2025年春九年級數(shù)學(xué)下冊 期中綜合測試卷（北師山西版）

年春九年級數(shù)學(xué)下冊期中綜合測試卷（北師山西版）一、選擇題(每題3分，共30分)題序12345678910答案1.[2024長治期末]在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，則cosA的值為()A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(4,3)D.eq\f(3,4)2．直角三角形的一條直角邊長8cm，它所對的角的度數(shù)為30°，則斜邊長()A．2cmB．4cmC．2eq\r(3)cmD．16cm3．已知α為銳角，sin(α－20°)＝eq\f(\r(3),2)，則α的度數(shù)為()A．20°B．40°C．60°D．80°4．[2024晉城聯(lián)考]關(guān)于二次函數(shù)y＝x2－2x－4的圖象，下列說法中錯誤的是()A．當(dāng)x<2時，y隨x的增大而減小B．函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝1C．函數(shù)圖象與y軸的交點坐標(biāo)是(0，－4)D．函數(shù)圖象的開口向上5.如圖，CD是一個平面鏡，光線從點A射出經(jīng)CD上的點E反射后照射到點B，設(shè)入射角為α(入射角等于反射角)，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分別為C，D.若AC＝3，BD＝6，CD＝12，則tanα的值為()A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5)D.eq\f(3,5)6．反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的圖象位于第二、四象限內(nèi)，則二次函數(shù)y＝kx2－2x的大致圖象是()7．[2024呂梁期末]如圖，將矩形ABCD繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形A′B′CD′，此時點B′恰好落在邊AD上，若點B′是AD的中點，則∠DCD′的度數(shù)為()A．30°B．45°C．60°D．80°8．在二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如下表：x－3－2－1123456y－14－7－22mn－7－14－23則m，n的大小關(guān)系為()A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．無法比較9．“科教興國，強(qiáng)國有我”．某中學(xué)在科技實驗活動中，設(shè)計制作了“水火箭”升空實驗，已知“水火箭”的升空高度h(m)與飛行時間t(s)滿足函數(shù)表達(dá)式h＝at2＋bt＋1.已知“水火箭”飛行3s和飛行9s時的升空高度相同，飛行8s時的升空高度為33m，則“水火箭”升空的最大高度為()A．33mB．36mC．37mD．40m10．如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)圖象的一部分，對稱軸為直線x＝eq\f(1,2)，經(jīng)過點(2，0)．有下列結(jié)論：①abc>0；②若(x1，y1)，(x2，y2)是拋物線上的兩點，則當(dāng)x1>x2>eq\f(1,2)時，y1>y2；③2a＋c＝0；④不等式ax2＋bx＋c>0的解集是－1<x<2；⑤若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，m))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，n))是拋物線上的兩點，則m<n.其中正確的是()A．①③④B．②③⑤C．③④⑤D．②④⑤二、填空題(每小題3分，共15分)11．[2024大同聯(lián)考]在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，sinA＝eq\f(3,5)，則AB的長是________cm.12．[2024朔州期末]在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y＝2(x－3)2先向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為______________．13.一人乘雪橇沿坡度為1∶eq\r(3)的斜坡筆直滑下，滑下的距離s(m)與時間t(s)的關(guān)系式為s＝10t＋2t2，若滑到坡底的時間為4s，則此人下降的高度為________m.14．[2024晉城聯(lián)考]二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋3的圖象經(jīng)過點A(－1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＝0的根是________________．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A，B兩點，點A在x軸的負(fù)半軸上，點B在x軸的正半軸上，與y軸交于點C，且tan∠ACO＝eq\f(1,2)，CO＝BO，AB＝3，則這條拋物線的表達(dá)式是__________________．三、解答題(本大題共8個小題，共75分)16．