2024年四川省涼山州高考數(shù)學(xué)二診試卷（文科）

2024年四川省涼山州高考數(shù)學(xué)二診試卷（文科）

一、選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題

1.（5分）（2024?涼山州模擬）已知復(fù)數(shù)z=l+i,則|[|=（）

1L

A.-B.1C.V2D.2

2

2.（5分）（2024?涼山州模擬）已知集合A=b1y=x+1,-IWXWI},8={4xW〃},若AU

B=B,則“的取值范圍為（）

A.[0,2]B.[2,+8）C.（?a,2]D.（-1]

3.（5分）（2024?涼山州模擬）已知4（2,2）在拋物線C：尸=2座上，則斗到。的焦點

的距離為（）

35

A.IB.-C.2D.-

22

4.（5分）（2024?涼山州模擬）已知/（x）=V啊凝一L則/（/（-2））=（）

3-x+l,x<0

A.-2B.-1C.1D.2

5.（5分）（2024?涼山州模擬）已知命題si/x+2sing+%）+〃?W0”是假命題，

則機的取值范圍為（）

A.[-2,+oo）B.（-2,+8）C.（-R,-1）D.（…，-2]

6.（5分）（2024?涼山州模擬）為了傳承和弘揚雷鋒精神，凝聚榜樣力量.3月5日學(xué)雷鋒

紀(jì)念日來臨之際，涼山州某中學(xué)舉辦了主題為“傳承雷鋒精神，踐行時代力量”的征文

比賽.此次征文共5個題目，每位參賽學(xué)生從中隨機選取一個題目準(zhǔn)備作文，則甲、乙

兩位同學(xué)選到不同題目的概率為（）

1234

A.-B.-C.-D.-

5555

7.（5分）（2024?涼山州模擬）曲y=4在x=l處的切線方程為（）

A.x+2），-3=0B.x-2y+l=0C.2.x-y-1=（）D.2x-y+l=（）

8.（5分）（2024?涼山州模擬）已知正數(shù)x,y滿足x+2）=l,則手-的最大值為（）

x2+y

A.V2B.2V2C.-p—D.2V2+1

2V24-1

9.（5分）（2024?涼山州模隊）若實數(shù)滿足不等式E+I.MW2,則/+/忘1的概率為（）

10.（5分）（2024?涼山州模擬）已知在三棱錐P-ABC中；PA=愿,PB=PC=2,底面

ABC是邊長為1的正三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（）

137r

A.3TTB.---C.4TTD.6TT

3

11.（5分）（2024?涼山州模擬）若函數(shù)/（x）=（4-x2）（x2+/?tr+/?）的圖像關(guān)于直線x=l

對稱，則加+〃=（）

A.-1B.1C.-4D.4

12.（5分）（2024?涼山州模擬）已知點P（x,y）是曲線尸，上任意一點，則f”：丫+1押

'J*+（y+l）2

最大值為（）

2V5-V152V5-x^L5V15+2V5V15+2V5

A.--------B.-------------C.--------D.--------

105105

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.（5分）（2024?涼山州模擬）設(shè)等差數(shù)列他〃｝的前〃項和為S〃，若43+45=10,4449=50,

則S6=

14.（5分）（2024?涼山州模擬）設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若

acosB-bcosAb

+=U

acoSB+bcoSA^則A=

15.（5分）（2024?涼山州模擬）在邊長為4的正方形/歷CO中，石是邊的中點，點P

滿足2G=AB+AE,則訪?PB=.

16.（5分）（2024?涼山州模擬）己知雙曲線C：—-77=1（?>0,/?>0）的左、右焦點

a2b2

分別為尸1,乃.點A在。上，點8在），軸上，尸。|2=F01?易，F(xiàn)^A=lBA,則C的漸

近線方程為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題,

每個試

17.（12分）（2024?涼山州模擬）設(shè)等比數(shù)列｛如｝的前“項和為國，?i$2=*.

（1）求an；

，。911加1

（2）設(shè)bn=:|求數(shù)列｛加｝的前n項和Tn.

