高等數(shù)學(xué)（第二版）課件：傅立葉級(jí)數(shù)

高等數(shù)學(xué)（第二版）一、傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的系數(shù)二、傅立葉級(jí)數(shù)的收斂性傅立葉級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)三、周期延拓四、傅立葉余弦級(jí)數(shù)和正弦級(jí)數(shù)在研究細(xì)長(zhǎng)絕熱桿的傳導(dǎo)問(wèn)題時(shí)，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅立葉需要把一個(gè)函數(shù)表示為三角級(jí)數(shù)。一般說(shuō)來(lái)，如果定義在區(qū)間上，我們需要知道系數(shù)和，使得注意區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。等式(1)稱為在區(qū)間上的傅立葉（Fourier）級(jí)數(shù)。這類級(jí)數(shù)在傳導(dǎo)、波動(dòng)現(xiàn)象、化學(xué)制品和污染物的濃度，以及物理世界的其他模型研究中有廣泛的科學(xué)和工程應(yīng)用的領(lǐng)域。在這一節(jié)中，我們引入一個(gè)給定函數(shù)的這些重要的三角級(jí)數(shù)表示。(1)一、傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的系數(shù)設(shè)是定義在對(duì)稱區(qū)間上的函數(shù)。假定可以表示成由等式(1)給定的三角級(jí)數(shù)。我們要尋找計(jì)算系數(shù)和的一個(gè)方法。計(jì)算的關(guān)鍵三角函數(shù)系在區(qū)間上具有正交性，即其中任何兩個(gè)不同函數(shù)的乘積在區(qū)間上的積分等于零：(1)(2)(5)(3)(4)1.三角函數(shù)的正交性上述三角函數(shù)系中，任一函數(shù)的自乘積在區(qū)間的積分不等于零：(8)(6)(7)

