專題3-7平面向量線性運(yùn)算及模與數(shù)量積最值歸類（原卷版）

專題3.7平面向量線性運(yùn)算及模與數(shù)量積最值一、知識梳理與二級結(jié)論二、熱考題型歸納【題型一】向量坐標(biāo)：平行【題型二】三點共線向量法求參【題型三】平行與三角函數(shù)恒等變形【題型四】數(shù)量積：坐標(biāo)法【題型五】坐標(biāo)運(yùn)算求向量夾角【題型六】數(shù)量積：求模型【題型七】復(fù)合型夾角計算型【題型八】向量線性運(yùn)算：雞爪型運(yùn)算【題型九】線性運(yùn)算：“中點”風(fēng)帆型【題型十】線性運(yùn)算：四邊形計算型【題型十一】線性運(yùn)算：兩線交點型【題型十二】投影計算【題型十三】平行型最值：均值【題型十四】求夾角型最值【題型十五】投影行最值【題型十六】數(shù)量積型最值三、高考真題對點練四、最新?？碱}組練知識梳理與二級結(jié)論一、向量的概念：具有大小和方向的量稱為向量.(沒有位置、不能比較大小)(1)數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大??；向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.二、向量的表示方法：①具有方向的線段，叫做有向線段，以為始點，為終點的有向線段記作，的長度記作.用有向線段表示向量，讀作向量；(有向線段的三要素：起點、方向、長度)②用小寫字母表示：、.(印刷時，用黑體小寫字母，手寫時，小寫字母要帶箭頭)三、向量與有向線段的區(qū)別和聯(lián)系：①向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關(guān)，只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；②有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段；③向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段.向量是規(guī)定了大小和方向的量，有向線段是規(guī)定了起點和終點的線段.四、向量的模：向量的大小――長度稱為向量的模，記作.(能比較大小)五、零向量：長度等于零、方向是任意的向量，記作.(注意與的含義與書寫區(qū)別)六、單位向量：長度為一個單位長度的向量.與非零向量共線的單位向量.說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.七、平行向量：(1)若非零向量、的方向相同或相反，則，又叫共線向量；(2)規(guī)定與任一向量平行.說明：綜合(1)(2)才是平行向量的完整定義；三點、、共線、共線；向量平行無傳遞性，即，不能推出(可能為).注意：共線向量僅僅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同.（3）、共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量，這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上(與有向線段的起點無關(guān)).說明：①平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；②共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.八、相等向量：若非零向量、方向相同且模相等，則向量、是相等向量.(1)相等向量：模相等，方向相同；(2)相反向量：模相等，方向相反.說明：任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關(guān).九、求平面向量夾角的方法：（1）定義法：利用向量數(shù)量積的定義得，其中兩向量的取值范圍是；（2）坐標(biāo)法：若非零向量、，則.熱點考題歸納【題型一】向量坐標(biāo)：平行【典例分析】1.（2023春·北京海淀·高三統(tǒng)考）已知向量，則下列向量中與平行的單位向量是（

）A． B． C． D．2.（2020秋·江蘇蘇州·高三蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，，若，則的值為（

）A． B．7 C． D．以上結(jié)果都不對【提分秘籍】共線向量：共線定理：a∥b?___a＝λb___?___x1y2＝x2y1_； 【變式演練】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，且，則實數(shù)m的值（

）A． B．1 C． D．2.（2023春·江蘇宿遷·高三統(tǒng)考）已知向量，，若，則實數(shù)的值為（

）A． B．C． D．3.（2021秋·上海浦東新·高三華師大二附中?？迹┮阎蛄?，，，則“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【題型二】三點共線向量法求參【典例分析】1.（2023春·河北邯鄲·高三統(tǒng)考）已知向量，，，若B，C，D三點共線，則（

）A．－16 B．16 C． D．2.（2022春·高三?？颊n時練習(xí)）已知A，B，C是三角形的三個頂點，且向量，則實數(shù)m滿足的條件為.【提分秘籍】1.用向量法求三點共線，則任何兩點所對應(yīng)的向量都互相平行。2.共線第二定理：若A、B、C三點共線?eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))且x＋y＝1．【變式演練】1.（2023春·江蘇泰州·高三?？迹┰O(shè)，為平面內(nèi)一個基底，已知向量，，，若A，B，D三點共線，則的值是（

）A． B． C． D．2.（2022春·安徽滁州·高三?？迹┰O(shè)O是坐標(biāo)原點，已知=(k，12)，=(10，k)，=(4，5)，若A，B，C三點共線，則實數(shù)k的值為.3.（2022·高三課時練習(xí)）已知，，，且相異三點、、共線，則實數(shù).【題型三】平行與三角函數(shù)恒等變形【典例分析】1.（2023·廣西梧州·蒼梧中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，，，若，則（

）A． B． C． D．2.（2023春·黑龍江七臺河·高三勃利縣高級中學(xué)?？计谥校┮阎鰽BC的三邊分別是a，b，c，設(shè)向量＝(sinB－sinA，a＋c)，＝(sinC，a＋b)，且∥，則B的大小是（）A． B．C． D．【變式演練】1.（2023秋·浙江杭州·高三杭十四中?？迹┑娜齼?nèi)角，，所對邊長分別是，，，設(shè)向量，，若，則角的大小為（