\an\

18.（12分）（2024?涼山州模擬）常言道：文史不分家，其實數(shù)學(xué)與物理也不分家.“近代

物理學(xué)之父”一一牛頓大約在1671年，完成了《流數(shù)法和無窮級數(shù)》這部書，標(biāo)志著微

積分的正式創(chuàng)立.某學(xué)校課小組針對“高中學(xué)生物理學(xué)習(xí)成績與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績的關(guān)系”

進(jìn)行了一系列的研究，得到了高中學(xué)生兩學(xué)科的成績具有線性相關(guān)的結(jié)論.現(xiàn)從該校隨

機抽取6名學(xué)生在?次考試中的物理和數(shù)學(xué)成績，如表（單位：分）

物理成績X636874768590

數(shù)學(xué)成績），9095110110125130

（1）經(jīng)過計算，得到學(xué)生的物理學(xué)習(xí)成績工與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績），滿足回歸方程y=1.5x+江若

某位學(xué)生的物埋成績?yōu)?5分，請預(yù)測他的數(shù)學(xué)成績；

（2）若要從抽取的這6名學(xué)生中隨機選出3名學(xué)生參加一項問卷調(diào)查，求至少有兩名學(xué)

生數(shù)學(xué)成績不低于100分的概率.

19.（12分）（2024?涼山州模擬）如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面從8CQ為正方形，PD

A.AD,平面以。_1_平面A3C。，PD=AD=2,E是PC的中點,作EFLPB交PB于F.

（1）求證：%〃平面BOE；

20.（12分）（2024?涼山州模擬）已知點P（L|）在橢圓C：各哈=l（Q>b>0）上，且C

離心率為點

（1）求橢圓。的方程；

（2）設(shè)點A（t,0）,（t>-1）,尸是。的左焦點，以以為直徑的圓與橢圓。在x軸上

1

方交于M,N兩點，求由（|FM|+|FN|）的值.

21.（12分）（2024?涼山州模擬）已知函數(shù)f（x）=x-siiiv.

（1）求證：函數(shù)/（■在R上是增函數(shù)；

（2）設(shè)g（%）=%—加x—若g（x［）=g（X2）（xiWr）,證明：石<2.

(二)選考題:共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題

計分。［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.(10分)(2024?涼山州模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為

(/為參數(shù)).以坐標(biāo)原點。為極點、x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線人的極坐標(biāo)

方程為pcos(。一與)-4a=0.

(1)求曲線C的普通方程與直線/I的直角坐標(biāo)方程：

(2)若與直線垂直的直線也交曲線C于A,3兩點,求忸用的最大值.

［選修4?5：不等式選講1

23.(2024?涼山州模擬)已知函數(shù)/(x)=國.

(1)求不等式/(/小)W1的解集：

(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-f(x-I)的最小值為，〃，且正數(shù)小力，c滿足4+〃+C+2/〃

=0,求/+2廬+02最小值.

2024年四川省涼山州高考數(shù)學(xué)二診試卷（文科）

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題

1.（5分）（2024?涼山州模擬）已知復(fù)數(shù)z=l+i,則（）

1-

A.-B.1C.V2D.2

2

【考點】復(fù)數(shù)的模.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運算.

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共挽復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

【解答]解:z=l+i,

仙產(chǎn)1+i（1+02

則-=---=------------=I,

zl-i（l-i）（l+i）

故由=14=1.

故選：B.

【點評】本題主要考查共規(guī)復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)模公式，是基礎(chǔ)題.

2.（5分）（2024?涼山州模擬）已知集合A=biy=x+L-IWXWI},8={#Wa）,若AU

B=B,則“的取值范圍為（）

A.[0,2]B.[2,+8）C.（-8,21D.（-I]

【考點】并集及其運算；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；數(shù)學(xué)運算.

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件，先求出集合A,再結(jié)合并集的定義，即可求解.

【解答】解：集合A={y|y=x+1,-lWxWl}=b，|0W〉W2},B={4rWa},AUB=B,

貝ijAGB,

故o22.

故選：B.

【點評】本題主要考查并集及其運算，屬于基礎(chǔ)題.

3.（5分）（2024?涼山州模擬）已知A（2,2）在拋物線C：/=2/?上，則A到C的焦點

的距離為()

35

A.1B.-C.2D.-

22

【考點】拋物線的性質(zhì).

【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算.

【答案】D

【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)及方程思想，即可求解.

