2024年北京海淀區(qū)高三（上）期中數(shù)學(xué)試題及答案

2024北京海淀高三（上）期中數(shù)學(xué)本試卷共6頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題440分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合A={x|xx，B=，則A（A）（B）（C）{?D（）（2）若復(fù)數(shù)z滿足zi=1?i，則z=（A）1?i（B）1+i1+i（C）1i?（D）（3）若ab0，則下列不等式成立的是（A）a2b2（B）a2abbaabbaab（C）（D）+2sinxxπ（4）已知f(x)=，則f()=4（A）1B）2（C）?1（D）2?（5）下列不等式成立的是（A）log0.21（B）0.210.20.31（D）（C）log0.30（6）若f(x)=為增函數(shù)，則a的取值范圍是2x+xa（A）)B+)（）（C）[?（D）(?,?（7）若向量a=(x，b=(?y)，則下列等式中，有且僅有一組實(shí)數(shù),y使其成立的是（A）ab=0B）|a|+|b=2D）|a+b=2（C）|a|b|（8）大面積綠化增加了地表的綠植覆蓋，可以調(diào)節(jié)小環(huán)境氣溫，好的綠化有助于降低氣溫日較差（一天氣溫的最高值與最低值之差）下圖是甲、乙兩地某一天的氣溫曲線圖.假設(shè)除綠化外，其它可能影響甲、乙兩地溫度的因素均一致，則下列結(jié)論中錯誤的是．．（A）由上圖推測，甲地的綠化好于乙地（B）當(dāng)日6時到12時，甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率（C）當(dāng)日時到時，甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率（D）當(dāng)日比存在一個時刻，甲、乙兩地氣溫的瞬時變化率相等（9）設(shè)無窮等差數(shù)列a}的前n項(xiàng)積為T.若a0，則“T有最大值”是“公差d0”的n（A）充分而不必要條件（C）充分必要條件n1n（B）必要而不充分條件（D）既不充分也不必要條件（10）已知數(shù)列n}滿足n1raa)（=?n=2,3,a，則1nn（A）當(dāng)r2時，存在使得=na1n（B）當(dāng)r3時，存在使得=na0n（C）當(dāng)r3時，存在正整數(shù)，當(dāng)=NnN時，時，ann11（D）當(dāng)r2時，存在正整數(shù)，當(dāng)=NnNa?nn12024第二部分（非選擇題共分）二、填空題共5小題，每小題525分。a+b=（）已知10a=2,10b=5，則．π（12）在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)若角的終邊逆時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，2則sin=．（13）如右圖所示，四點(diǎn)O,,B,C在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)處.若OC=______,=______.則=OA+OB，π（14）已知函數(shù)f(x)sin(x=+)（0，|f(x)2f(0)）滿足恒成2立.①的取值范圍是______；2π②若f()=2f(0)，則的最小值為_____.3ln(x+x（15）已知函數(shù)f(x)=，其定義域記為集合D，a,bD，給出下列四個結(jié)論：①D={x|x0且x；②若ab=1，則|f(a)?fb)1；f(a)=fb)③存在ab，使得；④對任意a，存在b使得f(a)fb)1．+=其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（1613分）已知無窮等比數(shù)列a的前n項(xiàng)和為Snn+b.=n（Ⅰ）求,1的值；（Ⅱ）設(shè)n2n2n1，=+?n=2,3,cn的前項(xiàng)和T．n，求數(shù)列n（1714分）f(x)=Asin2x?2sin2x+1（A0①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為設(shè)函數(shù)已知．（Ⅰ）求A的值；（Ⅱ）若f(x)在(0，m)上有且僅有兩個極大值點(diǎn)，求m的取值范圍．