對(duì)數(shù)函數(shù) 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

4.4對(duì)數(shù)函數(shù)第四章學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.2.能借助描點(diǎn)法、信息技術(shù)畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).3.知道指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax（a>0，且a≠1）互為反函數(shù).4.比較幾類函數(shù)模型增長(zhǎng)的差異，并利用函數(shù)模型解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象新知學(xué)習(xí)什么是對(duì)數(shù)函數(shù)【定義】根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，由y＝ax（a>0，且a≠1）可以得到x＝logay（a>0，且a≠1），x也是y的函數(shù).通常，我們用x表示自變量，y表示函數(shù).為此，將x＝logay（a>0，且a≠1）中的字母x和y對(duì)調(diào)，寫成y＝logax（a>0，且a≠1）.一般地，一般地，函數(shù)y＝logax（a>0，且a≠1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是（0，+∞）.指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化

什么是對(duì)數(shù)函數(shù)【問(wèn)題】怎樣判斷一個(gè)函數(shù)是不是對(duì)數(shù)函數(shù)？【答】抓住對(duì)數(shù)函數(shù)解析式的三個(gè)結(jié)構(gòu)特征：【1】y＝logax的系數(shù)為1【2】底數(shù)滿足.【3】真數(shù)是自變量.

為什么對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域是(0，+∞)？【答】由函數(shù)定義及解析式

可知，對(duì)數(shù)函數(shù)的自

變量x

恰好是指數(shù)

函數(shù)的函數(shù)值y，

所以對(duì)數(shù)函數(shù)的定義

域是(0，+∞)【1】求下列函數(shù)的定義域.（1）y＝log3x2；（2）y＝loga（4-x）（a>0，且a≠1）.【解】

（1）因?yàn)閤2>0，即x≠0，所以函數(shù)y＝log3x2的定義域是{x|x≠0}.（2）因?yàn)?-x>0，即x<4，所以函數(shù)y＝loga（4-x）的定義域是{x|x<4}.即時(shí)鞏固對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)【1】

y=log2x

的圖象0.5-110214262.58583123.585

1y=log2x

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

0.51102-14-28-316-4

1

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1利用換底公式，可以得到下式：即這兩個(gè)函數(shù)關(guān)于x軸對(duì)稱.實(shí)際上對(duì)于一般的兩個(gè)函數(shù)y=logax和

軸對(duì)稱的.

利用點(diǎn)

和點(diǎn)的關(guān)系即可證明.

y=log2x

【問(wèn)題】怎樣畫出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象？【答】用三點(diǎn)法，描出

三個(gè)點(diǎn)之后，用平滑的曲線連接起來(lái)即可.y＝logax（a>0，且a≠1）y＝logax（a>0，且a≠1）的圖象和性質(zhì)

過(guò)定點(diǎn)（1，0）減函數(shù)增函數(shù)①圖象都在y軸右側(cè)②都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）③無(wú)限靠近y軸但不相交④時(shí)，圖象上升⑤時(shí)，圖象下降

底大圖高底大圖低【注意】①對(duì)數(shù)函數(shù)值的變化：

②對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性口訣：對(duì)數(shù)函數(shù)有兩種，底數(shù)大小要分清；底數(shù)若是大于1，圖象從左往右增.底數(shù)0到1之間1，圖象從左往右減；無(wú)論函數(shù)增或減，圖象都過(guò)(1,0)點(diǎn).y＝logax（a>0，且a≠1）的圖象和性質(zhì)【1】比較下列各式的大小.（1）log23.4，log28.5；（2）log0.31.8，log0.32.7；【解】（1）log23.4和log28.5可看作函數(shù)y＝log2x的兩個(gè)函數(shù)值.

因?yàn)榈讛?shù)2>1，對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x是增函數(shù)，且3.4<8.5，

所以log23.4<log28.5.即時(shí)鞏固（2）log0.31.8和log0.32.7可看作函數(shù)y＝log0.3x的兩個(gè)函數(shù)值.

因?yàn)榈讛?shù)0.3<1，對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log0.3x是減函數(shù)，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7.反函數(shù)

【結(jié)論】一般地，指數(shù)函數(shù)

與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax（a>0，且a≠1）

互為反函數(shù)，它們的定義域和值域互換.

反函數(shù)【指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的比較】

兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線對(duì)稱y＝logax（a>0，且a≠1）隨堂小測(cè)1.下列函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)的是A.y＝logax＋1(a＞0且a≠1)B.y＝loga(2x)(a＞0且a≠1)C.y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)D.y＝2logax(a＞0且a≠1)√2.函數(shù)y＝log2(x－2)的定義域是A.(0，＋∞) B.(1，＋∞)C.(2，＋∞) D.[4，＋∞)√3.函數(shù)y＝2log4(1－x)的圖象大致是解析函數(shù)y＝2log4(1－x)的定義域?yàn)?－∞，1)，排除A，B；又函數(shù)y＝2log4(1－x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，排除D.故選C.4.若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的反函數(shù)，且f(2)＝1，則f(x)＝_____.log2x5.函數(shù)f(x)＝lnx2的減區(qū)間為_________.(－∞，0)課堂小結(jié)1.含有對(duì)數(shù)符號(hào)“l(fā)og”的函數(shù)不一定是對(duì)數(shù)函數(shù).判斷一個(gè)函數(shù)是否為對(duì)數(shù)函數(shù)，不僅要含有對(duì)數(shù)符號(hào)“l(fā)og”，還要符合對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，即形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式.如：y＝2log2x，y＝log5都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，可稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù).2.研究y＝logaf(x)的性質(zhì)如定義域、值域、比較大小，均需依托對(duì)數(shù)函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì).3.研究與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象有關(guān)的問(wèn)題，以對(duì)數(shù)函數(shù)圖象為基礎(chǔ)，加以平移、伸縮、對(duì)稱或截取一部分.4.與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、奇偶性、不等式問(wèn)題都要注意定義域的影響.5