第9章兩立體相貫

第2章制圖的基本知識第3章點、線、面的投影第4章線面幾何元素間的相對位置第5章投影變換第6章曲線與曲面第7章基本立體第8章平面截切立體第10章

組合體第11章軸測圖第12章建筑形體的表達方法第13章透視投影第14章標高投影第15章計算機繪圖第1章

緒論

第9章

兩立體相貫第9章

兩立體相貫本章概論9.1概述9.2平面體與平面體相貫9.3平面體與曲面體相貫9.4兩曲面體相貫9.5同坡屋頂?shù)漠嫹ā局R目標】

1.掌握兩平面體相貫的相貫線性質(zhì)、特征及作圖方法；2.掌握平面體與曲面體相貫的相貫線性質(zhì)、特征及作圖方法；3.掌握兩曲面體相貫的相貫線性質(zhì)、特征及作圖方法；4.掌握表面取點法和輔助平面法求相貫線的基本原理及作圖方法?！灸芰δ繕恕?/p>

1.能分析和判斷相貫線的空間形狀與投影特征;2.能從正交相貫的知識遷移到非正交相貫的一般情況;3.能分析解決復雜的空間幾何問題，為后續(xù)應用形體分析法和線面分析法繪制和識讀組合體視圖打下扎實的基礎。

第9章

兩立體相貫返回本章目錄有些建筑形體由兩個或兩個以上的基本形體相交組成，相交幾何形體稱為相貫體，它們的表面交線稱為相貫線。兩立體相貫的基本形式如下：(a)兩平面體相貫 (b)平面體與曲面體相貫 (c)兩曲面體相貫第9章

兩立體相貫9.1概述返回本章目錄相貫線的特征平面體與曲面體相交，其相貫線一般是由若干個部分的平面曲線所組成的空間封閉曲線。每一部分平面曲線，是平面體某一表面與曲面體表面的截交線。

（a）相貫線為封閉的空間折線

（b）相貫線不封閉

（c）相貫線為封閉的平面多邊形第9章

兩立體相貫9.2平面體與平面體相貫返回本章目錄例9-1求三棱柱和三棱錐的相貫線。(a)立體圖

(b)已知條件第9章

兩立體相貫9.2平面體與平面體相貫返回本章目錄第9章

兩立體相貫分析：由圖可知，三棱錐完全貫穿三棱柱，形成兩條閉合的相貫線，相貫線分布在三棱柱的LM和MN兩個棱面上。如圖a所示。三棱錐的側棱SA、SB、SC與三棱柱的LM和MN兩個棱面都相交，每條棱線與三棱柱各有兩個貫穿點，共有六個貫穿點。三棱柱H面投影積聚為三角形，相貫線的H面投影積聚在該三角形左右兩條邊線上，可根據(jù)點的從屬性求出三條側棱SA、SB、SC與鉛垂面的交點。再將所有交點順次連接，判別可見性，完成相貫線。(a)立體圖

(b)已知條件9.2平面體與平面體相貫例9-1求三棱柱和三棱錐的相貫線。返回本章目錄作圖步驟如下：（1）求貫穿點。利用三棱柱在H面上的積聚投影直接確定三棱錐側棱SC、SA、SB與棱柱左右兩側面交點的H投影1、2、3、4、5、6。根據(jù)投影關系作出V面投影1′、2′、3′、4′、5′、6′，如下圖所示。第9章

兩立體相貫例9-1求三棱柱和三棱錐的相貫線。9.2平面體與平面體相貫返回本章目錄第9章

兩立體相貫作圖步驟如下：（2）連接貫穿點。根據(jù)“位于甲形體同一側面同時又位于乙形體同一側面上兩點才能相連”的原則，在V投影上分別連接1′3′5′1′和2′4′6′2′兩條相貫線。（3）判別可見性。根據(jù)“同時位于兩形體都可見的側面上的交線才是可見的”的原則，在V投影上，三棱柱左、右兩側面可見，三棱錐的SAB、SBC面可見，所以交線1′5′、3′5′和2′6′、4′6′可見，畫粗實線，而1′3′、2′4′不可見，畫細虛線。

（4）完成整個相貫體的投影，注意補齊三棱錐的棱線。結果如圖所示。9.2平面體與平面體相貫返回本章目錄第9章

兩立體相貫圖9-6相貫線的特征平面體與曲面體相交，其相貫線一般是由若干個部分的平面曲線所組成的空間封閉曲線。每一部分平面曲線，是平面體某一表面與曲面體表面的截交線。相鄰兩段曲線的交點，是平面體的棱線對曲面體表面的貫穿點，如右圖所示中的A、B、C、D點。9.3平面體與曲面體相貫返回本章目錄例9-2

求四棱柱和圓錐的相貫線。相貫立體圖與已知條件第9章

兩立體相貫9.3平面體與曲面體相貫返回本章目錄分析：從已知條件圖可知，四棱柱和圓錐相貫時，四棱柱的側棱和圓錐軸線均為鉛垂線。四棱柱的四個側面與圓錐面相交，相貫線由四段雙曲線組成。前后兩段相貫線的V面投影重合、W面投影積聚為直線。左右兩段相貫線的V面投影積聚成直線、W面投影重合。相貫線在四棱柱的側面上，H面投影積聚成直線。例9-2