π7π條件①：f()+f()=0；124π條件②：將f(x)的圖象向右平移各單位長后所得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；條件③：對于任意的實(shí)數(shù)x,x，|f(x)f(2)|的最大值為?14.12注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.（1814分）x2?aex已知函數(shù)f(x)=.曲線y=f(x)(0,f(0))在點(diǎn)y=?3.處的切線方程為（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）求f(x)的最小值.（1913分）如圖所示，某景區(qū)有，兩條公路（MN,PQ,C，5714277游客服務(wù)中心在點(diǎn)B處，已知BC=1km，ABC=120，cosBAC=，cosACQ=.（Ⅰ）已知該景區(qū)工作人員所用的對講機(jī)是同一型號，該型號對講機(jī)的信號有效覆蓋距離為3km.若不考慮其他環(huán)境因素干擾，則A處的工作人員用與C處的工作人員能否用對講機(jī)正常通話？（Ⅱ）已知一點(diǎn)處接受到對講機(jī)的信號強(qiáng)度與到該對講機(jī)的距離的平方成反比.欲在CQ路段上建立一個志愿服務(wù)驛站D，且要求在志愿服務(wù)驛站D接收景點(diǎn)入口A處對講機(jī)的信號最強(qiáng).若選址D使得CD=2km，請判斷該選址是否符合要求？NABMPCDQ（2015分）1f(x)=aln(x?a)+x?(2a+x，a0.2已知函數(shù)2f(x)在x=4處取得極大值，求f(4)的值；（Ⅰ）若f(x)的零點(diǎn)個數(shù).（Ⅱ）求（2115分）aa對于n行n列(n2)的數(shù)表A=，定義變換T：任選一組i,j，其中i，1n2j2,，對于A的第i行和第j列的2n?1個數(shù)，將每個數(shù)同時加1，或者將每個數(shù)同時減1，其余的數(shù)不變，得到一個新數(shù)表.1（Ⅰ）已知對依次進(jìn)行4次T變換，如下：1100abT,21,20?T,T,，10102cd02直接寫出a,b,c,d的值；00011（Ⅱ）已知A=000，B=111.是否可以依次進(jìn)行有限次T變換，將A變換為B？說明000111理由.0（III）已知行列的數(shù)表C=，是否可以依次進(jìn)行k次T變換，將其變換為001?10D=？若可以，求k的最小值；若不可以，說明理由.?11010100參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40（1）C（6）B（2）A（7）B（3）D（8）C（4）B（9）A（5）B（10）D二、填空題（共5小題，每小題5分，共252552113）,33ππ14）[,262（1（12）（15）①三、解答題（共6小題，共85分）（1613分）解：（Ⅰ）當(dāng)n2時，23a=S?S=n1，nnn1因?yàn)閍}是等比數(shù)列，所以a=2.n1又因?yàn)閍=S=3+b，所以b=1；11（Ⅱ）由（Ⅰ）可知23a=n1，na2n+2因?yàn)閍2=6，且=9，{或者a=69n1}2na2n所以a2n}是以6為首項(xiàng)，9為公比的等比數(shù)列；T=(a+a+n2=6349?12nnn+9?12=n?+n2.4（1714分）解：（Ⅰ）條件①f(x)=Asin2x+cos2x，π7πππ7π7π所以f()+f()=Asin++Asin+=0，4122266A3所以A??=0.22解得A=3.條件②：f(x)=Asin2x+cos2x,π所以f(x)的圖象向右平移后所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.πππA3所以f(?)=0，即Asin(?)+cos(?)=?+=0，126622計(jì)算得A=3.經(jīng)驗(yàn)證：A=3.條件③：f(x)=sin2x+cos2x,1π()=A2+2x(+)其中tan=所以fxA2+1=2由題意可知|f(x)f(x)|4，即，,(0,).A2?=因?yàn)锳0，所以A=3.