高等數(shù)學(xué)（第二版）課件：導(dǎo)數(shù)

高等數(shù)學(xué)（第二版）一、導(dǎo)數(shù)的定義二、可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)五、用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)六、導(dǎo)數(shù)的實際意義一、導(dǎo)數(shù)的定義定義1設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處有增量時，相應(yīng)地函數(shù)也有增量，如果當(dāng)時，的極限存在，即存在，則稱在可導(dǎo)，且稱此極限值為函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)。記作。即也可記為，或。如果上述極限不存在，就稱在處的導(dǎo)數(shù)不存在，或者說在不可導(dǎo)。如果令，則，且當(dāng)時，，于是，定義1可變成導(dǎo)數(shù)的另一個形式例1求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)。解：當(dāng)時，。當(dāng)時，，故因此，所以由導(dǎo)數(shù)定義，引例中（1）瞬時速度是路程對時間的導(dǎo)數(shù)，即如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的每一點都可導(dǎo)，則稱在內(nèi)可導(dǎo)。其導(dǎo)數(shù)值是一隨的變化而變化的函數(shù)，稱作的導(dǎo)函數(shù)。記作，，或。（2）曲線在點處的切線的斜率是對的導(dǎo)數(shù)，即其中是切線的傾角存在。由函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系可知二、可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系設(shè)在點處可導(dǎo)，則極限其中，等式兩邊同乘以得當(dāng)時，，所以函數(shù)在處連續(xù)。定理1如果函數(shù)在可導(dǎo)，則它在點處連續(xù)。此定理之逆未必成立。例2試證函數(shù)在連續(xù)（如圖），但不可導(dǎo)。證：由于左、右極限不相等，所以極限

不存在，故函數(shù)在點處不可導(dǎo)。因為所以，函數(shù)在點處連續(xù)。又因為解：因為，所以在處連續(xù)。由于不存在，例3討論函數(shù)在點處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。連續(xù)是函數(shù)可導(dǎo)的必要條件，而不是充分條件。也就是說：如果我們已經(jīng)判斷出函數(shù)在某點處不連續(xù)，則可知函數(shù)在該點處不可導(dǎo)。反之，如果函數(shù)在某點處連續(xù)，則不能就此判定函數(shù)在某點處可導(dǎo)。所以在處不可導(dǎo)。函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，其幾何意義就是函數(shù)

在點處的切線的斜率如果，則函數(shù)曲線在相應(yīng)點處的切線傾角是銳角，且在點附近曲線是上升的。三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義如果，則函數(shù)曲線在相應(yīng)點處的切線傾角是鈍角，且在點附近曲線是下降的。由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的點斜式方程，可得曲線

在點處的切線方程及法線方程解：得曲線在點處的切線方程例4求曲線在點處的切線方程和法線方程。即其法線方程為即定義2設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，（1）如果極限存在，則稱此極限值為在點處的左導(dǎo)數(shù)，記作；（2）如果極限存在，則稱此極限值為在點處的右導(dǎo)數(shù)，記作。四、左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)顯然，當(dāng)且僅當(dāng)在點處的左、右導(dǎo)數(shù)都存在且相等時，函數(shù)在該點才是可導(dǎo)的。左右導(dǎo)數(shù)常常用于討論分段函數(shù)在分段點處的可導(dǎo)性。另外，如果在開區(qū)間內(nèi)處處可導(dǎo)，且及均存在，則稱在閉區(qū)間上可導(dǎo)。因為所以所以不存在，即在處不連續(xù)。故在處不可導(dǎo)。例5函數(shù)在點處可導(dǎo)否？解：連續(xù)性：解：因為從而例6討論函數(shù)在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。又，故所以在連續(xù)。在處的右導(dǎo)數(shù)為可導(dǎo)性：又因為在處的左導(dǎo)數(shù)為所以在的左右導(dǎo)數(shù)存在但不相等，于是在處不可導(dǎo)。五、用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)由導(dǎo)數(shù)定義可將求導(dǎo)數(shù)的方法概括為以下幾個步驟：（1）求出對應(yīng)于自變量改變量的函數(shù)改變量（2）作出比值（3）求當(dāng)時，的極限，即例7常函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。設(shè)，求。解：即例8冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。設(shè)（為正整數(shù)），求。解：記，即

特別地，若，則。若，則。例9指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。設(shè)，求。解：記，則所以即特別，若令，則，當(dāng)時，。例10對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。設(shè)，求。解：記，則即：特別：若則。例11正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。設(shè)，求。解：記則即同理可證六、導(dǎo)數(shù)的實際意義（1）瞬時速度是路程函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)，即。加速度是速度函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)，即。（2）曲線在點處的切線的斜率是對的導(dǎo)數(shù)，即或，其中為切線的傾角。（3）某產(chǎn)品的產(chǎn)量函數(shù)為，則產(chǎn)量函數(shù)對資本的導(dǎo)數(shù)稱為資本的邊際產(chǎn)出。（4）某產(chǎn)品的總成本，為產(chǎn)品產(chǎn)量，則成本函數(shù)對產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)稱為邊際成本。例12

假設(shè)在生產(chǎn)8到30臺空調(diào)的情況下，生產(chǎn)臺空調(diào)的成本為（元）工廠目前每天生產(chǎn)10臺空調(diào)，每天多生產(chǎn)一臺空調(diào)的超值成本為多少，請估計每