1第二章一元二次函數(shù)方程和不等式典型例題講解（原卷版）

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式典型例題講解目錄一、基本概念回歸二、重點(diǎn)例題（高頻考點(diǎn)）高頻考點(diǎn)一：比較兩個(gè)代數(shù)式的大小高頻考點(diǎn)二：利用基本不等式求最值角度1：和為定值求積的最值角度2：積為定值求和的最值角度3：湊項(xiàng)（系數(shù)）角度4：常數(shù)代換法角度5：消元法角度6：二次與二次（或一次）商式高頻考點(diǎn)三：基本不等式在實(shí)際中的應(yīng)用高頻考點(diǎn)四：一元二次不等式（含參）的求解角度1：二次項(xiàng)系數(shù)不含參數(shù)角度2：二次項(xiàng)系數(shù)含參高頻考點(diǎn)五：一元二次不等式與對(duì)應(yīng)函數(shù)、方程的關(guān)系高頻考點(diǎn)六：分式不等式的解法高頻考點(diǎn)七：不等式恒成立問題（有解問題）高頻考點(diǎn)八：一元二次不等式的實(shí)際問題一、基本概念回歸知識(shí)回顧1：作差法比較大小作差法的依據(jù)：①；②；③步驟：(1)作差；(2)變形；（目的：便于判定差的符號(hào)，常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等）(3)定號(hào)；（當(dāng)差的符號(hào)不確定時(shí)，一般需要分類討論）(4)下結(jié)論。（根據(jù)當(dāng)差的正負(fù)與實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)下結(jié)論）知識(shí)回顧2：不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對(duì)稱性（等價(jià)于）傳遞性（推出）可加性（等價(jià)于可乘性注意的符號(hào)（涉及分類討論的思想）同向可加性同向同正可乘性可乘方性，同為正數(shù)知識(shí)回顧3：重要不等式一般地，，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.知識(shí)回顧4：基本不等式鏈（其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”號(hào)）（注意：一正，二定，三相等，特別“一正”，“三相等”這兩類陷阱）知識(shí)回顧5：四個(gè)二次的關(guān)系判別式二次函數(shù)(的圖象一元二次方程()的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，()有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根()的解集()的解集知識(shí)回顧6：一元二次不等式的解法1：先看二次項(xiàng)系數(shù)是否為正，若為負(fù)，則將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；2：寫出相應(yīng)的方程，計(jì)算判別式：①時(shí)，求出兩根，且（注意靈活運(yùn)用十字相乘法）；②時(shí)，求根；③時(shí)，方程無(wú)解3：根據(jù)不等式，寫出解集.知識(shí)回顧7：分式不等式的解法①移項(xiàng)化零：將分式不等式右邊化為0：②③④⑤重點(diǎn)例題（高頻考點(diǎn)）高頻考點(diǎn)一：比較兩個(gè)代數(shù)式的大小1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（1）已知，求證：；（2）已知，且，比較與的大?。?．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）試比較下列組式子的大?。?1)與，其中；(2)與，其中，；(3)與，．高頻考點(diǎn)二：利用基本不等式求最值角度1：和為定值求積的最值（角度2：積為定值求和的最值）1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知正數(shù)a，b滿足，則的最大值為（

）．A． B．1 C．2 D．42．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，且，，，那么的最大值為（

）A． B． C．1 D．23．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，則有（

）A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則的最大值為（）A．2 B．4 C．5 D．65．（2022·北京·臨川學(xué)校高二期中（文））函數(shù)的最大值是（

）A．6 B．8 C．10 D．186．（2022·安徽池州·高一期末）已知，則函數(shù)的最大值為_______.角度3：湊項(xiàng)（系數(shù)）1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，且，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2022·湖北孝感·高二階段練習(xí)）已知，則函數(shù)的最小值為___________.3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域?yàn)開_______．4．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）（1）已知，則取得最大值時(shí)x的值為？（2）已知，則的最大值為？角度4：常數(shù)代換法1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知為正實(shí)數(shù)且，則的最小值為（

）A． B． C． D．32．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）若正實(shí)數(shù)x,y滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．3．（2022·河南·鄭州十九中高二開學(xué)考試）已知，，且，則的最小值為（

）A．8 B． C．9 D．4．（多選）（2022·湖南岳陽(yáng)·高二期末）已知實(shí)數(shù)，，且，則（

）A．的最小值為18 B．的最小值為64C．的最小值為128 D．的最小值為5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)a,b滿足，求的取值范圍___________.6．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，且，求：的最小值．角度5：消元法1．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知，滿足，則的最小值是（）A． B． C．2 D．22．（2022·河南洛陽(yáng)·高二階段練習(xí)（理））已知，，則的最小值為_______．角度6：二次與二次（或一次）商式1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，求函數(shù)的值域；2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為（