π（Ⅱ）f(x)=3sin2x2x=2sin(2x+)+6πππ當(dāng)2x+=+2π,kZ時f(x)取得極大值,即x=+kπ,kZ.626因?yàn)閒(x)在m)上有且僅有兩個極大值點(diǎn),所以僅有k=符合題意,7π13π所以m(,].66（1814分）解：(x2a)e?x?(x2?a)ex2xex?(x2?a)ex==f(x)（Ⅰ）(ex)2ex?x2+2x+a=exf(0)=依題意解得a=k3=.=f(0)k,x?32（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=.ex?x2+2x+3?(x+x?法一：f(x)==，exex=，解得f(x)0x=?1或，3fxf(x)的變化情況如下表：令x(?,1(3+)f(x)0+0f(x)極小值極大值f(x)f(=，由表格可知，有極小值x+)f(x)0，因?yàn)楫?dāng)所以時，f(x)2e.最小值為x2?3法二：f(x)=，因?yàn)閑x0，exf(x)x(?3,3)，要求最小值，只需考慮?x2+2x+3?(x+x?==f(x)exex=f(x)0x=?1或，3f(xf(x)x隨變化如下表：令，解得x(?3,1(?3,f(x)0+f(x)極小值f(x)f(=，由表格可知，有極小值f(x)2e.此時，極小值即為最小值，所以有最小值（1914分）解：5714（Ⅰ）因?yàn)閏os=0，所以為銳角,21所以sin=1?cos2=，14ACBC在△中，=，sinABCsinBACBCsin所以==7，sin因?yàn)?3，所以A處工作人員用對講機(jī)能與C處工作人員正常通話.（II）方法一：277由余弦定理，AD2=AC2+CD2?2CDACD=7+4?272=3，因?yàn)锳D2+CD2=3+4=7=AC2，所以AD⊥CD，所以的長為點(diǎn)A與直線上所有點(diǎn)的距離的最小值，所以D點(diǎn)選址符合要求.方法二：假設(shè)上的E點(diǎn)接收景點(diǎn)入口A處對講機(jī)的信號最強(qiáng)，則⊥，27所以CE=cosACD=7=2，7又因?yàn)檫x址D滿足CD=2，所以D點(diǎn)選址符合要求.（2015分）解：f(x)(a,+).（Ⅰ）的定義域?yàn)閍x?ax2?a+x+2ax?a2+2a(x?2a)[x?(a+fx)=+x?(2a+==，x?a4f(x)因?yàn)樗允堑臉O大值點(diǎn)，f=0(4?2a?a)=0，即，解得或a=2a=3.當(dāng)a=2時，當(dāng)變化時，xfxf(x)的變化情況如下表：(2,304)(4,+)x4fx)f(x)+?0+極大值極小值4f(x)的極小值點(diǎn)，不符合題意.此時是a=3時，當(dāng)xfxf(x)變化時，的變化情況如下表：當(dāng)4)(4,6)60(6,++)x40fx)f(x)+?極大值極小值4f(x)的極大值點(diǎn)，符合題意.此時是a=3，此時f(4)=20.因此，1）0a1時，當(dāng)x變化時，fxf(x)的變化情況如下表：x(a,2a)2a(2a,a+a+1(a++)fx)f(x)+0?0+極大值極小值f(2a)=aa?2a2?2a0，因此x(a,a+時，f(x)0.f(x)在(a++)又f(4a2)aa2)0，因此+=+上有且僅有一個零點(diǎn).f(x)的零點(diǎn)個數(shù)是1.因此（2）當(dāng)a=1時，對任意x1，fx)0f(x)+)，在上是增函數(shù).又f(2)=?4f(6)=ln50，因此f(x)的零點(diǎn)個數(shù)是1.（3）當(dāng)a1時，當(dāng)變化時，xfxf(x)的變化情況如下表：x(a,a+a+1(a+2a)2a(2a,+)fx)f(x)+0?0+極大值極小值1f(a+=?a+a+0，因此x(a,2a]時，f(x)0.2又f(4a2)aa2)0，因此+=+f(x)在(2a,+)上有且僅有一個零點(diǎn).f(x)的零點(diǎn)個數(shù)是1.因此綜上，a0時，f(x)的零點(diǎn)個數(shù)是1.（2115分）解：（Ⅰ）abcd===3=.（Ⅱ）不可以，理由如下：由題可知每次變換T，數(shù)表中所有數(shù)的和增加或減少5.因?yàn)锳中所有數(shù)的和為0，所以其經(jīng)過有限次變換T后各數(shù)和為5的倍數(shù).而B中所有數(shù)的和為9，不符合，故無法通過有限次變換T，將A變換為B.（III）可以，且k的最小值為400.當(dāng)所選i,j時，所有加1的變換T與減1的變換T次數(shù)之差設(shè)為；j=1