第三節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值最值(要點(diǎn)歸納夯實(shí)基礎(chǔ)練)

第三節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值【要點(diǎn)歸納】一、極值點(diǎn)與極值1．極小值點(diǎn)與極小值：若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其它點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，就把點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．2．極大值點(diǎn)與極大值：若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其它點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，就把點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．3．對(duì)函數(shù)極值概念的理解(1)函數(shù)的極值是一個(gè)局部性的概念，是僅對(duì)某一點(diǎn)的左右兩側(cè)附近的點(diǎn)而言的．(2)極值點(diǎn)是函數(shù)定義域內(nèi)的點(diǎn)，而函數(shù)定義域的端點(diǎn)絕不是函數(shù)的極值點(diǎn)．(3)若f(x)在[a，b]內(nèi)有極值，則f(x)在[a，b]內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在定義域區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)沒(méi)有極值．(4)極大值與極小值沒(méi)有必然的大小關(guān)系．一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極小值和極大值，在某一點(diǎn)的極小值可能大于另一點(diǎn)的極大值，即極小值不一定比極大值小，極大值也不一定比極小值大．(如圖所示)(5)若函數(shù)f(x)在[a，b]上有極值，它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的(如圖所示)，相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn)，同樣相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn)．4．函數(shù)極值的求法求函數(shù)y＝f(x)的極值的方法是：解方程f′(x)＝0，當(dāng)f′(x0)＝0時(shí)(1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么，f(x0)是極大值．(2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么，f(x0)是極小值．5．極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(1)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．(2)不可導(dǎo)點(diǎn)可能是極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)．(3)導(dǎo)數(shù)為0是極值點(diǎn)：y＝x2，y′(0)＝0，x＝0是極小值點(diǎn)．(4)導(dǎo)數(shù)為0但不是極值點(diǎn)：y＝x3，y′(0)＝0，x＝0不是極值點(diǎn)．(5)不可導(dǎo)點(diǎn)是極值點(diǎn)：y＝|sinx|，x＝0不可導(dǎo)，是極小值點(diǎn)．(6)不可導(dǎo)點(diǎn)不是極值點(diǎn)：y＝xeq\f(1,3)，x＝0不可導(dǎo)，不是極值點(diǎn)．6．求可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)極值的步驟(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的所有實(shí)數(shù)根；(3)對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)根進(jìn)行檢驗(yàn)，判斷在每個(gè)根的左右側(cè)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的符號(hào)如何變化．如果f′(x)的符號(hào)由正變負(fù)，則f(x0)是極大值；如果f′(x)的符號(hào)由負(fù)變正，則f(x0)是極小值；如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右側(cè)符號(hào)不變，則f(x0)不是極值．二、最值點(diǎn)與最值1．函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值：假設(shè)函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，則該函數(shù)在[a，b]一定能夠取得最大值與最小值，若函數(shù)在[a，b]內(nèi)是可導(dǎo)的，則該函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)取得．2．求可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟(1)求f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)所有極值點(diǎn)．(2)計(jì)算函數(shù)f(x)在極值點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．3．函數(shù)最值的理解(1)函數(shù)的最值是一個(gè)整體性的概念．函數(shù)極值是在局部上對(duì)函數(shù)值的比較，具有相對(duì)性；而函數(shù)的最值則是表示函數(shù)在整個(gè)定義域上的情況，是對(duì)整個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值的比較．(2)函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間上若存在最大值或最小值，則最大值或最小值只能各有一個(gè)，具有唯一性，而極大值和極小值可能多于一個(gè)，也可能沒(méi)有，例如：常數(shù)函數(shù)就既沒(méi)有極大值也沒(méi)有極小值．(3)極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)處取得，有極值的不一定有最值，有最值的也未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)處取必定是極值．三、常用方法與技巧1．若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；2．若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，且值域?yàn)?，則不等式在區(qū)間D上恒成立．不等式在區(qū)間D上恒成立．3．若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對(duì)不等式有解問(wèn)題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；4．若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（小）值，如值域?yàn)椋瑒t對(duì)不等式有解問(wèn)題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解不等式在區(qū)間D上有解5．對(duì)于任意的，總存在，使得；6．對(duì)于任意的，總存在，使得；7．若存在，對(duì)于任意的，使得；8．若存在，對(duì)于任意的，使得；9．對(duì)于任意的，使得；10．對(duì)于任意的，使得；11．若存在，總存在，使得12．若存在，總存在，使得．【夯實(shí)基礎(chǔ)練】1．(2022?高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(文))函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為()A． B．C．D．【解析】，所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D【答案】D2．(2022?高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(文理同題))當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則()A． B． C． D．1【解析】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋砸李}可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時(shí)取最大值，滿足題意，即有．故選：B.【答案】B3．(2022?北京市一零一中學(xué)高三(下)開(kāi)學(xué)檢測(cè))下列函數(shù)中，不存在極值點(diǎn)的是()A．y＝x+ B．y＝2C．y＝xlnxD．y＝2x3x【解析】由題意函數(shù)，則，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)和；函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值；函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值；函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，沒(méi)有極值點(diǎn).故選：D【答案】D4．(2022?吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三第三次學(xué)科診斷)已知函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A． B． C． D．【解析】易知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，得，即．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，或，所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．因?yàn)楹瘮?shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以直線與函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，作出的圖象如圖所示．