(10分)計算：(1)cos60°＋eq\f(eq\r(2),2)sin45°＋tan30°；(2)2sin30°－3tan45°·sin245°＋4cos60°.17．(6分)如圖，在△ABC中，sinB＝eq\f(1,3)，tanC＝eq\f(eq\r(2),2)，AB＝3，求AC的長．18．(7分)如圖，拋物線y1＝x2＋bx－c經(jīng)過直線y2＝x－3與坐標(biāo)軸的兩個交點A，B.(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)y1＜y2時，直接寫出x的取值范圍．19．(8分)某書店銷售兒童期刊，一天可售出20套，每套盈利30元．為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，書店決定采取降價措施．若每套書每降價1元，平均每天可多售出2套．設(shè)每套書降價x元時，書店一天可獲得利潤y元．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．(2)若書店每天要盈利750元，則需要降價多少元？(3)當(dāng)每套書降價多少元時，書店可獲得最大利潤？最大利潤是多少？20．(10分)[2024運(yùn)城期末]項目化學(xué)習(xí)：某初中數(shù)學(xué)興趣小組在實踐課上計劃用所學(xué)到的知識測量學(xué)校附近一棟樓房的高度，由于到樓房底部的水平距離不易測量，他們通過實地觀察、分析，制訂了可行的方案，并進(jìn)行了實地測量．已知樓房AB前有一斜坡CD，它的坡度i＝1∶eq\r(3).他們先在坡面上的D處測量樓房頂部A的仰角∠ADM，接著沿坡面向下走到坡腳C處，然后向樓房的方向繼續(xù)行走至E處，再次測量樓房頂部A的仰角∠AEB，并測量了C，E之間的距離，最后測量了坡面上C，D之間的距離．為了減少測量誤差，小組在測量仰角以及距離時，都分別測量了兩次并取它們的平均值作為測量結(jié)果(測角儀高度忽略不計)，如下表：項目內(nèi)容課題測量學(xué)校附近樓房的高度測量方案示意圖說明：測點D，E與點C，B都在同一水平面上測量數(shù)據(jù)測量項目第一次第二次平均值仰角∠ADM的度數(shù)30.2°29.8°30°仰角∠AEB的度數(shù)60.1°59.9°60°C，E之間的距離5.1米4.9米5米C，D之間的距離9.8米10.2米……任務(wù)一：兩次測量C，D之間的距離的平均值是________米；任務(wù)二：請你幫助該小組根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù)，求出學(xué)校附近樓房AB的高．(結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)＝1.73，eq\r(2)＝1.41)21．(9分)如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A分別作AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F.(1)求證：∠BAE＝∠DAF；(2)若AE＝4，AF＝6，tan∠BAE＝eq\f(3,4)，求CF的長．22．(12分)[2024晉城期末]閱讀下列材料，完成后面任務(wù)：汽車能通過隧道嗎？如圖①，在通過隧道時，要求行駛車輛的頂部(設(shè)為平頂)與隧道的頂部在豎直方向上的高度之差至少為0.5米，那么怎樣確定通過隧道的車輛的限制高度(在最邊緣能通過的最大高度)？小明所在的數(shù)學(xué)興趣小組對此進(jìn)行了如下研究：【測量數(shù)據(jù)】如圖②，這是隧道的橫截面，已知該隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，它是由拋物線AOB和矩形ABCD組成的，測得隧道寬AB＝10米，矩形的一邊長BC＝2米，隧道最高處與路面的距離OF＝7米.【建立坐標(biāo)系】老師根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，以拋物線的頂點為原點，其對稱軸所在的直線為y軸，建立如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系.【計算限制高度】老師讓同學(xué)們根據(jù)老師所建立的坐標(biāo)系及所給的數(shù)據(jù)確定通過隧道的車輛的限制高度.任務(wù)：(1)根據(jù)老師所建立的平面直角坐標(biāo)系，求拋物線的表達(dá)式；(2)若行車道總寬度MN為7米，請計算可以通過該隧道的車輛的限制高度為多少米．23．(13分)[2024陽泉期末]綜合與探究：如圖，拋物線y＝ax2＋bx－4與x軸交于A(－1，0)，B(3，0)兩點，與y軸交于點C，D是x軸上的一個動點(不與點A，O，B重合)，過點D作DP∥y軸，分別交拋物線和直線BC于點P，E.設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點C的坐標(biāo)，并直接寫出直線BC的函數(shù)表達(dá)式．(2)當(dāng)點D在線段OB上運(yùn)動，且E為PD的中點時，求m的值．(3)連接CD，是否存在點D，使△CDE是等腰三角形？若存在，請直接寫出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