【解答】解：根據(jù)題意可4=4"，???p=l,

???4到C的焦點的距離為W+2=^+2=

222

故選：D.

【點評】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，方程思想，屬基礎(chǔ)題.

4.(5分)(2024?涼山州模擬)已知/(k)='°。同"一1'X>0,則/X/(-2))=()

3-x+1,x<0

A.-2B.-1C.1D.2

【考點】函數(shù)的值.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】C

【分析】將x的值依次代入對應(yīng)的解析式，即可求解.

【解答】解/1"卜卅-1,，>。，

(3-乂+1,x<0

則/(-2)=3"(*2)+1=10,

故/(/(-2))=/(10)=log^lO-1=2-1=1.

故選：C.

【點評】本題主要考查函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.

5.(5分)(2024?涼山州模擬)已知命題“VxER,siMx+2s出(/+%)+〃忘0”是假命題,

則〃?的取值范圍為()

A.[-2,+8)B.(-2,+8)C.(-R,-1)D.(…，-2]

【考點】全稱量詞和全稱命題.

【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；簡易邏輯；數(shù)學(xué)運算.

【答案】B

7T

【分析】3xGR,sin~r+2sin（―+x）+m>0是真命題，然后結(jié)合存在性問題與最值關(guān)系

的轉(zhuǎn)化即可求解.

【解答】解：因為命題“VxER,sE?%+2sin（?+式）+"iWO"是假命題，

7T

所以mrER,sin?x+2sin（―+x）+機>0是真命題，

艮歸.隹R,1-COS2%+2COSA+〃?>0是真命題，

整理得加+2>（cosx-1）2有解，

所以機+2>（COSX-1）2WZM=0,

所以w+2>0,即m>-2.

故選：B.

【點評】本題主要考查了含有量詞的命題真假關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬

于中檔題.

6.（5分）（2024?涼山州模擬）為了傳承和弘揚雷鋒精神，凝聚榜樣力量.3月5日學(xué)雷鋒

紀(jì)念日來臨之際，涼山州某中學(xué)舉辦了主題為“傳承雷鋒精神，踐行時代力量”的征文

比賽.此次征文共5個題目，每位參賽學(xué)生從中隨機選取一個題目準(zhǔn)備作文，則甲、乙

兩位同學(xué)選到不同題目的概率為（）

1234

A.-B.-C.-D.-

5555

【考點】古典概型及其概率計算公式.

【專題】整體思想；綜合法：概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算.

【答案】。

【分析】先求出兩位同學(xué)的所有選法，再求出甲、乙兩位同學(xué)選到不同題目的選法，結(jié)

合古典概率公式即可求解.

【解答】解：每位參賽學(xué)生從中隨機選取一個題目準(zhǔn)備作文，則甲和乙的所有選擇方法

共有5義5=25種，

甲、乙兩位同學(xué)選到不同題目的選法共有5X4=20種，

故概率?=

故選：

【點評】本題主要考查了占典概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.（5分）（2024?涼山州模擬）曲y=&在x=l處的切線方程為（）

A.x+2y-3=0B.x-2}H-1=0C.2x-y-\=0D.2x-y+\=0

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程.

【專題】方程思想；數(shù)學(xué)模型法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】B

【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=l處的導(dǎo)數(shù)值，再求出x=l時的函數(shù)值,

利用直線方程的點斜式得答案.

【解答】解：由丫=百，得＜=*,

則''l"=i=又x=1時，y=\,

?*.y=y在x=l處的切線方程為y?1=-1）,即2y+\=0.

故選：B.

【點評】本題考杏利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，是基礎(chǔ)潁.

8.（5分）（2024?涼山州模擬）已知正數(shù)x,y滿足x+2）=1,則爰言的最大值為（）

LL1L

A.V2B.2V2C.2.+iD.272+1

【考點】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式；數(shù)學(xué)運算.

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，將產(chǎn)一化成?2r?=Tr-，結(jié)合X、y是正數(shù)，利用基本

x2+yx2+xy+2y2]+3+1'

不等式算出X2；的最大值,即可得到本題的答案.

-I---F1

yx

xyxyxy1

【解答】解:由x+2y=l,可得

x2+yx2+y(x+2y)x2+xy+2y2-+—+1"

y*

因為x,y是正數(shù)，所以:+§+1工2A/5+1,當(dāng)且僅當(dāng)工=魚丫時，等號成立.

