第一章空間向量與立體幾何-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)（人教A版2019選擇性）

第一章空間向量與立體幾何過關(guān)測試（時間：120分鐘分值：150分）一、選擇題：共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．已知四面體中，、、兩兩互相垂直，則下列結(jié)論中不成立的是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】、、兩兩垂直，則可得、、，且、、、、，A、B、D選項均正確，故選：C．2．已知??是不共面的三個向量，則能構(gòu)成空間的一個基底的一組向量是（）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】C【解析】對于A，有，則，，共面，不能作為基底，故A不正確；對于B，因為，所以，，共面，不能作為基底，故B不正確；對于D，因為，所以，，共面，不能作為基底，故D不正確，對于C，設(shè)（為不同時為0的實數(shù)），解得與題意不符，所以，，不共面，可以作為基底，故C正確，故選：C.3．若是平面α內(nèi)的兩個向量，則（）A．α內(nèi)任一向量(λ，μ∈R)B．若存在λ，μ∈R使＝，則λ＝μ＝0C．若不共線，則空間任一向量(λ，μ∈R)D．若不共線，則α內(nèi)任一向量(λ，μ∈R)【答案】D【解析】當(dāng)與共線時，A項不正確；當(dāng)與是相反向量，λ＝μ≠0時，＝，故B項不正確；若與不共線，則與、共面的任意向量可以用，表示，對空間向量則不一定，故C項不正確，D項正確．故選：D．4．在長方體中，，，分別為棱，，的中點，，則異面直線與所成角的大小為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】以為坐標(biāo)原點，分別以，，的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖設(shè)，則，，，，所以，，，所以，所以異面直線與所成角的大小為，故選：C5．設(shè),,，且是空間的一個基底，給出下列向量組：①，②，③}，④．其中可以作為空間一個基底的向量組有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】如圖所示，令，，則，，，，.由于A，B1，C，D1四點不共面，可知向量也不共面，同理和也不共面，而共面，故選：C.6．在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】以點為坐標(biāo)原點，以所在的直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，為平面的一個法向量．．∴直線與平面所成角的正弦值為．故選：D．7．如圖：在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點.若，，，則下列向量中與相等的向量是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，，，故選：A.8．在棱長為1的正四面體中，點滿足，點滿足，當(dāng)最短時，（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，∴，，即:，；平面，直線，所以當(dāng)、最短時，平面，，為的中心，為線段的中點，如圖：又正四面體的棱長為1，，平面，，．故選：A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。9．給出下列命題，其中不正確的為（）A．若，則必有與重合，與重合，與為同一線段B．若，則是鈍角C．若，則與一定共線D．非零向量??滿足與，與，與都是共面向量，則??必共面【答案】ABD【解析】A選項，考慮平行四邊形中，滿足，不滿足與重合，與重合，與為同一線段，故A錯，B選項，當(dāng)兩個非零向量?的夾角為時，滿足，但它們的夾角不是鈍角，故B錯，C選項，當(dāng)時，，則與一定共線，故C對，D選項，考慮三棱柱，??，滿足與，與，與都是共面向量，但，，不共面，故D錯，故選ABD.10．已知點P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點，如果，，，下列結(jié)論正確的有（）A． B．C．是平面ABCD的一個法向量 D．【答案】ABC【解析】因為，所以，A正確；因為，所以，B正確；由,，可得是平面ABCD的一個法向量，C正確；BD在平面ABCD內(nèi)，可得，D錯誤．故選：ABC．11．如圖，在菱形中，，，將沿對角線翻折到位置，連結(jié)，則在翻折過程中，下列說法正確的是A．與平面BCD所成的最大角為B．存在某個位置，使得C．當(dāng)二面角的大小為時，D．存在某個位置，使得到平面的距離為【答案】BC【解析】解：選項，取的中點，連接、，則．由題可知，和均為等邊三角形，由對稱性可知，在翻折的過程中，與平面所成的角為，當(dāng)時，為等邊三角形，此時，即選項錯誤；選項，當(dāng)點在平面內(nèi)的投影為的中心點時，有平面，，，又，、平面，平面，平面，，即選項正確；選項，當(dāng)二面角的大小為時：平面平面，，，平面平面，平面，，又，為等腰直角三角形，，即選項正確；選項，點到的距離為，點到的距離為，若到平面的距離為，則平面平面．平面平面，則有垂直平面，即，與是等邊三角形矛盾．故選：．12．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點．則（）A．直線D1D與直線AF垂直 B．直線A1G與平面AEF平行C．平面AEF截正方體所得的截面面積為 D．點C與點G到平面AEF的距離相等【答案】BC【解析】根據(jù)題意，假設(shè)直線D1D與直線AF垂直，又,平面AEF，所以平面AEF,所以,又,所以,與矛盾，所以直線D1D與直線AF不垂直，所以選項A錯誤；因為A1G∥D1F，A1G?平面AEFD1，平面AEFD1，所以A1G∥平面AEFD1，故選項B正確．平面AEF截正方體所得截面為等腰梯形AEFD1，由題得該等腰梯形的上底下底,腰長為，所以梯形面積為，故選項C正確；假設(shè)與到平面的距離相等，即平面將平分，則平面必過的中點，連接交于，而不是中點，則假設(shè)不成立，故選項D錯誤．