2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)-第一講-坐標(biāo)系-二-第1課時(shí)-極坐標(biāo)系的概念學(xué)案新人教A版選修4-4

2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一講坐標(biāo)系二第1課時(shí)極坐標(biāo)系的概念學(xué)案新人教A版選修4-42020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一講坐標(biāo)系二第1課時(shí)極坐標(biāo)系的概念學(xué)案新人教A版選修4-42021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一講坐標(biāo)系二第1課時(shí)極坐標(biāo)系的概念學(xué)案新人教A版選修4-42020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一講坐標(biāo)系二第1課時(shí)極坐標(biāo)系的概念學(xué)案新人教A版選修4-4年級(jí)：姓名：二極坐標(biāo)系第一課時(shí)極坐標(biāo)系的概念考綱定位重難突破1.理解極坐標(biāo)系及其概念，會(huì)求點(diǎn)的極坐標(biāo).2.能建立極坐標(biāo)系，由點(diǎn)的極坐標(biāo)確定位置.重點(diǎn)：極坐標(biāo)系的概念與點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示.難點(diǎn)：極坐標(biāo)系中點(diǎn)與極坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第4頁(yè)[自主梳理]1．平面內(nèi)點(diǎn)的位置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的位置用有序?qū)崝?shù)對(duì)確定，平面內(nèi)的點(diǎn)的位置也可以用距離和角度確定．2．極坐標(biāo)系如圖所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)，自極點(diǎn)O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系．3．極坐標(biāo)設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為θ.有序數(shù)對(duì)(ρ，θ)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記為M(ρ，θ)．一般地，不作特殊說明時(shí)，我們認(rèn)為ρ≥0，θ可取任意實(shí)數(shù)．特別地，當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時(shí)，它的極坐標(biāo)為(0，θ)，θ可以取任意實(shí)數(shù)．4．點(diǎn)與極坐標(biāo)的關(guān)系一般地，極坐標(biāo)(ρ，θ)與(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一個(gè)點(diǎn)．特別地，極點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0，θ)(θ∈R)．和點(diǎn)的直角坐標(biāo)的唯一性不同，平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示．如果規(guī)定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)(ρ，θ)表示；同時(shí)，極坐標(biāo)(ρ，θ)表示的點(diǎn)也是唯一確定的．[雙基自測(cè)]1．極坐標(biāo)系中，與點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,6)))相同的點(diǎn)是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(13π,6))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(π,6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(17,6)π)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(5π,6)))解析：因?yàn)闃O坐標(biāo)(ρ，θ)與(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一個(gè)點(diǎn)，故選A.答案：A2．極坐標(biāo)系中，集合{(ρ，θ)|ρ＝1，θ∈R}表示的圖形是()A．點(diǎn) B．射線C．直線 D．圓解析：由于ρ＝1，θ∈R表示到極點(diǎn)距離等于1的點(diǎn)的集合，即以極點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓．答案：D3．極坐標(biāo)系中，點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))與Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3π,2)))兩點(diǎn)間的距離為()A．1 B．2C．3 D．4解析：Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3π,2)))，O(0,0)三點(diǎn)共線，故|MN|＝|MO|＋|NO|＝1＋1＝2.答案：B授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第4頁(yè)探究一由極坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置[例1]在極坐標(biāo)系中，畫出點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)π))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(π,4)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(19,4)π)).[解析]在極坐標(biāo)系中先作出eq\f(π,4)線，再在eq\f(π,4)線上截取|OA|＝1，這樣可得到點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,4))).同樣可作出點(diǎn)Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3π,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(π,4))).由于eq\f(19,4)π＝eq\f(3π,4)＋4π，故點(diǎn)Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(19,4)π))可寫成Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(3π,4)))，如圖位置．怎樣確定極坐標(biāo)點(diǎn)的位置由極坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置，常常首先由θ的值確定射線(方向)，再由ρ的值確定位置．如果θ的值不在[0,2π)范圍內(nèi)，先根據(jù)θ＝θ0＋2kπ(k∈Z)確定出θ0∈[0,2π)的值再確定方向．1．在極坐標(biāo)系中，作出以下各點(diǎn)：A(4,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,4)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(7π,4))).解析：如圖所示，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)分別是唯一確定的．探究二求點(diǎn)的極坐標(biāo)[例2]已知點(diǎn)Q(ρ，θ)，分別按下列條件求出點(diǎn)P的極坐標(biāo)．(1)點(diǎn)P是點(diǎn)Q關(guān)于極點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)；(2)點(diǎn)P是點(diǎn)Q關(guān)于直線θ＝eq\f(π,2)的對(duì)稱點(diǎn)．[解析](1)由于P、Q關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱，得極徑|OP|＝|OQ|，極角相差(2k＋1)π(k∈Z)．所以，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(ρ，(2k＋1)π＋θ)或(－ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)．