因此篙二號力高？當(dāng)尸焉，尸力時，則篇的最大值為

故選：C.

【點評】本題主要考查不等式的性質(zhì)，利用基本不等式求最值等知識，考查了計算能力,

屬于中檔題.

9.（5分）（2024?涼山州模斗）若實數(shù)工,），滿足不等式|x|+|'v|W2,則』+9W1的概率為（）

【考點】幾何概型.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算.

【答案】A

【分析】先求出滿足不等式|x|十IMW2的平面區(qū)域，以及滿足的平面區(qū)域，再利

用幾何概型的概率公式求解.

【解答】解：滿足不等式H+I.MW2的平面區(qū)域為正方形八〃。內(nèi)部（包括邊界），如圖所

示：

>x

且A（0,2）,B（-2,0）,C（0,-2）,D（2,0）,

所以正方形ABCD的邊長為2鼻,

滿足f+Vwi的平面區(qū)域為以原點為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)部（包括邊界），

所以的概率為管I：=￡

2V2x2x/28

故選：A.

【點評】本題主要考杳了幾何概型的概率公式，屬于中檔題.

10.（5分）（2024?涼山州模擬）已知在三棱錐P-ABC中；PA=瓜PB=PC=2,底面

A8C是邊長為1的正三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（）

137r

A.37rB.---C.4TTD.6TT

3

【考點】球的體積和表面積.

【專題】計算題；整體思想：綜合法：球；數(shù)學(xué)運算.

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，證得以平面/WC,再確定三極錐外接球球心，并求出球半徑

及表面積.

【解答】解：在三棱錐P?A8C中，PA=GPB=PC=2,正△ABC的邊長為1,

則“+"2=4=2戌，即有見J_",同理用JLAC,

而A8A—,AB,ACu平面A8C,于是必_L平面A8C,

令正△A8C的外心為。1,三棱錐P-ABC外接球球心為。，

則OO1_L平面A8C,顯然球心。在線段以的中垂面上，

取以的中點。，則0。_1_勿，而OOi〃心，

則四邊形ADOO\是矩形，0D=0送=葭xABsin600=卓，

所以球半徑R=0P=VOD2+PD2=J(*)2+圖2=11|,表面積s=4nR2=半.

故選：B.

【點評】本題考查了三棱錐外接球的表面積計算，屬于中檔題.

11.(5分)(2024?涼山州模擬)若函數(shù)/(x)=(4-x2)(/+小+〃)的圖像關(guān)于直線.「1

對稱，則/〃+〃=()

A.-IB.1C.-4D.4

【考點】奇偶函數(shù)圖象的對稱性.

【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】C

【分析】函數(shù)與大軸的零點也關(guān)于x=l對稱，由題意可知，2和-2是函數(shù)的零點，故

另外兩個零點為0和4,結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系即可求解.

【解答】解：因為/G)=(4-x2)(x2+必+〃)的圖像關(guān)于直線x=l對稱，

所以函數(shù)與x軸的零點也關(guān)于x=l對稱，

由題意可知，2和-2是函數(shù)的零點，

故另外兩個零點為。和4,

故.*+〃3+〃=0的兩個艱為o和4,

所以機=-4,〃=0,

所以〃?+〃=-4.

故選：C.

【點評】本題主要考查了函數(shù)圖像的對稱性求解函數(shù)的零點，屬于基礎(chǔ)題.

12.（5分）（2024?涼山州模擬）已知點y）是曲線），=』上任意一點，則的

〃2+（y+i）2

最大值為（）

2V5-V152y[5-y[lSV15+2V5V15+2V5

A.B.C.D.

105105

【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義；兩點間的距離公式.

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；直觀想

象；數(shù)學(xué)運算.

【答案】D

V3x+y+l伍+產(chǎn)+1設(shè)/(%)=產(chǎn)+#+1(.詫R),利用導(dǎo)

【分析】將代入得

2242

Vx+(y+l)-VX+3X+1'JX4+3X2+1

數(shù)得當(dāng)x=l時，函數(shù)取最大值，代入求解即可.

