圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題復(fù)習(xí)

...wd......wd......wd...《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)一、圓的概念集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長的點(diǎn)的集合；3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓；〔補(bǔ)充〕2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線〔也叫中垂線〕；3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線；4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓內(nèi)；2、點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓上；3、點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓外；三、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離無交點(diǎn)；2、直線與圓相切有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線與圓相交有兩個(gè)交點(diǎn)；四、圓與圓的位置關(guān)系外離〔圖1〕無交點(diǎn)；外切〔圖2〕有一個(gè)交點(diǎn)；相交〔圖3〕有兩個(gè)交點(diǎn)；內(nèi)切〔圖4〕有一個(gè)交點(diǎn)；內(nèi)含〔圖5〕無交點(diǎn)；五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。推論1：〔1〕平分弦〔不是直徑〕的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；〔2〕弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??；〔3〕平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧以上共4個(gè)定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即：①是直徑②③④弧?、莼』≈腥我?個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在⊙中，∵∥∴弧弧六、圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論，即：①；②；③；④弧弧七、圓周角定理1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。即：∵和是弧所對(duì)的圓心角和圓周角∴2、圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等弧；即：在⊙中，∵、都是所對(duì)的圓周角∴推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑。即：在⊙中，∵是直徑或∵∴∴是直徑推論3：假設(shè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。即：在△中，∵∴△是直角三角形或注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．八、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即：在⊙中，∵四邊形是內(nèi)接四邊形∴九、切線的性質(zhì)與判定定理〔1〕切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵且過半徑外端∴是⊙的切線〔2〕性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑〔如上圖〕推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。推論2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：即：①過圓心；②過切點(diǎn)；③垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。十、切線長定理切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：∵、是的兩條切線∴平分十一、圓冪定理〔1〕相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在⊙中，∵弦、相交于點(diǎn)，∴〔2〕推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。即：在⊙中，∵直徑，∴〔3〕切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。即：在⊙中，∵是切線，是割線∴〔4〕割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等〔如上圖〕。即：在⊙中，∵、是割線∴十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦。如圖：垂直平分。即：∵⊙、⊙相交于、兩點(diǎn)∴垂直平分十三、圓的公切線兩圓公切線長的計(jì)算公式：〔1〕公切線長：中，；〔2〕外公切線長：是半徑之差；內(nèi)公切線長：是半徑之和。十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算〔1〕正三角形在⊙中△是正三角形，有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)展：；〔2〕正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)展，：〔3〕正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)展，.十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式1、扇形：〔1〕弧長公式：；〔2〕扇形面積公式：：圓心角：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑：扇形弧長：扇形面積2、圓柱：〔1〕圓柱側(cè)面展開圖=〔2〕圓柱的體積：〔2〕圓錐側(cè)面展開圖〔1〕=〔2〕圓錐的體積：典型例題例1．兩個(gè)同樣大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如圖1所示〔點(diǎn)O，O′是圓心〕，分隔兩個(gè)肥皂泡的肥皂膜PQ成一條直線，TP、NP分別為兩圓的切線，求∠TPN的大小．例2．如圖，AB為⊙O直徑，E是中點(diǎn)，OE交BC于點(diǎn)D，BD=3，AB=10，則AC=_____．