故選：BC．三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，是空間兩個不共線的向量，已知，，，且A，B，D三點共線，則k＝________.【答案】－8【解析】又A，B，D三點共線，所以，即所以：，解得.故答案為：－814．已知.則使向量與的夾角為鈍角的實數(shù)的取值范圍是____________．【答案】.【解析】與的夾角為鈍角，則，且，即且，解得．故答案為:.15．若，且，則與的夾角的余弦值為________．【答案】1【解析】解：因為，所以，①，因為，所以，②①－②得，所以．33×①＋16×②得，所以．所以．故答案為：116．如圖所示，在三棱柱中，已知是邊長為的正方形，四邊形是矩形，平面平面.若，則直線到面的距離為___________.【答案】【解析】如圖建立空間坐標(biāo)系，設(shè)，，設(shè)面的法向量為，則有，得，直線到面的距離就等于點到面的距離，也等于向量在面的法向量上的投影的絕對.故答案為：.四、解答題：共6小題，其中第1大題10分，其余題目每題12分，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。17．如圖所示，在三棱柱中，平面，，是的中點，.（1）求證：平面平面；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由平面，平面，則，由，是的中點，則，又，∴平面，又平面，∴平面平面；（2）如圖，取的中點，連結(jié)，設(shè)到面的距離為，由題意知：，，，∴，，又，即∴點到平面的距離.18．如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E為棱AA1的中點，AB＝1，AA1＝2．（1）求點B到平面B1C1E的距離；（2）求二面角B1﹣EC1﹣C的正弦值．【答案】（1）；（2）．【解析】解：（1）如圖，以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0，0），B1(1，0，2），C1(1，1，2），E(0，0，1），∴(0，1，0），(﹣1，0，﹣1），(0，0，2），設(shè)平面B1C1E的法向量(u，v，w），則，取u＝1，得(1，0，﹣1），∴點B到平面B1C1E的距離為：d．（2）∵C1(1，1，2），E(0，0，1），C(1，1，0），∴(0，0，2），(﹣1，﹣1，1），設(shè)平面CC1E的法向量(x，y，z），則，取x＝1，得(1，﹣1，0），設(shè)二面角B1﹣EC1﹣C的平面角為θ，則cosθ，∴sinθ，∴二面角B1﹣EC1﹣C的正弦值為．19．如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，已知AB∥DC，AB⊥AD，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AD＝AB＝2DC＝2，F(xiàn)為SB的中點

（1）求異面直線SA與FC所成角的大?。唬?）在棱SB上是否存在點Q，使平面SAC與平面QAC所成的銳二面角為？若存在，求出的大?。蝗舨淮嬖?，請說明理由．【答案】（1）90°；（2）存在，1．【解析】解：（1）∵在四棱錐S﹣ABCD中，已知AB∥DC，AB⊥AD，△SAD是正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，AD＝AB＝2DC＝2，F(xiàn)為SB的中點，∴以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，過A作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），S（0，1，），C（1，2，0），B（2，0，0），F(xiàn)（1，），（0，﹣1，），（0，，），設(shè)異面直線SA與FC所成角為θ（0°＜θ≤90°），則cosθ0，∴θ＝90°．∴異面直線SA與FC所成角的大小為90°；（2）假設(shè)在棱SB上存在點Q（a，b，c），λ，(0≤λ≤1)，使平面SAC與平面QAC所成的銳二面角為，則，即（a，b﹣1，c）＝λ（2，﹣1，），解得a＝2λ，b＝1﹣λ，c，∴Q（2λ，1﹣λ，），（2λ，1﹣λ，），（1，2，0），（0，1，），設(shè)平面ACQ的法向量(x，y，z），則，取x＝2，得，設(shè)平面ASC的法向量(p，q，r），則，取p＝2，得=(2，﹣1，），∵平面SAC與平面QAC所成的銳二面角為，∴，整理得5λ2﹣10λ+4＝0，解得λ或（舍去）．故在棱SB上存在點Q，使平面SAC與平面QAC所成的銳二面角為，此時．20．如圖所示，平面CDEF平面ABCD，且四邊形ABCD為平行四邊形，∠DAB＝45°，四邊形CDEF為直角梯形，EF∥DC，EDCD，AB＝3EF＝3，ED＝a，AD．（1）求證：ADBF；（2）若線段CF上存在一點M，滿足AE∥平面BDM，求的值；【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）∵面CDEF面ABCD，EDCD，面，面面，∴ED面ABCD，面，即，過作于，過作交于，∵CDEF為直角梯形，AB＝3EF＝3，∴，即，則，且，∴，得，即，∴，而，即面，又面，∴，故.（2）以D為原點，過點D垂直于DC的直線為x軸，DC所在直線為y軸，所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖示：∴，若，則，設(shè)，則，設(shè)平面BDM的法向量為，則，取x1＝2，則，若AE∥平面BDM，則，解得，∴線段CF上存在一點M，滿足AE∥平面BDM，此時．21．在多面體中，正方形和矩形互相垂直，、分別是和的中點，．（1）求證：平面．（2）在邊所在的直線上存在一點，使得平面，求的長；【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）因為四邊形為矩形，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以，平面；（2）因為平面，四邊形為正方形，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)點，，，，設(shè)平面的法向量為，由，令，可得，要使得平面，則，所以，