(2)由P、Q關(guān)于直線θ＝eq\f(π,2)對(duì)稱，得它們的極徑|OP|＝|OQ|，點(diǎn)P的極角θ′滿足θ′＝π－θ＋2kπ(k∈Z)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(ρ，(2k＋1)π－θ)或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．設(shè)點(diǎn)M的極坐標(biāo)是(ρ，θ)，則M點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M點(diǎn)關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是(ρ，－θ)；M點(diǎn)關(guān)于過極點(diǎn)且垂直于極軸的直線的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．另外要注意，平面上的點(diǎn)與這一點(diǎn)的極坐標(biāo)不是一一對(duì)應(yīng)的．2．設(shè)點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，直線l為過極點(diǎn)且垂直于極軸的直線，分別求點(diǎn)A關(guān)于極軸，直線l，極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)(限定ρ＞0，－π＜θ≤π)．解析：如圖所示，關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)為Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π,3))).關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2,3)π)).關(guān)于極點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(2,3)π)).四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D都在以極點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上．探究三極坐標(biāo)系的實(shí)際應(yīng)用[例3]如圖，以溫州所在城市為極點(diǎn)，正東方向?yàn)闃O軸正方向，建立極坐標(biāo)系，今有某臺(tái)風(fēng)中心在東偏南60°，距離極點(diǎn)800千米處，假設(shè)當(dāng)距離臺(tái)風(fēng)中心700千米時(shí)應(yīng)當(dāng)發(fā)布臺(tái)風(fēng)藍(lán)色警報(bào)，已知福州所在城市的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(200，\f(4π,3))).(1)求臺(tái)風(fēng)中心的極坐標(biāo)；(2)福州是否已發(fā)布臺(tái)風(fēng)藍(lán)色警報(bào)？[解析](1)由題意知，臺(tái)風(fēng)中心距離極點(diǎn)800千米，極角取eq\f(5π,3)，所以臺(tái)風(fēng)中心的一個(gè)極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(800，\f(5π,3))).(2)福州所在城市的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(200，\f(4π,3))).由(1)得，福州距離臺(tái)風(fēng)中心的距離為d＝eq\r(8002＋2002－2×200×800×cos\f(π,3))＝100×eq\r(64＋4－16)＝100eq\r(52)>700，所以該城市還未發(fā)布藍(lán)色警報(bào)．用極坐標(biāo)求兩點(diǎn)間的距離(1)用極坐標(biāo)求兩點(diǎn)間的距離，就是根據(jù)余弦定理解以極點(diǎn)O為頂點(diǎn)的三角形．由于極坐標(biāo)中有極角，則求三角形的內(nèi)角就較為方便．(2)兩點(diǎn)A、B的極坐標(biāo)分別為A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，則|AB|＝eq\r(ρ\o\al(2,1)＋ρ\o\al(2,2)－2ρ1ρ2cosθ2－θ1).3．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為O，點(diǎn)M，N的極坐標(biāo)分別為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(11π,6)))，求△MON的重心G的極坐標(biāo)(限定ρ＞0,0≤θ＜2π)．解析：如圖所示．|OM|＝|ON|＝2，∠xOM＝eq\f(π,6)，∠xON＝eq\f(11π,6)，∴點(diǎn)M、N關(guān)于極軸對(duì)稱，∠MON＝eq\f(π,3)，所以△MON為等邊三角形．設(shè)MN交極軸于H，則|OH|＝|OM|coseq\f(π,6)＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴H(eq\r(3)，0)，由于△MON的重心G在中線OH上，且|OG|＝eq\f(2,3)|OH|＝eq\f(2\r(3),3)，∴Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，0))為所求．極坐標(biāo)的實(shí)際應(yīng)用[典例](本題滿分12分)某大學(xué)校園的部分平面示意圖如圖所示．用點(diǎn)O，A，B，C，D，E，F(xiàn)分別表示校門，器材室，公寓，教學(xué)樓，圖書館，車庫(kù)，花園，建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的極坐標(biāo)．(限定ρ≥0,0≤θ＜2π且極點(diǎn)為(0,0))[解析]以點(diǎn)O為極點(diǎn)，OA所在的射線為極軸Ox(單位長(zhǎng)度為1m)4分由|OB|＝600m，∠AOB＝30°，∠OAB＝90°，得|AB|＝300m，|OA|＝300eq\r(3)m，同樣求得|OD|＝2|OF|＝300eq\r(2)，8分所以各點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為O(0,0)，A(300eq\r(3)，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(600，\f(π,6)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(300，\f(π,2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(300\r(2)，\f(3π,4)))，E(300，π)，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(150\r(2)，\f(3π,4))).12分[規(guī)律探究]在極坐標(biāo)系中，由點(diǎn)的位置求極坐標(biāo)時(shí)，隨著極角的范圍的不同，點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示也會(huì)不同，只有在ρ≥0，θ∈[0,2π)的限定條件下，點(diǎn)的極坐標(biāo)才是唯一的．[隨堂訓(xùn)練]對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第6頁(yè)1．下列各點(diǎn)中與極坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(π,7)))表示同一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(6π,7))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，－\f(13π,7)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，－\f(6π,7))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，－\f(π,7)))解析：因?yàn)閑q\f(π,7)＝－eq\f(13π,7)＋2π，故選B.答案：B2．若ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，則點(diǎn)M1(ρ1，θ1)與點(diǎn)M2(ρ2，θ2)的位置關(guān)系是()A．關(guān)于極軸所在的直線對(duì)稱B．關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱C．關(guān)于過極點(diǎn)垂直于極軸的直線對(duì)稱D．重合解析：因?yàn)辄c(diǎn)(ρ，θ)關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)，故選B.答案：B3．已知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c