【解答】解：根據(jù)題意有y=『,

伍+y+l_\3X+X2+1

所以

Vx2+(y+l)2-VX4+3X2+1，

^x+x2+l

設(shè)/CO=(xGR),

JX4+3X2+1

對小)求導(dǎo)得：/,⑺二肉2?絲(屈+/+1).厚+6.)

x+3工+12(X44-3X2+1)-JX4+3X2+1

令f(x)=0,

即2(73+2x)-(x4+3x2+1)=(V3x+x2+1)-(4?+6x),

整理得：2遮%4一%3+2%—2遙=0,

即(%2—1)-[V3(x24-1)—x]=0；

所以遮(7+1)-%=0或.p=1,

由于1-4X3=-11<0,

所以45(工2+1)-X=0無解,

故/=I,

,V3X+X2+1V3X+2_

此時-—2=一而一，使其取得最大值，

VX4+3X2+1V5

所以x=I,代入原式，

故最大值為：、V3+2=-%/75；+—2X/5.

V55

故選：D.

【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.（5分）（2024?涼山州模擬）設(shè)等差數(shù)列｛〃”｝的前〃項和為S〃，若。3+。5=10,4449=50,

則56=27.

【考點】等差數(shù)列的前n項和.

【專題】整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運算.

【答案】27.

【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)先求出m,d,然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求

解.

【解答】解：因為等差數(shù)列｛“〃｝中，43+45=244=10，即44=5,

因為0449=50,則49=10，

所以d=為_、4=1七5=],。|=。4-31=5-3=2,

所以S6H6X2+15X1—27.

故答案為：27.

【點評】本題主要考杳了等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式的應(yīng)用，屬「基礎(chǔ)題.

14.（5分）（2024?涼山州模擬）設(shè)△A8C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若

acosB-bcosAb2n

------------+-=1,則從=一.

acosB+bcosAc~3-

【考點】正弦定理.

【專題】整體思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運算.

【答案】y.

【分析】利用正弦定理，結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)公式化簡求解即可.

acosB-bcosAbsinAcosB-sinBcosAsinB

【解答】解:由正弦定理可得

acosB+bcosAcsinAcosB+sinBcosAsinC

sin(A-B)sinBsin(A-B)-sinB

------------------=--------------=1

sin(A+B)sin(A+B)sin^A+B)

變形可得sin(A-B)-sin(A+B)=sinB,

UP-2cosAsinB=sinB,

又因為OVsinBWl,

所以cos/=

又因為AE(0,TT),

所以A=手

故答案為：—.

【點評】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，考查了兩角和與差的三角函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

15.(5分)(2024?涼山井模擬)在邊長為4的正方形A8CO中，E是邊BC的中點，點P

滿足2靠=AB+AE,則訪?PB=-3.

【考點】平面向量數(shù)量枳的性質(zhì)及其運算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；應(yīng)量法：平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】-3.

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算求解即可.

【解答】解：建立如圖所示直角坐標(biāo)系，由題意有：

B(0,0),E(2,0),A(0,4),D(4,4),

設(shè)尸(x,>'),則由2應(yīng)=應(yīng)+晶，

可得2(x,k4)=(0,-4)+(2,-4),

即窗;：=_8,解膜;，

故而=(3,4),PB=(-1,0),

所以訪?麗=-3.

故答案為：-3.

y

Bx

【點評】本題考查平面向星數(shù)量枳運算，屬基礎(chǔ)題.

/y2

16.（5分）（2024?涼山州模擬）已知雙曲線C—-7-=l（?>0,b>0）的左、右焦點

a2b2

分別為Fl,放.點A在。上，點3在y軸上，“2=易?易，或是成，則c的漸

2傷

近線方程為v=±j.

【考點】雙曲線的性質(zhì).

【專題】計算題；整體思想；綜合法：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算.