）A． B． C． D．2.（2020·高三課時練習(xí)）已知向量，，若與共線，則的值為A． B． C． D．3.（2020春·四川成都·高三校考階段練習(xí)）已知中內(nèi)角的對邊分別為，向量，，為銳角且∥，．若，則的周長為．【題型四】數(shù)量積：坐標(biāo)型【典例分析】1.（2022春·江蘇淮安·高三校聯(lián)考期中）已知平面向量，滿足，，且，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．2 D．32.（2023秋·四川成都·高三石室中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，，則的值是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】向量數(shù)量積計算公式：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2【變式演練】1.（2023秋·湖南常德·高三?？茧A段練習(xí)）已知則（

）A．(0，34，10) B．(3，19，7) C．44 D．232.（2023秋·廣東珠?！じ呷楹Ｊ械诙袑W(xué)校考階段練習(xí)）已知向量，且，則（

）A．2 B．1 C．0 D．3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，且，則實數(shù)（

）A．1 B．0 C．1 D．任意實數(shù)【題型五】坐標(biāo)運(yùn)算求向量夾角【典例分析】1.（2022·河北·衡水市冀州區(qū)滏運(yùn)中學(xué)高三期末）已知點，，，，則向量與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．2.（2022·江蘇·金陵中學(xué)模擬預(yù)測）已知向量，，，則向量與向量的夾角為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】求平面向量夾角的方法：（1）定義法：利用向量數(shù)量積的定義得，其中兩向量的取值范圍是；（2）坐標(biāo)法：若非零向量、，則.【變式演練】1.（2022·全國·高三專題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，若，，與的夾角為，則的值為（

）A．1 B． C．或 D．17或2.（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知平面向量，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．3.（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知為整數(shù)，且，設(shè)平面向量與的夾角為，則的概率為（

）A． B． C． D．【題型六】數(shù)量積：求模型【典例分析】1.（2023秋·上海浦東新·高三校考階段練習(xí)）已知向量，，若，則．2.（2023秋·山東德州·高三校考階段練習(xí)）已知非零向量滿足，則與的夾角為.【提分秘籍】向量求模運(yùn)算公式：1.|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))2.【變式演練】1.（2023秋·江蘇·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知同一平面內(nèi)的單位向量，滿足，則．2.（2023秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量，滿足，且，則與的夾角為．3.（2021秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第一中學(xué)校校考）設(shè)，，滿足，且，，，則.【題型七】復(fù)合型夾角計算型【典例分析】1.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則向量與的夾角為（

）A．90° B．60° C．30° D．0°2.（2022·河北邯鄲·二模）若向量，滿足，，且，則向量與夾角的余弦值為（

）.A． B． C． D．【提分秘籍】復(fù)合型向量夾角計算，和簡單向量夾角計算一樣，多了一個復(fù)雜的求分母計算cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))【變式演練】1.（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）設(shè)向量，，則與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．2.（2022·陜西·西安建筑科技大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）已知向量，若與垂直，則與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．3.．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知、、均為單位向量，且，則、之間夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【題型八】向量線性運(yùn)算基礎(chǔ)：雞爪型運(yùn)算【典例分析】1.如圖，在中，為線段上的一點，，且，則（

）A． B．C． D．2.．已知為所在平面內(nèi)一點，且滿足，則（

）A． B．C． D．【提分秘籍】雞爪型是向量線性運(yùn)算基礎(chǔ)：

若D點在BC線段上，且滿足,則有【變式演練】1.在中，D為中點，連接，若，則的值為（

）A． B． C． D．12.在中，點是邊上一點，若，則實數(shù)（

）A． B． C． D．3.如圖，在△OAB中，點P在邊AB上，且．則（

）A． B．C． D．【題型九】線性運(yùn)算：“中點”風(fēng)帆型計算【典例分析】1.如圖，在中，，，P為CD上一點，且滿足，若，，則的值為（

）A． B． C．1 D．22.在中，為中點，為中點，則下列結(jié)論中不可能成立的是（

）A． B．C． D．【變式演練】1.已知是邊長為2的等邊三角形，點在線段上，，點在線段上，且與的面積相等，則的值為（

）A． B． C． D．2.如圖，在中，，，若，則的值為（

）A． B． C． D．3.如圖，在中，是的中點，若，則（

）A． B．1 C． D．【題型十】線性運(yùn)算：四邊形計算型【典例分析】1.已知在平行四邊形中，，線段交于點O，則=（

）A． B． C． D．2.在平行四邊形中，對角線與交于點為中點，與交于點，若，則（

）A． B． C． D．【提分秘籍】四邊形基底線性運(yùn)算，可以用基底推導(dǎo)，也可以通過特殊化構(gòu)造坐標(biāo)系設(shè)點計算【變式演練】1.在平行四邊形中，點在邊上，點在邊上，且，，點為線段的中點，記，則（

