統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學(xué)二輪專題闖關(guān)導(dǎo)練四熱點(diǎn)問題專練熱點(diǎn)十一離心率文含解析

PAGE熱點(diǎn)(十一)離心率1．(橢圓離心率)若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)2．(雙曲線離心率)已知實(shí)數(shù)4，m,9構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則圓錐曲線eq\f(x2,m)＋y2＝1的離心率為()A.eq\f(\r(30),6)B.eq\r(7)C.eq\f(\r(30),6)或eq\r(7)D.eq\f(5,6)或eq\r(7)3．(雙曲線漸近線)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(3)，則其漸近線方程為()A．y＝±eq\r(2)xB．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)xD．y＝±eq\f(\r(3),2)x4．[2024·全國卷Ⅰ](橢圓離心率)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，則C的離心率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(2\r(2),3)5．[2024·長(zhǎng)沙市模擬考試](雙曲線離心率)若雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)A到一條漸近線的距離為eq\f(2\r(2),3)a，則雙曲線的離心率為()A.eq\f(2\r(2),3)B.eq\f(1,3)C．3D．2eq\r(2)6．(橢圓離心率)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為()A.eq\f(\r(6),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3)D.eq\f(1,3)7．[2024·石家莊市摸底考試](雙曲線離心率)設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩條漸近線的夾角為α，且cosα＝eq\f(1,3)，則C的離心率為()A.eq\f(\r(5),2)B.eq\f(\r(6),2)C.eq\f(\r(7),2)D．28．[2024·洛陽市尖子生第一次聯(lián)考](雙曲線離心率)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線上一點(diǎn)，且|PF1|＝2|PF2|，若sin∠F1PF2＝eq\f(\r(15),4)，則該雙曲線的離心率等于()A.eq\r(6)B．2C.eq\r(6)或2D.eq\r(3)＋1或eq\r(6)9．[2024·長(zhǎng)沙市模擬考試](橢圓離心率)設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)E(0，t)，(0<t<b)，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在橢圓上，且點(diǎn)P，E，F(xiàn)2不共線，若△PEF2的周長(zhǎng)的最小值為3b，則橢圓C的離心率為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(5),3)10．[2024·濟(jì)南市高考模擬試題](雙曲線離心率)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F1作一條漸近線的垂線，垂足為M，延長(zhǎng)F1M與雙曲線的右支相交于點(diǎn)N，若eq\o(MN,\s\up6(→))＝3eq\o(F1M,\s\up6(→))，則此雙曲線的離心率為()A.eq\f(\r(13),2)B.eq\f(5,3)C.eq\f(4,3)D.eq\f(2\r(6),3)11．[2024·湖南省長(zhǎng)沙市高三調(diào)研試題](雙曲線離心率取值范圍)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為F，過原點(diǎn)的直線l與雙曲線左、右兩支分別交于點(diǎn)P，Q，且滿意|QF|－|PF|＝8，虛軸的上端點(diǎn)B在圓x2＋(y－3)2＝1內(nèi)，則該雙曲線離心率的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)＋1,2)，2))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)＋1,2)，2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\r(2)))D．(eq\r(2)，eq\r(3))12．[2024·山東菏澤模擬](綜合運(yùn)用)若點(diǎn)P為共焦點(diǎn)的橢圓C1和雙曲線C2的一個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是它們的左、右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓離心率為e1，雙曲線離心率為e2.若eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，則eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝()A．1B．2C．3D．413．(雙曲線方程)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為M，離心率為eq\r(3)，過點(diǎn)M與點(diǎn)(0，－2)的直線與雙曲線的一條漸近線平行，則雙曲線的方程為________．14．(橢圓離心率)過點(diǎn)M(1,1)，斜率為－eq\f(1,3)的直線l與橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為________．15．(橢圓離心率范圍)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上存在一點(diǎn)P，使得∠F1PF2＝90°，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍為________．16．[2024·廣東惠州二調(diào)](橢圓、雙曲線離心率綜合)我們把焦點(diǎn)相同，離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對(duì)“相關(guān)曲線”．已知F1，F(xiàn)2分別是一對(duì)“相關(guān)曲線”的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2＝60°時(shí)，這一對(duì)“相關(guān)曲線”中雙曲線的離心率是________．熱點(diǎn)(十一)離心率1．答案：B解析：由題意得2b＝a＋c，所以4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac,3a2－2ac－5c2＝0，兩邊同除以a2得到3－2e－5e2＝0，因?yàn)?<e<1，所以e＝eq\f(3,5)2．答案：C解析：由已知得m＝±6，當(dāng)m＝6時(shí)，圓錐曲線是橢圓，a＝eq\r(6)，b＝1，c＝eq\r(5)，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(30),6)；當(dāng)m＝－6時(shí)，圓錐曲線是雙曲線，a＝1，b＝eq\r(6)，c＝eq\r(7)，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(7)，故選C.3．答案：A解析：雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的漸近線方程為bx±ay＝0.又∵離心率eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(3)，∴a2＋b2＝3a2，∴b＝eq\r(2)a.∴漸近線方程為eq\r(2)ax±ay＝0，即y＝±eq\r(2)x.故選A.4．