【答案】y=土等

【分析】先通過向量的運算得到尸方_LRA,設(shè)|4乃|=2勿，然后利用勾股定理得到〃=〃?，

然后在直角三角形AF\B和三角形AF1尸2中同時表示COSZFIAF2,然后列方程求即可.

a

【解答】解：由“2=屋4?易得?2=點?（后一法），得“-（^A-OA+OB^O,

即F"F"=O,

所以產(chǎn)IB_LFIA,設(shè)|A戶2|=2加,

2

則由5一B4得A,心,B共線,且|正泌=32=|尸1陰,

X|AFi|-\AF2\=2at所以汝Fi|=2a+2m,

在直角三角形AF1B中，MB/=|4FI|2+|BFI|2,

所以25〃J—（2。+2/〃）‘+9/『，解得a—〃?，

所以■網(wǎng)=2a,\FiB\=\F\B\=3a,\AB\=5a,\AF\\=4a,

所以cos/吊仍=用=段=$

整理得9。2=502,

b2,5

所以％?=5所2+十）,即4<?=5力2,所以一=---,

a5

即C的漸近線方程為丁=士卒工.

故答案為：y=±-p—

【點評】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題,

每個試

17.（12分）（2024?涼山州模擬）設(shè)等比數(shù)列｛〃”｝的前〃項和為1，S2

（1）求an；

（2）設(shè)bn=:|求數(shù)列｛為｝的前〃項和Tn.

【考點】數(shù)列的求和.

【專題】整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列：數(shù)學(xué)運算.

【答案】（1）

（2）Tn=（n-l）-2z,+,+2.

【分析】（1）結(jié)合等比數(shù)列的求和公式先求出公比q，再由等比數(shù)列的通項公式即可求解：

（2）先求出加，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解.

【解答】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為公

111

則$2=Qi+q=2?

解得q=

所以?！?3x（-多nt；

（2）"不）-="^…〃,

所以7^=lX2+2X22+-+/iX2n,

所以20=1X22+2X2、…+（71-1）X2n+wX2w+1,

兩式相減得，-%=2+22+…+2〃2*1

=駕嚶_〃、2g

k—L

=2〃+i-2-nX2/,+1

所以Tn=（n-l）*2,,+l+2.

【，點:評】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式，求和公式的應(yīng)用，還考查了等差數(shù)列的

求和公式，屬于基礎(chǔ)題.

18.（12分）（2024?涼山州模擬）常言道：文史不分家，其實數(shù)學(xué)與物理也不分家.“近代

物理學(xué)之父”一一牛頓大約在1671年，完成了《流數(shù)法和無窮級數(shù)》這部書，標(biāo)志著微

枳分的正式創(chuàng)立.某學(xué)校課小組針對“高中學(xué)生物理學(xué)習(xí)成績與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績的關(guān)系”

進(jìn)行了?系列的研究，得到了高中學(xué)生兩學(xué)科的成績具有線性相關(guān)的結(jié)論.現(xiàn)從該校隨

機抽取6名學(xué)生在一次考試中的物理和數(shù)學(xué)成績，如表（單位：分）

物理成績X636874768590

數(shù)學(xué)成績y9095110110125130

（1）經(jīng)過計算，得到學(xué)生的物理學(xué)習(xí)成績x與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績），滿足回歸方程y=15計江若

某位學(xué)生的物理成績?yōu)?5分，請預(yù)測他的數(shù)學(xué)成績;

（2）若要從抽取的這6名學(xué)生中隨機選出3名學(xué)生參加一項問卷調(diào)查，求至少有兩名學(xué)

生數(shù)學(xué)成績不低于100分的概率.

【考點】線性回歸方程；列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算.

【答案】（1）約為138.5分；

、4

（2）

5

【分析】（1）根據(jù)題意求出工，歹，代入回歸方程求出，〃的值，進(jìn)而進(jìn)行預(yù)測即可；

（2）利用古典概型的概率公式求解.

【解答】解：（1）由題意可知，物理成績的平均數(shù)有=63+68+74176+85+90=73數(shù)

90+95+110+110+125+130

學(xué)成績的平均數(shù)歹=6=110,

把點(76,110)代入y=1.5x+/〃,

解得m=-4,

所以回歸方程y=1.5A-4,

若某位學(xué)生的物理成績?yōu)?5分，則預(yù)測他的數(shù)學(xué)成績約為1.5X95-4=138.5分；

（2）由題意可知，這6名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績低于100分的由2人，記為A,B,數(shù)學(xué)成績

不低于100分的有4人，記為a,b,c,d,

從這6名學(xué)生中隨機選出3名學(xué)生，樣本空間。=｛八弗，ABb,ABc,ABd,Aab,Aac,

Aad,Ahc,Abd,Acd,Bab,Bac,Bad,Bbc,Bhd,Bed,abc,abd,acd,bed）,共有

20個樣本點，

設(shè)事件A表示“至少有兩名學(xué)生數(shù)學(xué)成績不低于100分”，

則從={/\。6,Aac,Aad,Abe,Abd,Acd,Bab,Bae,Bad,Bbc,Bbd,Bed,abe,abd,

acd,bed},共16個樣本點，

所以P⑷

【點評】本題主要考查了線性回歸方程的求解，考查了古典概型的概率公式，屬于中檔

題.