答案一、1.A2.D3.D4.A5.A6．A7.C8.A9.C10.C二、11.1012.y＝2(x－6)2＋113.3614.x1＝0，x2＝215．y＝x2－x－2點撥：∵tan∠ACO＝eq\f(1,2)，∴eq\f(OA,OC)＝eq\f(1,2)，∴OC＝2OA.∵CO＝BO，∴BO＝2AO.又∵AB＝AO＋BO＝3，∴AO＝1，BO＝2，∴點A，B的坐標(biāo)分別為(－1，0)，(2，0)．把(－1，0)，(2，0)分別代入y＝x2＋bx＋c，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－b＋c＝0，,4＋2b＋c＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－1，,c＝－2，))∴這條拋物線的表達(dá)式是y＝x2－x－2.三、16.解：(1)原式＝eq\f(1,2)＋eq\f(eq\r(2),2)×eq\f(eq\r(2),2)＋eq\r(3)×eq\f(eq\r(3),3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋1＝2.(2)原式＝2×eq\f(1,2)－3×1×（eq\f(eq\r(2),2)）eq\s\up12(2)＋4×eq\f(1,2)＝1－eq\f(3,2)＋2＝eq\f(3,2).17．解：過點A作AD⊥BC于點D，在Rt△ABD中，∵sinB＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3)，AB＝3，∴AD＝1.在Rt△ACD中，∵tanC＝eq\f(AD,CD)＝eq\f(eq\r(2),2)，∴CD＝eq\r(2)，∴AC＝eq\r(AD2+CD2)＝eq\r(12+(eq\r(2))2)＝eq\r(3).18．解：(1)對于y2＝x－3，當(dāng)y2＝0時，x＝3，當(dāng)x＝0時，y2＝－3，∴A(3，0)，B(0，－3)．將點A(3，0)，B(0，－3)的坐標(biāo)分別代入y1＝x2＋bx－c，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9＋3b－c＝0，,－c＝－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝3，))∴該拋物線的表達(dá)式為y1＝x2－2x－3.(2)當(dāng)y1<y2時，x的取值范圍為0＜x＜3.19．解：(1)y＝(30－x)(20＋2x)＝－2x2＋40x＋600(0≤x≤30)．(2)令(30－x)(20＋2x)＝750，化簡，得x2－20x＋75＝0，解得x1＝15，x2＝5.∵要盡快減少庫存，∴x＝15.答：需要降價15元．(3)y＝－2x2＋40x＋600＝－2(x－10)2＋800，∵0≤x≤30，－2<0，∴當(dāng)x＝10時，y最大＝800.答：每套書降價10元時，書店可獲得最大利潤，最大利潤是800元．20．解：任務(wù)一：10任務(wù)二：如圖，過點D作DG⊥BC于點G，DF⊥AB于點F，交AE于點H.過點H作HP⊥BC于點P.則易得DG＝HP＝FB，DH＝GP.∵i＝1∶eq\r(3)，∴∠DCG＝30°.又∵CD＝10米，∴在Rt△DCG中，DG＝eq\f(1,2)CD＝5米，CG＝cos30°×CD＝5eq\r(3)米．在Rt△EHP中，∠HEP＝60°，HP＝DG＝5米，∴EP＝eq\f(HP,tan60°)＝eq\f(5,\r(3))＝eq\f(5\r(3),3)(米)．∴DH＝GP＝CG＋CE＋EP＝5eq\r(3)＋5＋eq\f(5\r(3),3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20\r(3),3)＋5))米．易知∠AHF＝∠AEB＝60°，∴∠DAH＝∠AHF－∠ADH＝30°＝∠ADH，∴AH＝DH＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20\r(3),3)＋5))米．∴在Rt△AHF中，AF＝AH×sin60°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20\r(3),3)＋5))×eq\f(\r(3),2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋\f(5\r(3),2)))米．∴AB＝AF＋FB＝AF＋DG＝10＋eq\f(5\r(3),2)＋5＝15＋eq\f(5\r(3),2)≈19.3(米)．答：學(xué)校附近樓房AB的高約為19.3米．21．(1)證明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°.∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠B＝∠D.∴90°－∠B＝90°－∠D，即∠BAE＝∠DAF.(2)解：∵在Rt△ABE中，tan∠BAE＝eq\f(BE,AE)＝eq\f(3,4)，AE＝4，∴BE＝3，∴AB＝eq\r(AE2＋BE2)＝5.∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD＝AB＝5.∵∠BAE＝∠DAF，∴tan∠DAF＝tan∠BAE＝eq\f(3,4)，∴在Rt△ADF中，DF＝AF·tan∠DAF＝6×eq\f(3,4)＝eq\f(9,2)，∴CF＝CD－DF＝eq\f(1,2).22．解：(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝ax2，由題圖②易知點A(－5，－5)，將點A(－5，－5)的坐標(biāo)代入y＝ax2，得－5＝25a，解得a＝－eq\f(1,5)，∴拋物線的表達(dá)式為y＝－eq\f(1,5)x2.(2)當(dāng)x＝3.5時，y＝－eq\f(1,5)×3.52＝－2.45，2.45＋0.5＝2.