答案：C解析：∵a2＝4＋22＝8，∴a＝2eq\r(2)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,2\r(2))＝eq\f(\r(2),2).故選C.5．答案：C解析：由題意得右頂點(diǎn)A(a,0)，漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，所以點(diǎn)A到一條漸近線的距離d＝eq\f(ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(ab,c)＝eq\f(2\r(2),3)a，所以eq\f(b,c)＝eq\f(2\r(2),3)，所以eq\f(b2,c2)＝eq\f(c2－a2,c2)＝1－eq\f(a2,c2)＝eq\f(8,9)，得eq\f(c2,a2)＝9，所以e＝eq\f(c,a)＝3，故選C.6．答案：A解析：由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑為a又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切，∴圓心到直線的距離d＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq\r(3)b，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3))，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))2)＝eq\f(\r(6),3).故選A.7．答案：B解析：∵a>b>0，∴漸近線y＝eq\f(b,a)x的斜率小于1，∵兩條漸近線的夾角為α，且cosα＝eq\f(1,3)，∴cos2eq\f(α,2)＝eq\f(2,3)，sin2eq\f(α,2)＝eq\f(1,3)，tan2eq\f(α,2)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(c2－a2,a2)＝eq\f(1,2)，∴e2＝eq\f(3,2)，e＝eq\f(\r(6),2).故選B.8．答案：C解析：∵P為雙曲線上一點(diǎn)，且|PF1|＝2|PF2|，∴由雙曲線的定義|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.在△PF1F2中，|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，∵sin∠F1PF2＝∴cos∠F1PF2＝±eq\f(1,4).當(dāng)cos∠F1PF2＝eq\f(1,4)時(shí)，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，即4c2＝16a2，∴e＝2；當(dāng)cos∠F1PF2＝－eq\f(1,4)時(shí)，得4c2＝24a2，∴e＝eq\r(6).綜上可知e＝2或e＝eq\r(6)，故選C.9．答案：D解析：如圖，連接PF1，EF1，則|EF1|＝|EF2|.由橢圓的定義知|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a－|PF1|.△PEF2的周長(zhǎng)為|PE|＋|PF2|＋|EF2|＝|PE|＋2a－|PF1|＋|EF2|＝2a＋|EF2|＋|PE|－|PF1|≥2a＋|EF2|－|EF1∴橢圓C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1－\f(4,9))＝eq\f(\r(5),3)，故選D.10．答案：B解析：不妨設(shè)一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，則過F1且與此漸近線垂直的直線方程為y＝－eq\f(a,b)(x＋c)，與y＝eq\f(b,a)x聯(lián)立解得x＝－eq\f(a2c,a2＋b2)＝－eq\f(a2,c)，y＝－eq\f(ab,c)，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a2,c)，－\f(ab,c))).由eq\o(MN,\s\up6(→))＝3eq\o(F1M,\s\up6(→))，得eq\o(F1N,\s\up6(→))＝4eq\o(F1M,\s\up6(→))，設(shè)N(m，n)，由F1(－c,0)，得(m＋c，n)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a2,c)＋c，－\f(ab,c)))，所以m＝－eq\f(4a2,c)＋3c，n＝－eq\f(4ab,c)，代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，得eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4a2,c)＋3c))2,a2)－eq\f(16a2,c2)＝1，即c2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4a2,c)＋3c))2－16a4＝a2c2，整理得9c4＝25a2c2，即3c＝5a，所以e＝eq\f(5,3).故選B.11．答案：C解析：設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為F′，連接PF′，QF′，如圖所示．由對(duì)稱性可知，P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則|OP|＝|OQ|.又|OF′|＝|OF|，所以四邊形PFQF′為平行四邊形，所以|PF|＝|QF′|，則|QF|－|PF|＝|QF|－|QF′|＝2a＝8，所以a＝4.因?yàn)樘撦S的上端點(diǎn)B(0，b)在圓x2＋(y－3)2＝1內(nèi)，所以02＋(b－3)2<1，解得2<b<4，則2<eq\r(c2－a2)<4，即2<eq\r(c2－16)<4，得2eq\r(5)<c<4eq\r(2)，所以e＝eq\f(c,a)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\r(2)))，故選C.12．答案：B解析：設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，雙曲線方程為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，其中兩焦點(diǎn)距離為2c.不妨令P在第一象限，由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝2a，,|PF1|－|PF2|＝2m，))∴|PF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m，又eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴2(a2＋m2)＝4c∴eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝eq\f(a2＋m2,c2)＝2，故選B.13．答案：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝1解析：由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，a2＋b2＝c2得b＝eq\r(2)a，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(2)x，由eq\f(0－－2,a－0)＝eq\r(2)得a＝eq\r(2)，所以b＝2，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝1.14．答案：eq\f(\r(6),3)解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2x\o\al(2,1)＋a2y\o\al(2,1)＝a2b2，,b2x\o\al(2,2)＋a2y\o\al(2,2)＝a2b2，))∴b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴2b2(x1－x2)＋2a2(y1－y2∴b2(x1－x2)＝－a2(y1－y2)，∴eq\f(b2,a2)＝－eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(1,3)，∴a2＝3b2，∴a2＝3(a2－c2)，∴2a2＝