2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章隨機變量及其分布2.1.1離散型隨機變量學(xué)案含解析新人教A版選修2-31

PAGE其次章隨機變量及其分布2024年射箭世錦賽在荷蘭赫托根博什實行，一次射箭勝利擊中十環(huán)的可能性原委有多大？你買過福利彩票嗎，七樂彩30個號碼選7個，7個全中的機會有多大？在我們的四周現(xiàn)實世界中存在著大量的隨機現(xiàn)象，隨機現(xiàn)象的不確定性和大量重復(fù)試驗中的統(tǒng)計規(guī)律性就是本章我們重點學(xué)習(xí)的內(nèi)容．學(xué)習(xí)本章要留意體會隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性和隨機模擬思想，體會概率模型的作用和概率思想的基本特征．2.1離散型隨機變量及其分布列2.1.1離散型隨機變量自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入在2024年射擊世界杯北京站射擊競賽中，統(tǒng)計某運動員的射擊結(jié)果知，該運動員射擊所中環(huán)數(shù)均在7環(huán)(含7環(huán))以上，已知該運動員射擊一次命中7環(huán)的概率為0.1，射擊一次命中7環(huán)，8環(huán)，9環(huán)，10環(huán)的概率依次成等差數(shù)列．你知道該運動員射擊命中環(huán)數(shù)的概率分布狀況嗎？新知導(dǎo)學(xué)1．一個試驗假如滿意下列條件：(1)試驗可以在相同的情形下__重復(fù)__進行；(2)試驗的全部可能結(jié)果是__明確可知__的，并且不只一個；(3)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的__一個__，但在一次試驗之前卻不能確定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果．這種試驗就是一個隨機試驗，為了便利起見，也簡稱試驗．2．隨著__試驗結(jié)果__改變而改變的變量稱為隨機變量，隨機變量常用字母X、Y、ξ、η等表示．3．__全部取值可以一一列出__的隨機變量，稱為離散型隨機變量．預(yù)習(xí)自測1．袋中有大小相同的紅球6個，白球5個，從袋中每次隨意取出一個球，直到取出的球是白色為止，所須要的取球次數(shù)為隨機變量X，則X的可能取值為(B)A．1,2，…，6 B．1,2，…，7C．1,2，…，11 D．1,2,3…[解析]依題意知最多取7次確定能取到白球，故選B．2．下列隨機變量中，不是離散型隨機變量的是(B)A．某無線尋呼臺1分鐘內(nèi)接到的尋呼次數(shù)XB．某水位監(jiān)測站所測水位在(0,18]這一范圍內(nèi)改變，該水位監(jiān)測站所測水位HC．從裝有1紅、3黃共4個球的口袋中，取出2個球，其中黃球的個數(shù)ξD．將一個骰子擲3次，3次出現(xiàn)的點數(shù)和X[解析]水位在(0,18]內(nèi)改變，不能一一列出，故不是離散型隨機變量，故選B．3．在一次競賽中，需回答三個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得2分，回答不正確倒扣1分，記選手甲回答這三個問題的總得分為ξ，則ξ的全部可能取值構(gòu)成的集合是__{6,3,0，－3}__．[解析]三個問題回答完，其回答可能結(jié)果有：三個全對，兩對一錯，兩錯一對，三個全錯，故得分可能狀況是6分，3分，0分，－3分，∴ξ的全部可能取值構(gòu)成的集合為{6,3,0，－3}．4．某次產(chǎn)品的檢驗，在含有5件次品的100件產(chǎn)品中隨意抽取5件，設(shè)其中含有次品的件數(shù)為X，求X的可能取值及其意義．[解析]含有次品件數(shù)是0件、1件、2件、3件、4件、5件．所以X的取值范圍為{0,1,2,3,4,5}．X＝0表示抽取的5件產(chǎn)品中含有0件次品，X＝1表示抽取的5件產(chǎn)品中含有1件次品，X＝2表示抽取的5件產(chǎn)品中含有2件次品，X＝3表示抽取的5件產(chǎn)品中含有3件次品，X＝4表示抽取的5件產(chǎn)品中含有4件次品，X＝5表示抽取的5件產(chǎn)品中含有5件次品．互動探究·攻重難互動探究解疑命題方向?隨機變量的概念典例1下列變量中，哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量？并說明理由．(1)某機場一年中每天運輸乘客的數(shù)量．(2)某單位辦公室一天中接到電話的次數(shù)．(3)明年5月1日到10月1日期間所查酒駕的人數(shù)．(4)明年某天濟南—青島的某次列車到達青島站的時間．[解析](1)某機場一年中每天運輸乘客的數(shù)量可能為0,1,2，3，…，是隨機改變的，因此是隨機變量．(2)某單位辦公室一天中接到電話的次數(shù)可能為0,1,2,3，…，是隨機改變的，因此是隨機變量．(3)明年5月1日到10月1日期間，所查酒駕的人數(shù)可能為0,1,2,3，…，是隨機改變的，因此是隨機變量．(4)濟南—青島的某次列車到達青島站的時間每次都是隨機的，可能提前，可能準時，亦可能晚點，故是隨機變量．『規(guī)律總結(jié)』(1)隨機試驗的結(jié)果是否具有可變性，即每次試驗對應(yīng)的結(jié)果不盡相同．(2)隨機試驗的結(jié)果的確定性，即每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能確定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果．