(1)計(jì)算.將等式(2)的兩端逐項(xiàng)積分，然后利用三角函數(shù)系的正交性，可得：解出，得2.傅立葉級(jí)數(shù)的計(jì)算設(shè)函數(shù)能展開(kāi)成三角級(jí)數(shù)(2)(3)解出(2)計(jì)算.我們用乘等式(2)兩端，再在區(qū)間上積分，并利用三角函數(shù)系的正交性，可得：(4)解出(3)計(jì)算.我們用乘等式(2)兩端，再在區(qū)間上積分，并利用三角函數(shù)系的正交性，可得：(5)等式(3),等式(4)和等式(5)稱為歐拉—傅立葉公式。系數(shù)和分別由等式(3),等式(4)和等式(5)確定的三角級(jí)數(shù)(1)稱為函數(shù)在區(qū)間上的傅立葉展開(kāi)式，其中和為的傅立葉系數(shù)。例1求函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。解：本題，傅立葉系數(shù)計(jì)算如下：f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)在區(qū)間上表達(dá)式為當(dāng)項(xiàng)數(shù)取1，5和20時(shí)傅立葉級(jí)數(shù)逼近的圖象如圖。注意隨著的增加，在所有連續(xù)點(diǎn)逼近如何越來(lái)越接近函數(shù)的圖象。在的不連續(xù)點(diǎn)，傅立葉級(jí)數(shù)逼近趨向0.5，這是躍度的一半，這些結(jié)果跟下面敘述的傅立葉收斂定理是一致的。將展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)。解：本題，傅立葉系數(shù)計(jì)算如下：例2設(shè)是周期為的函數(shù),它在上的表達(dá)式為故的傅立葉級(jí)數(shù)在區(qū)間上的表達(dá)式為在計(jì)算系數(shù)和時(shí)，我們假定在區(qū)間上是可積的。當(dāng)項(xiàng)數(shù)取1，5和20時(shí)傅立葉級(jí)數(shù)逼近的圖象在下圖中。注意隨著的增加，在所有連續(xù)點(diǎn)逼近如何越來(lái)越接近函數(shù)的圖象。二、傅立葉級(jí)數(shù)的收斂性定理1傅立葉級(jí)數(shù)的收斂性（狄利克雷（Dirichlet）定理）若函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上分段連續(xù)則在所有連續(xù)點(diǎn)處等于傅立葉級(jí)數(shù)。在的跳躍間斷點(diǎn)，傅立葉級(jí)數(shù)收斂于。其中和分別是在的左、右極限。例1中的函數(shù)滿足定理1的條件，對(duì)于區(qū)間的每個(gè)點(diǎn)，傅立葉級(jí)數(shù)收斂于。是函數(shù)的跳躍間段點(diǎn)，傅立葉級(jí)數(shù)收斂到平均值傅立葉級(jí)數(shù)中的三角項(xiàng)和是周期為的周期函數(shù)：三、周期延拓類似地傅立葉級(jí)數(shù)也是周期為的周期函數(shù)。于是，傅立葉級(jí)數(shù)不僅在區(qū)間上表示函數(shù)，并且它還生成在整個(gè)實(shí)數(shù)直線上的周期延拓。從定理1得知，級(jí)數(shù)在這個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)收斂到平均值，并且這個(gè)值還周期延拓到等等。四、傅立葉余弦級(jí)數(shù)和正弦級(jí)數(shù)在為絕緣細(xì)長(zhǎng)桿或金屬絲中的熱傳導(dǎo)建模時(shí)，我們假定軸沿長(zhǎng)度為的桿放置，并。沿著桿的長(zhǎng)度方向的溫度通常隨著位置和時(shí)間變化。問(wèn)題是給定沿著桿的初始溫度后確定。比如，桿的一端較熱而另一端較冷，于是熱將從熱端到冷端，而我們想了解在一個(gè)小時(shí)內(nèi)溫度分布是怎樣的，解這個(gè)問(wèn)題使用的一個(gè)方法需要在非對(duì)稱區(qū)間上的展開(kāi)式那么我們?cè)鯓佑?jì)算的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式呢？為此，我們延拓函數(shù)使它定義在對(duì)稱區(qū)間上?？墒俏覀儗?duì)于如何定義的延拓呢？回答是我們可以在上定義延拓到任何函數(shù)，只要我們所選擇的延拓及其導(dǎo)數(shù)是分段連續(xù)的。不管我們?nèi)绾卧谏隙x分段連續(xù)函數(shù)作為延拓，都能保證得到的傅立葉級(jí)數(shù)在原來(lái)的區(qū)域上的所有連續(xù)點(diǎn)處等于。自然對(duì)于，傅立葉級(jí)數(shù)也收斂到我們選擇的任何延拓。不過(guò)，有兩類特別的延拓，其特別有用并且其傅立葉系數(shù)十分容易計(jì)算，這就是的偶延拓或奇延拓。1.偶延拓：傅立葉余弦級(jí)數(shù)假定函數(shù)定義在區(qū)間。我們通過(guò)要求（為偶函數(shù)）（為奇函數(shù)）定義的偶延拓。其傅立葉系數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)是由于傅立葉系數(shù)都是零，在傅立葉級(jí)數(shù)中正弦項(xiàng)沒(méi)有出現(xiàn)，故級(jí)數(shù)稱為函數(shù)的傅立葉余弦級(jí)數(shù)。它在區(qū)間上收斂到原來(lái)的函數(shù)，而在區(qū)間

上收斂到偶延拓（假定和有分段連續(xù)性）。2.奇延拓：傅立葉正弦級(jí)數(shù)假定函數(shù)定義在區(qū)間。我們通過(guò)要求（為奇函數(shù)）（為偶函數(shù)）定義的奇延拓。其傅立葉系數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)是由于傅立葉系數(shù)和全是零，在傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中余弦項(xiàng)沒(méi)有出現(xiàn)，故級(jí)數(shù)稱為函數(shù)的傅立葉正弦級(jí)數(shù)。它在區(qū)間上收斂到原來(lái)的函數(shù)，而在區(qū)間上收斂到奇延拓（假定和的分段連續(xù)性成立）。解：因此函數(shù)的正弦級(jí)數(shù)展開(kāi)式為（1）求正弦級(jí)數(shù)。對(duì)函數(shù)進(jìn)行奇延拓.在區(qū)間上連續(xù).例3將函數(shù)，分別展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù).在端點(diǎn)

及

處,上述正弦級(jí)數(shù)收斂于函數(shù)