由圖得或．當(dāng)時(shí)，恒成立，所以無(wú)極值，所以．故選：A【答案】A5．(2022?黑龍江省哈三中高三一模)已知是定義在R上的偶函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則的解集是()A． B．C． D．【解析】令，因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù)，所以，則，所以函數(shù)也是偶函數(shù)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，不等式即為不等式，由，得，所以，所以，解得或，所以的解集是.故選：B.【答案】B6．(2022?黑龍江省大慶鐵人中學(xué)高三(上)期中)已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則的取值范圍是()A． B．C． D．【解析】由題意在上有解．即在上有解，設(shè)()，，當(dāng)時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以，又，，所以，所以的范圍是．故選：C．【答案】C7．(2022?黑龍江省高三(下)校際聯(lián)合考試)密位制是度量角與弧的常用制度之一，周角的稱為1密位.用密位作為角的度量單位來(lái)度量角與弧的制度稱為密位制.在密位制中，采用四個(gè)數(shù)字來(lái)記角的密位，且在百位數(shù)字與十位數(shù)字之間加一條短線，單位名稱可以省去，如15密位記為“00—15”，1個(gè)平角＝30—00，1個(gè)周角＝60—00，已知函數(shù)，，當(dāng)取到最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x用密位制表示為()A．15—00 B．35—00 C．40—00 D．45—00【解析】由題設(shè)，，在時(shí)，在時(shí)，所以在上遞增，在上遞減，即，故取到最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x用密位制表示為40—00.故選：C【答案】C8．(2022?福建省漳州第一中學(xué)高三第五次階段考)(多選)已知函數(shù)，現(xiàn)給出下列結(jié)論，其中正確的是()A．函數(shù)有極小值，但無(wú)最小值B．函數(shù)有極大值，但無(wú)最大值C．若方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則D．若方程恰有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則【解析】由題意得．令，即，解得或．則當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．所以函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值．又時(shí)，；時(shí)．作出函數(shù)的大致圖象如下圖所示：因此有極小值，也有最小值，有極大值，但無(wú)最大值．若方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則或；若方程恰有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則．故選：BD【答案】BD9．(2022?重慶市第八中學(xué)高三(下)第一次調(diào)研檢測(cè))若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是()A． B．C． D．【解析】由題意可知有兩個(gè)不等根．方程，，有一根．中，另一根滿足方程()，令，，，所以在上單調(diào)遞增．所以，，即．所以．故選：C．【答案】C10．(2022?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三第六次適應(yīng)性訓(xùn)練)若函數(shù)(為常數(shù))存在兩條均過(guò)原點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【解析】由題意得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為：，則過(guò)原點(diǎn)的切線斜率：，整理得：，，存在兩條過(guò)原點(diǎn)的切線，，，存在兩個(gè)不同解，設(shè)，，則問(wèn)題等價(jià)于與存在兩個(gè)不同的交點(diǎn)又，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，的大致圖象如下：若與存在兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，解得：故選：B【答案】B11．(2022?四川省綿陽(yáng)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬)若函數(shù)在處有極值10，則(

)A．6 B． C．或15 D．6或【解析】，，又時(shí)有極值10，，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在處無(wú)極值，不符合題意，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)滿足題意，，故選：B【答案】B12．(2022?四川省綿陽(yáng)二模)若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A． B． C． D．【解析】，若時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，與條件不符合,故滿足題意.當(dāng)時(shí)，由可得或；由可得所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，滿足條件.當(dāng)時(shí)，由可得或；由可得所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，不滿足條件.當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即在上單調(diào)遞增.此時(shí)無(wú)極值.綜上所述：滿足條件故選：A【答案】A13．(2022?吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)高三第二次摸底考試)函數(shù)既有極大值，又有極小值，則的取值范圍是_________．【解析】，，因?yàn)楹瘮?shù)既有極大值，又有極小值，所以，即，，解得或，故的取值范圍為，故答案為：.【答案】14．(2022?華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三(上)綜合測(cè)試)當(dāng)時(shí)，不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【解析】當(dāng)時(shí)，，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，因當(dāng)時(shí)，不等式成立，則有，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【答案】15．(2022?江蘇省徐州模擬)函數(shù)的最小值為_(kāi)____________．【解析】由題可知，函數(shù)為偶函數(shù)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，即恒成立.∴故答案為：1.【答案】16．(2022?河北省模擬)已知，函數(shù)在上的最小值為1，則__________．【解析】由題意得，當(dāng)，即時(shí)，，在上遞增，故，解得；當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增，故，解得，不符合，舍去，綜上，.故答案為：1【答案】117．(2022?重慶市育才中學(xué)高三第五次適應(yīng)性考試)已知函數(shù)(a∈R).(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在區(qū)間(－3,1)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)a＝2時(shí)，由.令，得或，故在，上遞增；令，得，故在上遞減.綜上所述，f(x)在，上遞增；在上遞減.(2)由題設(shè)，由題意知：y＝a與在(－3,1)內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn).由，，則在(－3,1)上遞增.而，，則在(－3,0)上，在(0,1)上，所以在(－3,0)上遞減，在(0,1)上遞增由g(－3)＝6－，g(0)＝1，g(1)＝2e－2，且g(－3)＞g(1).故1＜a＜2e－2時(shí)，y＝a與g(x)＝的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).即f(x)在(－3,1)上存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為(1,2e－2).【答案】(1)在(,－1)，(ln2,)上遞增；在(－1,ln2)上遞減；(2)(1,2e－2).18．(2022?遼寧省名校高三第四次聯(lián)考)已知函數(shù)為偶函數(shù).(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)由題意知函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，所以，解得.(2)由(1)知所以，令，則，其對(duì)稱軸為，①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，由，解得，此時(shí)不滿足，此時(shí)不存在符合題意的值；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，由，解得或，又，所以；③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，由，解得，不滿足，此時(shí)不存在符合題意的值.綜上所述，存在，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.【答案】(1)；(2)存在，.19．(2022?長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三(下)期初考試)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，若關(guān)于的不等式在上有解，求的取值范圍.【解析】(1)由題意知，，令，當(dāng)時(shí)，恒成立，∴當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)