專題20立體幾何中垂直問題的證明

專題20立體幾何中垂直問題的證明先把下面有關(guān)垂直的三類知識點記憶下來，越熟練越好；然后學(xué)習(xí)后面的20道專題，邊學(xué)習(xí)邊思考每道題目使用了哪些知識點。證明直線與直線垂直：1、如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意一條直線。這是證明直線與直線垂直最常用的方法。2、如果兩條平行線中的一條垂直于一條直線，那么另一條也垂直于這條直線。3、三垂線定理及其逆定理。4、勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長是一組勾股數(shù)，則這個三角形是一個直角三角形。5、等腰三角形三線合一：等腰三角形底邊上的中線、頂角角平分線和底邊上的高是同一條線段。6、菱形對角線互相垂直。7、矩形的相鄰兩邊垂直。8、全等或相似三角形中的垂直；具體內(nèi)容見專題。

證明直線與平面垂直：1、如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。2、如果兩個平面垂直，那么其中一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。3、如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。4、如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，那么這條直線也垂直于另一個平面。

證明平面與平面垂直：1、如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面垂直。2、如果二面角的平面角是直角，那么二面角的兩個面所在的平面互相垂直。3、直棱柱的底面垂直于側(cè)面。溫馨提醒：凡是使用三垂線定理或其逆定理證明直線與直線垂直，都可以換成使用直線與平面垂直的性質(zhì)證明直線與直線垂直，如果你沒有學(xué)過三垂線定理，請使用線面垂直的性質(zhì)證明直線與直線垂直。題型一直線與平面垂直1．如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點，．證明：平面；【解答】解：不妨設(shè)圓的半徑為1，，，，，，在中，，故，同理可得，又，故平面；2．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，，，分別為，的中點．（1）證明：平面；（2）證明：平面．【解答】證明：（1）取的中點，連接，．因為，分別為，的中點，所以，．因為底面是菱形，所以，．因為是的中點，所以，，所以，，則四邊形為平行四邊形，所以．因為平面，平面，所以平面．（2）連接．因為底面是邊長為4的菱形，且，所以為等邊三角形，因為是的中點，所以，因為平面，平面，所以，因為，平面，，所以平面．3．如圖，四棱錐的底面為正方形，底面．設(shè)平面與平面的交線為．證明：平面；【解答】證明：過在平面內(nèi)作直線，由，可得，即為平面和平面的交線，平面，平面，，又，，平面，，平面；4．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點，作交于點．（1）求證：平面；（2）求證：平面．【解答】證明：（1）連接，交于點，連接，底面是正方形，是的中點，是的中點，，平面，平面，平面．（2）底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點，，，，，平面，平面，，，平面，平面，，，，平面．5．如圖，在三棱錐V－ABC中，平面VAC⊥平面ABC，△VAC，△ABC都是等腰直角三角形，AB＝BC，AC＝VC，M，N分別為VA，VB的中點．（Ⅰ）求證：AB∥平面CMN；（Ⅱ）求證：AB⊥平面VBC．【解答】證明：（Ⅰ）∵M(jìn)，N分別為VA，VB的中點，∴MN∥AB，∵AB平面CMN，MN?平面CMN，∴AB∥平面CMN．（Ⅱ）∵△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，AB＝BC，AC＝CV＝2，M，N分別為VA，VB的中點．∴AB⊥BC，VC⊥AC，∵平面VAC⊥平面ABC，平面VAC∩平面ABC＝AC，∴VC⊥平面ABC，∵AB?平面ABC，∴AB⊥VC．∵BC∩VC＝C，∴AB⊥平面VBC．6．如圖，在四棱錐中，已知、，，，平面．（1）求證：平面；（2）設(shè)，分別為棱，的中點，點為靠近的四等分點，求證：，，，四點共面．【解答】證明：（1）面，又面，，取中點，連接，則，且，在中，，在中，，，，，平面．（2）取中點，連接，，，，點為靠近的四等分點，為中點，是中點，，是棱的中點，，且，，，，，且，四邊形是平行四邊形，，，，，四點共面．7．如圖，在四棱錐中，，，，，點為的中點，且平面．求證：平面；【解答】解：證明：取的中點，連接，，則，．又，，所以，，則四邊形為平行四邊形，所以．又平面，平面，所以，所以．又，，，平面，所以平面．題型二異面直線垂直相證明8．如圖，在三棱柱中，平面，，，，點，分別在棱和棱上，且，，為棱的中點．求證：；【解答】解：（Ⅰ在三棱柱中，平面，則該三棱柱是個直三棱柱（各側(cè)棱均垂直底面，各側(cè)面均與底面垂直），為為棱的中點，，又平面平面，平面，，；9．已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，分別為和的中點，為棱上的點，．證明：；【解答】證明：連接，，分別為直三棱柱的棱和的中點，且，，，，，，，，即,△ABC為等腰直角三角形.