高等數(shù)學(xué)（第二版）課件：導(dǎo)數(shù)的基本公式與運算法則

高等數(shù)學(xué)（第二版）一、導(dǎo)數(shù)的四則運算二、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則導(dǎo)數(shù)的運算法則導(dǎo)數(shù)與微分三、反函數(shù)求導(dǎo)法則四、隱函數(shù)求導(dǎo)法則五、參數(shù)方程求導(dǎo)法則六、對數(shù)求導(dǎo)法則一、導(dǎo)數(shù)的四則運算定理1設(shè)函數(shù)與在點可導(dǎo)，則有（1）（3）（2）特別地，當(dāng)時，（為常數(shù)）即常數(shù)因子可以移到導(dǎo)數(shù)符號外面。例1設(shè)，求。解：公式（1）與（2）可以推廣到有限多個函數(shù)的情況，即解：例3

設(shè)，求。例2

設(shè)，求。解：例4

設(shè)，求。解：例5

設(shè)，求。解：同理可得，例6

設(shè)，求。解：同理可得，解：例7

設(shè)，求。定理2設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo)，函數(shù)在對應(yīng)點處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點處可導(dǎo)，且設(shè)函數(shù)，則是的一個復(fù)合函數(shù)?；蚬娇赏茝V到有限次復(fù)合的情況。二、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則或例如，設(shè)，則復(fù)合函數(shù)

對的導(dǎo)數(shù)是例8設(shè)，求。設(shè)，，則例9設(shè)，求。解：設(shè)，，則解：例10設(shè)，求。解：設(shè)，，則例11設(shè)，求。解：設(shè)函數(shù)在處有不等于零的導(dǎo)數(shù)，且其反函數(shù)在相應(yīng)點處連續(xù)，則存在，且即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。在反函數(shù)導(dǎo)數(shù)存在的前提下，由于，兩邊對求導(dǎo)，則得即三、反函數(shù)求導(dǎo)法則解：例12設(shè)，求。而所以的反函數(shù)為即

同理可得解：例13設(shè)，求。的反函數(shù)為而，則即

同理可得

把隱函數(shù)化為顯函數(shù)，稱為隱函數(shù)的顯化。例如從方程中解出。但有時隱函數(shù)的顯化有困難，甚至有時變量不一定能用自變量直接表示。例如。所以不管隱函數(shù)能否顯化，我們希望有一種方法直接由方程求出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。定義1由方程所確定的與的函數(shù)關(guān)系稱為隱函數(shù)。四、隱函數(shù)求導(dǎo)法則要求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，只要將視為的函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，對方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得到一關(guān)于的方程，解出就可以了。例14由方程確定是的函數(shù)，求。解：將方程兩邊對求導(dǎo)，得解出，得解：將方程兩邊對求導(dǎo)，得解出，得例15由方程確定是的函數(shù)，求。令。由知，故解：將方程兩邊對求導(dǎo)，得解出，得由，于是點處的切線方程是即

例16由方程確定是的函數(shù)，求其曲線上點處的切線方程。有時，我們常常會遇見因變量與自變量之間的關(guān)系通過一參變量來表示，即稱為函數(shù)的參數(shù)方程。下面討論求由參數(shù)方程確定的對的導(dǎo)數(shù)。五、參數(shù)方程求導(dǎo)法則設(shè)有連續(xù)的反函數(shù)，又與存在，且，則為復(fù)合函數(shù)利用反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得或例17已知星形線的參數(shù)方程為，求。解：因為所以

例18

求曲線，在對應(yīng)處的切線方程和法線方程。由于所以切線斜率

法線斜率

當(dāng)時，。故切線方程為即

法線方程為

解：即

對一些特殊類型的函數(shù)，它既不是冪函數(shù)，也不是指數(shù)函數(shù)，稱為冪指函數(shù)，我們利用對數(shù)求導(dǎo)法則來求導(dǎo)。定理3設(shè)，其中在處可導(dǎo)，則在處可導(dǎo)，且有六、對數(shù)求導(dǎo)法則例19求的導(dǎo)數(shù)。解：方法1將方程兩邊取對數(shù)所以

方法2.兩邊對求導(dǎo)得例20

設(shè)，求。解：如直接利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式求這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將會很復(fù)雜，為此，先將方程兩邊取對數(shù)，得兩邊對求導(dǎo)，得于是得以上介紹了基本求導(dǎo)法則及各類初等函數(shù)的求導(dǎo)法則，為了便于記憶和使用，我們列出如下求導(dǎo)公式?；厩髮?dǎo)公式（為常數(shù)）（