第7講平面向量的奔馳定理與四心問題（原卷版）

第7講平面向量的奔馳定理與四心問題【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：三角形重心的概念及向量表示①重心的概念：三角形各邊中線的交點(diǎn)叫做重心，重心分中線長(zhǎng)度的比為2：1．②重心的向量表示：如圖所示在中，為重心證明：，所以③重心坐標(biāo)公式，設(shè)，，，則△ABC的重心坐標(biāo)為.考點(diǎn)二：三角形垂心的概念及向量表示①垂心的概念：三角形各邊上高線的交點(diǎn)叫做垂心．②垂心的向量表示：如圖所示在中，為重心證明：因?yàn)?，所以，所以，同理可得，，所以為重心考點(diǎn)三：三角形內(nèi)心的概念及向量表示①內(nèi)心的概念：三角形各角平分線的交點(diǎn)叫做內(nèi)心，內(nèi)心也為三角形內(nèi)切圓的圓心．②內(nèi)心的向量表示：如圖所示在中，為重心且考點(diǎn)四：三角形外心的概念及向量表示①外心的概念：三角形各邊中垂線的交點(diǎn)叫做外心，外心也為外接圓的圓心．②外心的向量表示：若為內(nèi)一點(diǎn)，則為的外心.考點(diǎn)五：奔馳定理奔馳定理：若為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則、、的面積之比等于考點(diǎn)六：三角形四心與奔馳定理的關(guān)系及證明①是的重心：．證明：由重心分三角形面積相等及奔馳定理易得②是的內(nèi)心：證明：，，（為內(nèi)切圓的半徑），所以，再由奔馳定理可得③是的外心：．證明：，由同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半可得，所以（為外接圓的半徑），同理可得，，所以，再由奔馳定理可得④是的垂心：證明：如圖為的垂心，則有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔馳定理可得【題型目錄】題型一：四心的向量表示題型二：奔馳定理的應(yīng)用【典型例題】題型一：四心的向量表示【例1】已知，，在所在的平面內(nèi)，且，且，則，，分別是的A．重心外心垂心 B．重心外心內(nèi)心 C．外心重心垂心 D．外心重心內(nèi)心【例2】已知點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的（

）A．內(nèi)心 B．垂心 C．外心 D．重心【例3】設(shè)為的外心，若，則是的（

）A．重心（三條中線交點(diǎn)） B．內(nèi)心（三條角平分線交點(diǎn)）C．垂心（三條高線交點(diǎn)） D．外心（三邊中垂線交點(diǎn)）【例4】已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一定點(diǎn)，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的（

）A．重心 B．垂心 C．內(nèi)心 D．外心【例5】點(diǎn)為所在的平面內(nèi)，給出下列關(guān)系式：①；②且；③.則點(diǎn)依次為的（

）A．內(nèi)心、重心、垂心 B．重心、內(nèi)心、垂心 C．重心、內(nèi)心、外心 D．外心、垂心、重心【例6】是所在平面上的一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，，則點(diǎn)形成的圖形一定通過的垂心．（填外心或內(nèi)心或重心或垂心）【例7】點(diǎn)是平面上一定點(diǎn)，、、是平面上的三個(gè)頂點(diǎn)，、分別是邊、的對(duì)角，以下命題正確的是①②③④⑤（把你認(rèn)為正確的序號(hào)全部寫上）．①動(dòng)點(diǎn)滿足，則的重心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；②動(dòng)點(diǎn)滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；③動(dòng)點(diǎn)滿足，則的重心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；④動(dòng)點(diǎn)滿足，則的垂心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；⑤動(dòng)點(diǎn)滿足，則的外心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中．【題型專練】1.在中，非零向量、、滿足，則點(diǎn)是的（

）A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心2.設(shè)O是所在平面內(nèi)一定點(diǎn),P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),若,則點(diǎn)O是的A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心3．已知O是所在平面上的一點(diǎn),角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若（其中P是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)），則O點(diǎn)是的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心4．已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，向量滿足條件，且，則是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形5．（多選題）已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P一定不是（

）A．邊中線的中點(diǎn)B．邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）C．的重心D．邊的中點(diǎn)6．設(shè)O為所在平面上一點(diǎn)，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則正確的（

）A．O為的外心B．O為的重心C．O為的垂心D．O為的內(nèi)心7．已知所在的平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足，則直線一定經(jīng)過的A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心8．（1）已知是平面上的一定點(diǎn)，，，是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足，，則點(diǎn)的軌跡一定通過的重心（填“內(nèi)心”“外心”“重心”或“垂心”．（2）已知是平面上的一定點(diǎn)，，，是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足，，則點(diǎn)的軌跡一定通過的．（填“內(nèi)心”“外心”“重心”或“垂心”題型二：奔馳定理【例1】（多選題）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，、、的面積分別為、、，則.若是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，、、是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)滿足，則（

）A．為的垂心B．C．D．【例2】設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則的面積與的面積的比值為（

）A． B． C． D．【例3】已知O為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則的面積與的面積的比值為（

）A． B． C． D．【例4】生于瑞士的數(shù)學(xué)巨星歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中有這樣一個(gè)定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上．”這就是著名的歐拉線定理，在中，分別是外心、垂心和重心，為邊的中點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）正確的個(gè)數(shù)為A． B． C． D．【例5】已知，為中不同的兩點(diǎn)，若，，則為（

）A． B． C． D．【題型專練】1.（多選題）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若、是銳角內(nèi)的點(diǎn)，、、是的三個(gè)內(nèi)角，且滿足，，則（

）A．B．C．D．2．已知所在平面內(nèi)的一點(diǎn)滿足，則（

）A．1∶2∶3 B．1∶2∶1 C．2∶1∶1 D．1∶1∶23.已知是內(nèi)的一點(diǎn)，若的面積分別記為，則.這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則（

）A． B． C． D．4．（多選題）已知的重心為，過點(diǎn)的直線與邊，的交點(diǎn)分別為，，若，且與的面積之比為，則的可能取值為（

）A． B． C． D．35．（多選題）點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，（

）A．若動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的垂心B．若動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的重心C．若，，分別表示，的面積，則D．已知三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，若，則點(diǎn)為的內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心）6.在中，是直線上的點(diǎn).若，記的面積為，的面積為，則（

）A． B． C． D．7．（多選題）已知點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．直線必過邊的中點(diǎn)C． D．若且，則8．已知為的重心，過點(diǎn)的直線與邊分別相交于點(diǎn)，若,則與的面積之比為_____.9.如圖，為內(nèi)任意一點(diǎn)