求四棱柱和圓錐的相貫線。第9章

兩立體相貫9.3平面體與曲面體相貫返回本章目錄第9章

兩立體相貫作圖步驟如下：（1）求作相貫線的最低點。相貫線上的最低點為四棱柱的四條棱和圓錐面的交點，利用緯圓法，可求出其V面投影和W面投影，如右圖所示。例9-2

求四棱柱和圓錐的相貫線。9.3平面體與曲面體相貫返回本章目錄作圖步驟如下：（2）求作相貫線的最高點。在V面和W面投影中，四棱柱與圓錐轉(zhuǎn)向輪廓線的交點即為相貫線上的最高點，根據(jù)點的投影關系，可作出V面投影中相貫線的最高點E和W面投影中相貫線最高點F的三面投影，如圖所示。第9章

兩立體相貫例9-2

求四棱柱和圓錐的相貫線。9.3平面體與曲面體相貫返回本章目錄第9章

兩立體相貫（3）求作相貫線的一般點。利用緯圓法作出相貫線上的幾個一般位置點的三面投影，如圖所示。例9-2

求四棱柱和圓錐的相貫線。9.3平面體與曲面體相貫返回本章目錄第9章

兩立體相貫（4）依次光滑連接各點的V面投影和W面投影。注意四棱柱的四條棱需要畫到最低點，完成作圖,如右圖所示。例9-2

求四棱柱和圓錐的相貫線。9.3平面體與曲面體相貫返回本章目錄第9章

兩立體相貫相貫線的特征兩曲面體的相貫線，一般是封閉的空間曲線。組成相貫線的所有點，均為兩曲面體表面的共有點。常見的兩曲面體相貫如下圖所示，產(chǎn)生的相貫線可以是封閉的空間曲線、封閉的平面曲線，也可以是直線段。（a）封閉的空間曲線

（b）封閉的平面曲線

（c）直線段9.4兩曲面體相貫返回本章目錄例9-3已知兩拱形屋面相交,求作圓拱屋頂?shù)南嘭灳€。第9章

兩立體相貫9.4兩曲面體相貫返回本章目錄分析：由圖可知，這是兩個直徑不同、軸線垂直正交的兩個圓拱屋頂。由于大圓柱的軸線是側垂線，小圓柱的軸線是正垂線，所以相貫線的側面投影重疊在大圓柱面的有積聚性的側面投影上。正面投影重疊在小圓柱面的有積聚性的正面投影上，只有相貫線的水平投影需要求出。第9章

兩立體相貫例9-3已知兩拱形屋面相交,求作圓拱屋頂?shù)南嘭灳€。9.4兩曲面體相貫返回本章目錄作圖步驟如下：（1）求特殊位置點。在相貫線的正面投影中確定最左點A和最右點B的投影，A、B也是相貫線上的最底點，另外兩面投影均可直接求得。在相貫線的正面投影中確定最高點C的投影，C點也是相貫線上的最后點,另外兩面投影也可直接求得，如右圖所示。例9-3已知兩拱形屋面相交,求作圓拱屋頂?shù)南嘭灳€。第9章

兩立體相貫9.4兩曲面體相貫返回本章目錄作圖步驟如下：（2）求一般位置點。在相貫線的已知正面投影上，在適當位置取兩點e′、f′，根據(jù)投影關系，找出側面投影e″、f″，然后作出e、f，如圖所示。例9-3已知兩拱形屋面相交,求作圓拱屋頂?shù)南嘭灳€。第9章

兩立體相貫9.4兩曲面體相貫返回本章目錄作圖步驟如下：（3）光滑連接相貫線各點的水平投影，即為所求。因為兩個圓拱屋頂?shù)乃酵队岸伎梢?，所以相貫線的水平投影為可見，用粗實線畫出，如圖所示。例9-3已知兩拱形屋面相交,求作圓拱屋頂?shù)南嘭灳€。第9章

兩立體相貫9.4兩曲面體相貫返回本章目錄圓柱關系立體圖相貫線的形狀三視圖兩外表面相交

空間曲線

平面曲線

外表面與內(nèi)表面相交

空間曲線

兩內(nèi)表面相交

空間曲線兩圓柱體相貫的三種形式第9章

兩立體相貫9.4兩曲面體相貫返回本章目錄第9章

兩立體相貫輔助平面法如果相貫線的三面投影都沒有積聚性，就需要利用輔助平面來求相貫線上的點。用與兩個曲面形體都相交的輔助平面切割這兩個形體，得到兩組截交線，這兩組截交線的交點，是輔助平面和兩個曲面形體表面的三面共有點，即為相貫線上的點。這種求相貫線的方法，稱為輔助平面法。

如圖，用水平面Q作為輔助平面截切兩曲面立體，與圓錐的截交線是水平緯圓，與圓柱的截交線是平行于軸線的兩素線。在輔助平面Q上，這兩組截交線的交點A、B即為相貫線上的點。

