【解析】【分析】先求出兩個半圓面的面積，再求曲線與、軸圍成的區(qū)域的面積，根據(jù)對稱性得出與、軸圍成的區(qū)域的面積，即可得解.【詳解】設(shè)，線段的中點為，如圖，因為曲線關(guān)于點對稱，所以可將曲線與軸、軸圍成的區(qū)域割補為直角三角形的區(qū)域，于是曲線與軸、軸圍成的區(qū)域的面積就是直角三角形的面積，即；根據(jù)對稱性，可得曲線與、軸圍成的區(qū)域的面積為，又曲線所圍成的“心形”區(qū)域中，兩個半圓的面積為，所以曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積等于.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：解法的關(guān)鍵是根據(jù)余弦型函數(shù)為中心對稱圖象，據(jù)此采用割補的方法，轉(zhuǎn)化為直角三角形的面積.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在數(shù)列中，.（1）若，求證：為等差數(shù)列；（2）求的前項和.【答案】（1）證明見詳解；（2）.【解析】【分析】（1）將已知條件代入化簡即可得證；（2）利用（1）中結(jié)論求出an【小問1詳解】因為，所以，又，所以bn是以為首項和公差的等差數(shù)列.【小問2詳解】由（1）可得，，所以，記數(shù)列的前項和為，則，，兩式相減得：，所以，所以.16.已知函數(shù)，且圖象的一個對稱中心到與其相鄰的對稱軸的距離為.（1）求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將圖象上的所有點的橫坐標向右平移個單位長度（縱坐標不變），再向上平移個單位長度，再將縱坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上存在零點，求的取值范圍.【答案】（1）；單調(diào)遞增區(qū)間為：；（2）【解析】【分析】（1）先利用誘導(dǎo)公式、正弦的和角公式、二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計算即可；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換求出解析式，利用整體思想分離參數(shù)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可.【小問1詳解】由，因為圖象的一個對稱中心到與其相鄰的對稱軸的距離為，所以其最小正周期為，則，令，解之得；【小問2詳解】由題意可知將圖象上的所有點的橫坐標向右平移個單位長度（縱坐標不變），再向上平移個單位長度可得，再將縱坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù)，當，所以，令，則條件可化為在時有解，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，易知，則，解之得17.在中，角的對邊分別為.（1）求；（2）已知為的平分線，交于點，且為線段上一點，且，求的周長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合和差公式展開化簡可得；（2）利用面積公式和余弦定理列方程組求解出，可知為等腰三角形，然后結(jié)合已知即可得解.【小問1詳解】，，，，，，，又，.【小問2詳解】因為BD為的平分線，，所以，又，，所以，即，①由余弦定理，得，即，②由①②可得（舍去負值），，所以a，c是關(guān)于的方程的兩個實根，解得.又因為BD為的平分線，所以，又，，所以，，所以的周長為.18.已知函數(shù).（1）證明：當時，只有1個零點；（2）當時，討論的單調(diào)性；（3）若，設(shè)，證明：.【答案】（1）證明見解析（2）答案見詳解（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系，確定的單調(diào)性，即可證明；（2）利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合的不同取值討論求解；（3）將所需證明的不等式等價轉(zhuǎn)化為，設(shè)，則只需證明，即，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)函數(shù)與最值的關(guān)系證明.【小問1詳解】當時，，則函數(shù)的定義域為，恒成立，所以在單調(diào)遞增，且，根據(jù)零點唯一性定理可知，只有1個零點為0.【小問2詳解】，因為，所以定義域為，，因為，當，即時，恒成立，即，則函數(shù)在單調(diào)遞減；當，即時，方程的兩個根為因為，且，所以均在內(nèi)，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，綜上，當時，在單調(diào)遞減，當時，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.【小問3詳解】若,因為要證，只需證，即，即證，設(shè)，則只需證明，化簡得，設(shè)則，所以在單調(diào)遞增，所以，即，原命題得證.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟（1）作差或變形；（2）構(gòu)造新的函數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．19.若項數(shù)列同時滿足.則稱為“階0數(shù)列”.（1）若等比數(shù)列為“4階0數(shù)列”，寫出的各項；（2）若等差數(shù)列為“階數(shù)列”（且），求的通項公式（用表示）；（3）記“階數(shù)列”的前項和為，若存在，使，判斷數(shù)列能否是“階數(shù)列”？若是，求出所有這樣的數(shù)列；若不是，請說明理由.【答案】（1）或（2）答案見解析（3）不是，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)所給新定義，求出等比數(shù)列的首項與公比即可得解；（2）根據(jù)所給新定義，建立方程分類討論，求出等差數(shù)列的首項與公差即可得出通項公式；（3）根據(jù)數(shù)列新定義，若滿足題意可推導(dǎo)出，此時不能同時成立，即可知不存在.【