例3．如圖，⊙O的直徑為10，圓心O到弦AB的距離OM的長為3，則弦AB的長是〔〕例4．如圖，在⊙O中，AB、CD是兩條弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別為EF．〔1〕如果∠AOB=∠COD，那么OE與OF的大小有什么關(guān)系為什么〔2〕如果OE=OF，那么與的大小有什么關(guān)系A(chǔ)B與CD的大小有什么關(guān)系為什么∠AOB與∠COD呢例5．如圖3和圖4，MN是⊙O的直徑，弦AB、CD相交于MN上的一點(diǎn)P，∠APM=∠CPM．〔1〕由以上條件，你認(rèn)為AB和CD大小關(guān)系是什么，請(qǐng)說明理由．〔2〕假設(shè)交點(diǎn)P在⊙O的外部，上述結(jié)論是否成立假設(shè)成立，加以證明；假設(shè)不成立，請(qǐng)說明理由．例6如圖，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，假設(shè)∠BAC=80°，則∠BOC=〔〕A．130°B．100°C．50°D．65°例7．如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，D在AB的延長線上，且∠DCB=∠A．〔1〕CD與⊙O相切嗎如果相切，請(qǐng)你加以證明，如果不相切，請(qǐng)說明理由．〔2〕假設(shè)CD與⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半徑．_A_y__A_y_x_O〔1〕假設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為〔4，0〕，⊙B半徑為3，試判斷⊙A與⊙B位置關(guān)系；〔2〕假設(shè)⊙B過M〔－2，0〕且與⊙A相切，求B點(diǎn)坐標(biāo)．例9．如圖，正六邊形ABCDEF，其外接圓的半徑是a，求正六邊形的周長和面積．例10．在直徑為AB的半圓內(nèi)，劃出一塊三角形區(qū)域，如以以下圖，使三角形的一邊為AB，頂點(diǎn)C在半圓圓周上，其它兩邊分別為6和8，現(xiàn)要建造一個(gè)內(nèi)接于△ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如圖24－94的設(shè)計(jì)方案是使AC=8，BC=6．〔1〕求△ABC的邊AB上的高h(yuǎn)．〔2〕設(shè)DN=x，且，當(dāng)x取何值時(shí)，水池DEFN的面積最大〔3〕實(shí)際施工時(shí)，發(fā)現(xiàn)在AB上距B點(diǎn)1．85的M處有一棵大樹，問：這棵大樹是否位于最大矩形水池的邊上如果在，為了保護(hù)大樹，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出另外的方案，使內(nèi)接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開大樹．例11．操作與證明：如以以下圖，O是邊長為a的正方形ABCD的中心，將一塊半徑足夠長，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋局部的總長度為定值a．例12．扇形的圓心角為120°，面積為300cm2．〔1〕求扇形的弧長；〔2〕假設(shè)將此扇形卷成一個(gè)圓錐，則這個(gè)圓錐的軸截面面積為多少例13、如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，OD⊥BC于E，交于D．(1)請(qǐng)寫出五個(gè)不同類型的正確結(jié)論；(2)假設(shè)BC=8，ED＝2，求⊙O的半徑．例14.：如圖等邊內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)是劣弧PC上的一點(diǎn)〔端點(diǎn)除外〕，延長至，使，連結(jié)．〔1〕假設(shè)過圓心，如圖①，請(qǐng)你判斷是什么三角形并說明理由．〔2〕假設(shè)不過圓心，如圖②，又是什么三角形為什么AOCDAOCDPB圖①AOCDPB圖②例15.如圖，四邊形內(nèi)接于⊙O，是⊙O的直徑，，垂足為，平分．DECBDECBOA〔2〕假設(shè)，求的長．例16、如圖，在⊙O中，AB=，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于F，∠A=30°.(1)求圖中陰影局部的面積；(2)假設(shè)用陰影扇形OBD圍成一個(gè)圓錐側(cè)面，請(qǐng)求出這個(gè)圓錐的底面圓的半徑.O①②③例17.O①②③〔1〕求這個(gè)扇形的面積〔結(jié)果保存〕．〔2〕在剩下的三塊余料中，能否從第③塊余料中剪出一個(gè)圓作為底面與此扇形圍成一個(gè)圓錐請(qǐng)說明理由．〔3〕當(dāng)⊙O的半徑為任意值時(shí)，〔2〕中的結(jié)論是否仍然成立請(qǐng)說明理由．例18.(1)如圖OA、OB是⊙O的兩條半徑，且OA⊥OB，點(diǎn)C是OB延長線上任意一點(diǎn)：過點(diǎn)C作CD切⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)AD交DC于點(diǎn)E．求證：CD=CE(2)假設(shè)將圖中的半徑OB所在直線向上平行移動(dòng)交OA于F，交⊙O于B’，其他條件不變，那么上述結(jié)論CD=CE還成立嗎?為什么?(3)假設(shè)將圖中的半徑OB所在直線向上平行移動(dòng)到⊙O外的CF，點(diǎn)E是DA的延長線與CF的交點(diǎn)，其他條件不變，那么上述結(jié)論CD=CE還成立嗎?為什么例19、〔2010山東德州〕如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC中點(diǎn)，AE平分∠BADBACDEGOF交BACDEGOF〔1〕求證：BC與⊙O相切；〔2〕當(dāng)∠BAC=120°時(shí)，求∠EFG的度數(shù)．例20、〔2010廣東廣州〕如圖，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，弦AB垂直平分線段OP，點(diǎn)D是上任一點(diǎn)〔與端點(diǎn)A、B不重合〕，DE⊥AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)D為圓心、DE長為半徑作⊙D，分別過點(diǎn)A、B作⊙D的切線，兩條切線相交于點(diǎn)C．CPDOCPDOBAE〔2〕判斷∠ACB是否為定值，假設(shè)是，求出∠ACB的大?。环駝t，請(qǐng)說明理由；〔3〕記△ABC的面積為S，假設(shè)＝4，求△ABC的周長.例21．〔2010江西〕“6〞字形圖中，F(xiàn)M是大圓的直徑，BC與大圓相切于B，OB與小圓相交于A，BC∥AD，CD∥BＨ∥ＦＭ，BC∥DG，ＤＨ∥ＢＨ于H，設(shè)，〔１〕求證：AD是小圓的切線；〔２〕在圖中找出一個(gè)可用表示的角，并說明你這樣表示的理由；〔３〕當(dāng)，求DH的長例22.〔2010江蘇泰州，28，12分〕在平面直角坐標(biāo)系中，直線〔k為常數(shù)且k