選擇輔助平面的原則：（1）輔助平面應作在兩曲面立體的相交范圍內(nèi)。（2）輔助平面與兩曲面立體表面的截交線的投影易于作圖，例如直線、圓。9.4兩曲面體相貫返回本章目錄例9-4如圖所示，求半球與圓臺的相貫線。第9章

兩立體相貫9.4兩曲面體相貫返回本章目錄分析：該形體由圓臺和部分半球組成，前后對稱，圓臺軸線不通過球心，圓臺面和球面的相貫線為前后對稱的空間曲線。由于圓臺面和球面的三面投影都沒有積聚性，因此，必須利用輔助平面法作圖。選擇輔助平面：針對圓錐（圓臺）的輔助平面應通過錐頂或垂直于圓錐的軸線，針對球面的輔助平面可以選用投影面的平行面。為使輔助平面截圓錐和半球所得交線的投影為直線或圓，可以選用過圓錐軸線的正平面、側平面、水平面作為輔助平面。第9章

兩立體相貫例9-4如圖所示，求半球與圓臺的相貫線。9.4兩曲面體相貫返回本章目錄作圖步驟如下：（1）求相貫線上的最左點A和最右點B的投影。選擇過圓臺軸線的正平面Q為輔助平面截切兩曲面體，輔助平面Q與圓臺表面相交，其截交線為圓臺的最左、最右兩條素線（即圓臺的前后轉(zhuǎn)向輪廓線），與半球相交，其截交線為正平圓弧。這兩組截交線的交點，即為相貫線上的最左點A和最右點B，同時也是最低點和最高點的正面投影a′和b′，根據(jù)投影關系可以求得a、b和a″、b″。第9章

兩立體相貫例9-4如圖所示，求半球與圓臺的相貫線。9.4兩曲面體相貫返回本章目錄作圖步驟如下：（2）求相貫線上的最前點C和最后點D的投影。選擇過圓臺軸線的側平面R作為輔助平面截切兩曲面體，輔助平面R與圓臺相交，其截交線為圓臺的最前、最后兩條素線（即圓臺的左右轉(zhuǎn)向輪廓線），輔助平面R與半球相交，其截交線為側平圓弧。在側面投影中，兩組截交線的交點即為相貫線上的最前點C和最后點D的側面投影c″、d″，根據(jù)投影關系可以求出c、d和c′、d′。如右圖所示。例9-4如圖所示，求半球與圓臺的相貫線。第9章

兩立體相貫9.4兩曲面體相貫返回本章目錄作圖步驟如下：（3）求相貫線上的一般位置點M、N的投影。選擇水平面P作為輔助平面截切兩曲面體。輔助平面P與圓臺和半球的截交線均為水平緯圓。兩組截交線的交點即為相貫線上的一般位置點M、N的水平投影m、n。根據(jù)投影關系可以求出m′、n′和m″、n″，如右圖所示。第9章

兩立體相貫例9-4如圖所示，求半球與圓臺的相貫線。9.4兩曲面體相貫返回本章目錄作圖步驟如下：（4）順次光滑連接三面投影上所求的各點，得到相貫線的三面投影。（5）判別可見性。相貫線的正面投影前后重合，畫粗實線。水平投影可見，畫粗實線。側面投影中圓臺的輪廓線要延長畫到c″、d″，畫粗實線。位于圓臺左側的相貫線可見，畫粗實線。位于圓臺右側的相貫線不可見，c″-b″-d″之間的連線用細虛線繪制。最終作圖結果如右圖所示。第9章

兩立體相貫例9-4如圖所示，求半球與圓臺的相貫線。9.4兩曲面體相貫同坡屋頂在坡屋頂中，如果每個屋面對水平面的傾角相同，而且房屋四周的屋檐同高，這種屋面所構成的屋頂稱為同坡屋頂，如下圖所示。

同坡屋頂具有以下特點：1．如果屋檐平行的兩屋面相交，它們的交線（屋脊）一定是水平的。屋脊的水平投影與兩屋檐的水平投影平行且等距。2．凡是屋檐相交的兩屋面必相交于傾斜的屋脊（稱為斜脊）或天溝，其水平投影應通過兩屋檐水平投影的交點而且是它們的角平分線。如果兩屋檐正交，則斜脊或天溝的水平投影是與屋檐的水平投影成45°角的直線，即為直角的平分線。3．當屋頂上有兩條交線時，表明這是由三個平面相交而得出的，而三個相交平面的三條交線必共點，所以過兩交線的交點一定有第三條直線存在。當相鄰兩屋檐相交成直角時，連續(xù)三條屋檐中必有兩條屋檐相互平行，所以一般情況下，上述三條交線中一定有一條是水平的屋脊，另兩條為傾斜的斜脊或天溝。9.5

同坡屋頂?shù)漠嫹?/p>

第9章

兩立體相貫返回本章目錄例9-5已知同坡屋頂四周屋檐的水平投影及各屋面的水平傾角α=30°