取BC中點G，因為EG∥AB，所以BF⊥EG，又∵△BFC≌△B1GB，故B1G⊥BF∴BF⊥平面EGB1D∵DE平面EGB1D∴BF⊥DE10．在如圖所示的多面體中，點，在矩形的同側(cè)，直線平面，平面平面，且為等邊三角形，，．證明：；【解答】證明：取中點，連接，，．由平面平面，且交線為，平面．又平面，有，，，，四點共面．平面，平面，．又在矩形中，，，，，，．又，平面．平面，．11．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，，，分別為，的中點，，．證明：；【解答】證明：在平行四邊形中，由已知可得，，，，由余弦定理可得，，則，即，又，，平面，而平面，，，；12．已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，分別為和的中點，．（1）求三棱錐的體積；（2）已知為棱上的點，證明：．【解答】解：（1）在直三棱柱中，，又，，，平面，平面，，平面，，又，故，，而側(cè)面為正方形，，，即三棱錐的體積為；（2）證明：如圖，取中點，連接，，設(shè)，點是的中點，點時的中點，，，、、、四點共面，由（1）可得平面，平面，，，且這兩個角都是銳角，，，，又，，平面，平面，又平面，．13．如圖所示，在三棱柱中，，，，點在平面的射影為點．（1）求證：；（2）若點在平面上運動，求的最小值．【解答】（1）證明：因為平面，平面，故，因為；由余弦定理，，故，所以；又，，平面；故平面；而平面，故．（2）解：依題意，的最小值即為點到平面的距離，因為平面，故，，則，，又，故為等邊三角形，則，故，而，故．14．如圖，在三棱臺中，平面平面，，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）證明：作，且交于點，面面，面，，在中，，，，，即是直角三角形，且，，面，面，，在三棱臺中，，．（Ⅱ）設(shè)，則，，在中，，，在中，，作于，，面，面，，是直角三角形，且，設(shè)與面所成角為，則即為與面的夾角，且，在中，，，．15．如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點．（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積．【解答】解：（1）證明：因為，為的中點，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以；（2）過作，交于點，過作于點，連結(jié)，由題意可知，，又平面所以平面，又平面，所以，又，所以平面，又平面，所以，則為二面角的平面角，即，又，所以，則，故，所以，因為，則，所以，則，所以，則，所以．題型三平面與平面垂直16．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為的中點，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．【解答】（1）證明：底面，平面，，又，，，平面．平面．平面，平面平面；（2）解：由底面，即為四棱錐的高，是直角三角形；底面是矩形，，為的中點，且．設(shè)，取的中點為．作交于，連接，，，可得，，那么．且．，，．是直角三角形，根據(jù)勾股定理：，則；由是直角三角形，可得，解得．底面的面積，則四棱錐的體積．17．在三棱柱中，，平面，，分別是，的中點．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面．【解答】證明：（1），分別是，的中點．所以，因為平面，平面，所以平面；（2）因為平面，平面，所以，又因為，，平面，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面．18．如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點，．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，圓錐的側(cè)面積為，求三棱錐的體積．【解答】解：（1）連接，，，是底面的內(nèi)接正三角形，所以．是圓錐底面的圓心，所以：，所以，所以，由于，所以，所以，，由于，所以平面，由于平面，所以：平面平面．（2）設(shè)圓錐的底面半徑為，圓錐的母線長為，所以．由于圓錐的側(cè)面積為，所以，整理得，解得．所以．由于，解得則：．19．在四棱錐中，底面是正方形，若，，．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）證明：中，，，，所以，所以；又，，平面，平面，所以平面；又平面，所以平面平面．（Ⅱ）解：設(shè)的中點為，連接、，如圖所示：根據(jù)題意知，，，，，中，，，，因此根據(jù)三射線定理知，二面角的大小滿足：，即，解得．20．如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，，分別為，的中點，為上一點．過和的平面交于，交于．（1）證明：，且平面平面；（2）設(shè)為△的中心．若，平面，且，求四棱錐的體積．【解答】證明：（1）由題意知，又側(cè)面是矩形且，分別為，的中點，，，，，又底面是正三角形，，，又，平面，平面，平面平面；解：（2）平面，平面，平面平面，，，，為△的中心，，，，過作，垂足為，平面平面，平面平面，平面，平面，在等邊三角形中，即，由（1）可知四邊形為梯形，四邊形的面積為，，，，．21．圖1是由矩形