19.（12分）（2024?涼山州模擬）如圖，在四棱錐P-/WCO中，底面/WCO為正方形，PD

1AD,平面附OJL平面ABCD,PD=AD=2fE是PC的中點，作EFLPB交PB于F.

（1）求證：-〃平面BDE；

（2）求三棱錐A-FCD的體積.

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【答案】（1）證明見解答；（2）3

9

【分析】（1）設(shè)4CQ3O=。，連接E。，則易得七。〃%,再根據(jù)線面平行的判定定理，

即可證明；

（2）先證明PZXL平面A8CD,再證明BC_LPC,再求出產(chǎn)的位置，最后利用錐體的體

積公式，即可求解.

【解答】解：（1）證明：如圖，設(shè)ACn8O=O,連接￡O,

,?,底面A8CO為正方形，為AC的中點，又￡是尸C的中點，

，石?！ū?，又小仁平面BOE,EOu平面8。七，

?,?剛〃平面BDE；

(2)???平面％。_L平面ABC。，PD1AD,且平面用0n平面ABCO=AO,

：,PD15^ABCD,XABCD,

:.BCLPD,又BCLCD,PDCCD=D,

???8C_L平面PCD,乂PCu平面PCD,

ABC1PC,又易知8c=2,PC=2V2,：.PB=273,PE=^2,

???cosZBPC=篇=卷，,PF=PEcosZBPC=&x*=竽，

i?

:?PF=3PB,:?FB=/B,

2

???F到平面ABCD的距離等于P到平面ABCD的距離的1倍，

112R

:.三棱錐A-FCD的體積為：Ut-FCD=VF-ACD=方xGx2x2)xGx2)=5.

【點評】本題考查線面平行的證明，三棱錐的體積的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

20.(12分)(2024?涼山州模擬)已知點P(l,當(dāng)在橢圓C：捻+苴=l(a>b>0)上，且C

離心率為右

(1)求橢圓C的方程：

(2)設(shè)點A60),(r>-i),尸是C的左焦點，以應(yīng)為直徑的圓與橢圓。在x軸上

方交于M,N兩點，求今(|FM|+|尸N|)的值.

【考點】直線與橢圓的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【專題】計算題；方程思想：綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程：數(shù)學(xué)運算.

42y2

【答案】⑴二+—=1;

43

(2)2.

【分析】(1)根據(jù)已知可得a,4c的方程組，求解即可；

(2)求出圓的方程，與橢圓方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，由兩點間的距離公式表示

出尸M，尸川，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系計算即可得解.

【解答】解：(1)由題意得|次+'?=1

1

2

又<?=/-序，解得Q=2,b=V3,

久？y2

.,.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為丁+77=1.

43

(2)VA(r,0),Fi(-1,0),

???以FA為直徑的圓的方程為Q-亨尸+y2=紿E,

即f+)??(t-1)x-;=0,

X2+y2-(t-l)x-t=0

設(shè)M(XI,yi),N(A'2,”)，則由x2y2,

T+T=1

得：?-4(/-I)A-4/+12=0,

A=16(…l)2-4(-4t+12)>0

Xi+x2=4(t—1)?

必=-4c+12

又|FM|=V(x1+l)2+y2=J(X]+1)2+3(1-苧)

=J?+2%1+4=IIM+4|+4),

同理得|FN|=卜孫+4)，

111

工由(|FM|+|FN|)=玄+々)+司=訴[4(-1)+引=2.

【點評】本題主要考查橢圓的方程，直線與橢圓的綜合，考查運算求解能力，屬于中檔

題.

21.(125))(2024?涼山州模擬〉已知函數(shù)/(3=x-siiu.