）A． B．C． D．2.（2023秋·江西南昌·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是對角線AC上靠近點的三等分點，點F在BE上且為中點，若，則（

）

A． B． C． D．3.．（2023春·甘肅天水·高三天水市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形是平行四邊形，點分別為的中點，若以向量為基底表示向量，則下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．【題型十一】線性運(yùn)算：兩線交點型【典例分析】1．中，點M是BC的中點，點N為AB上一點，AM與CN交于點D，且，.則（

）.A． B． C． D．2.．（2021·北京·高三強(qiáng)基計劃）如圖，已知為中的平分線．過點A作的垂線，過點C作交于點E．若與交于點F，且，則（

）A． B． C． D．以上答案都不對【變式演練】1.（2023·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，D是BC邊中點，CP的延長線與AB交于AN，則（

）A． B． C． D．2.（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，其中，，若AM與BN相交于點Q，且，則（

）A． B． C． D．3.（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）在中，點是上一點，且，是中點，與交點為，又，則（

）

A． B． C． D．【題型十二】投影計算【典例分析】1.（2023秋·廣東汕頭·高三汕頭市金禧中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，點，則向量在方向上的投影為．2.（2023春·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，滿足，在方向上的數(shù)量投影為，則的最小值為．【提分秘籍】a在b方向上的投影為：|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)【變式演練】1.（2023秋·四川綿陽·高三綿陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為實數(shù)，，則向量在向量方向上的投影為.2.（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若，，，則在上投影向量的模為．3.（2023秋·上海楊浦·高三上海市控江中學(xué)校考階段練習(xí)）已知平面向量，滿足，且向量，的夾角為，則在方向上的數(shù)量投影為.【題型十三】平行型最值：均值【典例分析】1.（2023春·四川眉山·高三?？计谥校┮阎蛄?，且，則的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．42.（2022·寧夏吳忠·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，且則的最小值是（

）A．3 B．C．4 D．【提分秘籍】要注意其必須滿足的三個條件：“一正二定三相等”(1)“一正”就是各項必須為正數(shù)；(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方．如果等號成立的條件滿足不了，說明函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間單調(diào)，可以利用單調(diào)性求最值或值域．【變式演練】1.（2021春·安徽蚌埠·高三蚌埠二中?？计谥校┮阎蛄?，，且，若，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．42.（2020·江西南昌·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，，且．若、均為正數(shù)，則的最大值是（

）A． B． C． D．3.（2023秋·北京·高三北師大二附中?？茧A段練習(xí)）已知向量，若，則的最小值為（

）.A．12 B． C．16 D．【題型十四】求夾角型最值【典例分析】1.平面向量，滿足，且，則與夾角的余弦值的最大值是（

）A． B． C． D．2.．已知是單位向量，且的夾角為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式演練】1.．已知非零向量，的夾角為，，且，則夾角的最小值為（

）A． B． C． D．2.已知單位向量，，若對任意實數(shù)，恒成立，則向量，的夾角的取值范圍為（

）A． B．C． D．3.已知平面向量，，，滿足，，則當(dāng)與的夾角最大時，的值為（

）A． B． C． D．【題型十五】投影型最值【典例分析】1.已知平面向量,若,則在上投影向量的模長的最小值為（

）A． B． C． D．2.在中，已知，，，若，且，則在上的投影向量為（為與同向的單位向量），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式演練】1.已知菱形的邊長為1，設(shè)，若恒成立，則向量在方向上數(shù)量投影的取值范圍是（

）A． B． C． D．2.如圖，已知點P是圓上的一個動點，點Q是直線上的一個動點，為坐標(biāo)原點，則向量在向量上的投影的最大值是（

）A． B．3 C． D．3.已知點為圓上動點，為坐標(biāo)原點，則向量在向量方向上投影的最大值為（

）A． B． C． D．【題型十六】數(shù)量積型最值【典例分析】1.（2023秋·江西撫州·高三江西省樂安縣第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在平面四邊形ABCD中，，若P為邊BC上的一個動點，則的最小值是（

）A． B． C． D．2.（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知長方形ABCD的邊長，P，Q分別是線段BC，CD上的動點，，則的最小值為（

）A． B．C． D．【變式演練】1.（2023秋·河北保定·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知邊長為2的菱形中，點為上一動點，點滿足，，則的最大值為（

）A．0 B． C． D．32.（2024秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知定點，為坐標(biāo)原點，點是圓上的一點，且圓的半徑為，則的最大值為（

）A． B． C． D．3.（2023春·北京石景山·高三北京市第九中學(xué)?？迹┤鐖D，，是半徑為的圓上的兩點，且若是圓上的任意一點，則的最大值為（

）

A． B． C． D．高考真題對點練1．（山東·高考真題）已知空間向量且，，，則一定共線的三點是（

）A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D2．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．0 D．13．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．54．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量，則（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．6．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．7．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．8．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．29．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．510．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．

11．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）在中，點D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．最新?？颊骖}1.（2022秋·江西贛州·高三校聯(lián)考）向量，，，若，且，則的值為（

）A．2 B． C．3 D