）A． B．C． D．44．（2022·湖北·棗陽(yáng)一中高三階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為______．5．（2022·陜西·長(zhǎng)安一中高一階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為___．6．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則的最小值為___________.7．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）求解下列各題：（1）求的最大值；（2）求的最小值.高頻考點(diǎn)三：基本不等式在實(shí)際中的應(yīng)用1．（2022·湖北·棗陽(yáng)一中高三階段練習(xí)）2020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國(guó)，對(duì)人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴(yán)重影響．在黨和政府強(qiáng)有力的抗疫領(lǐng)導(dǎo)下，我國(guó)控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復(fù)工復(fù)產(chǎn)，減輕經(jīng)濟(jì)下降對(duì)企業(yè)和民眾帶來(lái)的損失．為降低疫情影響，某廠家擬在2020年舉行某產(chǎn)品的促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用m萬(wàn)元滿足（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是2萬(wàn)件．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)一萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（此處每件產(chǎn)品年平均成本按元來(lái)計(jì)算）(1)將2020年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)用m萬(wàn)元的函數(shù)；(2)該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？2．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，某人計(jì)劃用籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻的長(zhǎng)度沒有限制）的矩形菜園．設(shè)菜園的長(zhǎng)為xm，寬為ym．(1)若菜園面積為72m2，則x，y為何值時(shí)，可使所用籬笆總長(zhǎng)最??？(2)若使用的籬笆總長(zhǎng)度為30m，求的最小值．3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某種商品原來(lái)毎件售價(jià)為元，年銷售萬(wàn)件．(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格毎提高元，銷售量將相應(yīng)減少件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少？(2)為了擴(kuò)大商品的影響力，提高年銷售量，公司決定明年對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷策略改革，并提高價(jià)格到元，公司擬投入萬(wàn)元作為技改費(fèi)用，投入萬(wàn)元作為固定宣傳費(fèi)用，試問：該商品明年的銷售量至少達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和并求出此時(shí)每件商品的定價(jià)．高頻考點(diǎn)四：一元二次不等式（含參）的求解角度1：二次項(xiàng)系數(shù)不含參數(shù)1．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）解下列不等式：(1)；2．（2022·湖南·株洲二中高一開學(xué)考試）設(shè)函數(shù).解關(guān)于x的不等式；角度2：二次項(xiàng)系數(shù)含參1．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式．(1)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式；(2)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式．2．（2022·江蘇·高一）解關(guān)于x的不等式3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，.(1)若的解集為，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的不等式的解集.高頻考點(diǎn)五：一元二次不等式與對(duì)應(yīng)函數(shù)、方程的關(guān)系1．（2022·黑龍江哈爾濱·高三開學(xué)考試）已知不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A．R B． C． D．或2．（2022·湖南湘潭·高三開學(xué)考試）設(shè)關(guān)于的不等式的解集為，則的值等于_______．3．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知不等式的解為，求和的值，并解不等式．4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集為,則______，______．高頻考點(diǎn)六：分式不等式的解法1．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）解下列不等式：(1)(2)(3)；2．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）解關(guān)于的不等式（其中）3．（2022·湖南·株洲二中高一開學(xué)考試）已知不等式的解集為，求不等式的解集.高頻考點(diǎn)七：不等式恒成立問題（有解問題）1．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，，若不等式恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2022·湖南·雅禮中學(xué)高一開學(xué)考試）不等式的解集是全體實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍________．4．（2022·湖南·株洲二中高一開學(xué)考試）設(shè)函數(shù).當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求a的取值范圍.5．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰市元寶山區(qū)第一中學(xué)高一期中）根據(jù)已知條件，求參數(shù)的取值范圍.(1)已知函數(shù)的定義域?yàn)椋蟮娜≈捣秶?2)已知函數(shù).若對(duì)于，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.6．（2022·河南·林州一中高一開學(xué)考試）已知函數(shù)，且關(guān)于x的不等式的解集為．(1)求實(shí)數(shù)b，m的值；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．7．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)．(1)若對(duì)于一切實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若對(duì)于，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.8．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，且關(guān)于x的不等式在R上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．9．（2022·四川瀘州·高二期末（理））已知函數(shù)．(1)解關(guān)于的不等式；(2)若不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的最小值；（2）存在，使得有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.高頻考點(diǎn)八：一元二次不等式的實(shí)際問題1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）甲廠以x千克/時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求），每小時(shí)可獲得利潤(rùn)元．要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3000元，則x的最小值是______．2．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，這段距離稱為“剎車距離”．剎車距離是分析交通事故的一個(gè)重要指標(biāo)．在一個(gè)限速為40km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車，但