(1)求證：函數(shù)-在R上是增函數(shù)；

(2)&g(x)=x—^sinx-Inx,若g(x\)=g(%2)(xiWr),證明：yfx^x^<2.

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】對應(yīng)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】(1)證明見解析；

（2）證明見解析.

【分析】（1）求導(dǎo)得/（X）=1-COSA》。恒成立即可;

（2）由g（xi）=g（刀）得:比小-2nxi=（必一不）-5（sin%2由（1）可知

函數(shù)/(x)=x-sinx在(0,+x)上是增函數(shù)，不妨設(shè)r>xi>0,則4-sinx2>xi-siiui,

則可證言惠c然后利用函數(shù)知識證明辭惠>>/xlx2t即可得證.

【解答】證明：（1）/（X）=1-COSA-,

由三角函數(shù)的知識得/（x）=1?cosx2。恒成立,

所以函數(shù)/G）在R上是增函數(shù);

（2）由g（xi）=g（J2）得仇X2一仇=（M-必）一*。山外一sin%］）,

由（1）知，函數(shù)=x-simr在（0,+x）上是增函數(shù),

不妨設(shè)r2>xi>0,則r2-sinr2>ri-sinxi.

所以%2—>sinx2—sinx1,即/(x?-x1)>i(sinx2—sinxj),

—

即(“2一%i)\(sinx2-sinxA')>^(x2—修)，

即lnx2—lnx1>^(x2-x,),

%2一41

所以<2,

lnx2-lnx1

卜面證明：福二西》“，

即證:22>lnx2—Inx.,

包一1

即證笠=>加三，令［=殍,賺

佟Xi"1

即證t￡1>2lnt(t>l'h

/.2_1

2

則?'(￡)=-(*')<0在(1,+°°)上恒成立,

（P（/）<（p（I）=0,命題得證.

【點評】本題考查了了數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題.

（二）選考題:共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題

計分。［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程1

_2-2t2

%-1+產(chǎn)

22.（10分）（2024?涼山州模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為

2t

（/為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點。為極點、x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線外的極坐標(biāo)

方程為pcos（6一左）-4a=0.

（1）求曲線。的普通方程與直線/I的直角坐標(biāo)方程；

（2）若與直線人垂直的直線/2交曲線。于A,3兩點，求|A陰的最大值.

【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程.

【專題】方程思想；綜合法；坐標(biāo)系和參數(shù)方程；數(shù)學(xué)運算.

x2

【答案】（1）曲線。的普通方程為一+y2=1Q工一2）；直線/1的坐標(biāo)方程為x+y-8

4

=0；

（2）\AB\max=^.

【分析】（1）根據(jù)參數(shù)方程，普通方程以及極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化關(guān)系求解即可；

（2）設(shè)/2的方程為），=x+〃?，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長公式求解即可.

二2一2彳

（“一可/，（/為參數(shù)），

消去參數(shù)t,轉(zhuǎn)換為普通方程為一+/=IQH-2）；

4

直線/|的極坐標(biāo)方程為pcos（?！?）—4\/2=0,即一pcos3+—psinO-4V2=0,

22

轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x+y-8=0；

（2）???直線/1與直線/2垂直,

；?可以設(shè)直線/2的方程為y=x+/〃，A（xi,y\）B（x2,y2）,

聯(lián)立直線/2與曲線C的方程化簡得5『+8〃?x+4〃?”-4-0,

???直線/2交曲線C于4,B兩點,

即64〃?2-20（4〃?2-4）>0,即一75Vm

\X1+X2=--g-

4m2.4，

（5/2=-5—

/.\AB\-&J（%]+&）2_4%]%2-y/-m24-5,

???當(dāng)機=0時，|4?|max=生蕓.

【點評】本題考查參數(shù)方程，普通方程以及極坐標(biāo)方程的互化，考杳直線與橢圓的位置

關(guān)系，考查運算求解能力，屬于中檔題.

［選修4?5：不等式選講1

23.(2024?涼山州模擬)已知函數(shù)fCO=M.

(1)求不等式W1的解集；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)-/(x-I)的最小值為m,且正數(shù)a,h,c滿足a+h+c+2m

=0,求J+2b2+J最小值.

【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義；絕對值不等