假如一個隨機試驗的結(jié)果對應(yīng)的變量具有以上兩點，則該變量即為隨機變量．┃┃跟蹤練習(xí)1__■指出哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量，并說明理由．(1)某人射擊一次命中的環(huán)數(shù)；(2)隨意擲一枚勻稱硬幣5次，出現(xiàn)正面對上的次數(shù)；(3)擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)；(4)某個人的屬相隨年齡的改變．[解析](1)某人射擊一次，可能命中的全部環(huán)數(shù)是0,1，…，10，而且出現(xiàn)哪一個結(jié)果是隨機的，因此命中的環(huán)數(shù)是隨機變量．(2)隨意擲一枚硬幣1次，可能出現(xiàn)正面對上也可能出現(xiàn)反面對上，因此擲5次硬幣，出現(xiàn)正面對上的次數(shù)可能是0,1,2,3,4,5，而且出現(xiàn)哪種結(jié)果是隨機的，因此出現(xiàn)正面對上的次數(shù)是隨機變量．(3)擲一枚骰子，出現(xiàn)的結(jié)果是1點，2點，3點，4點，5點，6點中的一個且出現(xiàn)哪一個結(jié)果是隨機的，因此出現(xiàn)的點數(shù)是隨機變量．(4)一個人的屬相在他誕生時就確定了，不隨年齡的改變而改變，因此屬相不是隨機變量．命題方向?隨機變量的判定典例2(2024·山東泰安第一中學(xué)檢測)有以下隨機試驗：①某路口一天內(nèi)經(jīng)過的機動車的輛數(shù)為X；②一天內(nèi)的溫度為X；③某單位的某部電話在單位時間內(nèi)被呼叫的次數(shù)為X；④某籃球運動員在一次訓(xùn)練中，投中球的個數(shù)為X.上述問題中的X是離散型隨機變量的是(C)A．①②③④ B．②③④C．①③④ D．①②④[思路分析]推斷一個變量是否為離散型隨機變量，關(guān)鍵是看它的取值能否一一列出，若能，則是離散型隨機變量，否則就不是離散型隨機變量．[解析]隨機試驗的結(jié)果可以一一列出的，就是離散型隨機變量．一天內(nèi)的溫度的取值不能一一列出，是連續(xù)型隨機變量．故選C．『規(guī)律總結(jié)』推斷一個變量是否為離散型隨機變量的步驟(1)依據(jù)題意分析變量是否為隨機變量．(2)求隨機變量的值域．(3)推斷變量的取值能否按確定依次列舉出來，若能，則是離散型隨機變量．┃┃跟蹤練習(xí)2__■指出下列隨機變量是否是離散型隨機變量，并說明理由．(1)小明回答20道選擇題，答對的題數(shù)；(2)某超市5月份每天的銷售額；(3)某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差X；(4)武漢市長江水位監(jiān)測站所測水位在(0,29]這一范圍內(nèi)改變，該水位站所測水位X．[解析](1)小明回答的題數(shù)X的取值可以一一列出，故X為離散型隨機變量．(2)某超市5月份每天銷售額可以一一列出，故為離散型隨機變量．(3)實際測量值與規(guī)定值之間的差值無法一一列出，不是離散型隨機變量．(4)不是離散型隨機變量，水位在(0,29]這一范圍內(nèi)改變，不能按次序一一列舉．學(xué)科核心素養(yǎng)離散型隨機變量的取值典例3寫出下列各隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結(jié)果：(1)在2024年北京高校的自主招生中，參與面試的5名考生中，通過面試的考生人數(shù)X；(2)一個袋中裝有5個同樣的球，編號分別為1,2,3,4,5.現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機取出3個球，被取出的球的最大號碼數(shù)X．[思路分析]明確隨機變量X的意義，寫出X的全部可能取值及每個值對應(yīng)的試驗結(jié)果．[解析](1)X可能取0,1,2,3,4,5.X＝i表示“面試通過的有i人”，其中i＝0,1,2,3,4,5．(2)X可取3,4,5.X＝3表示“取出的3個球的編號為1,2,3”；X＝4表示“取出的3個球的編號為1,2,4或1,3,4或2,3,4”；X＝5表示“取出的3個球的編號為1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5”．『規(guī)律總結(jié)』因為隨機變量的取值描述了隨機試驗的結(jié)果，因此要精確寫出隨機變量的全部取值，就必需弄清晰全部試驗的結(jié)果．還要留意一個隨機變量的取值可能對應(yīng)一個和多個隨機試驗的結(jié)果，因此在解決這類問題時不能漏掉某些試驗結(jié)果．┃┃跟蹤練習(xí)3__■寫出下列隨機變量ξ的全部可能取值，并說明隨機變量ξ＝4所表示的隨機試驗的結(jié)果．(1)從10張已編號的卡片(編號從1號到10號)中任取2張(一次性取出)，被取出的卡片的較大編號為ξ；(2)某足球隊在點球大戰(zhàn)中5次點球射進的球數(shù)為ξ．[解析](1)ξ的全部可能取值為2,3，4，…，10.其中“ξ＝4”表示的試驗結(jié)果為“取出的兩張卡片中的較大號碼為4”．基本領(lǐng)件有如下三種：取出的兩張卡片編號分別為1和4,2和4或3和4．(2)ξ的全部可能取值為0,1,2,3,4,5.其中“ξ＝4”表示的試驗結(jié)果為“5次點球射進4個球”．易混易錯警示離散型隨機變量的可能取值搞錯致誤典例4小王參與一次競賽，競賽共設(shè)三關(guān)，第一、二關(guān)各有兩個必答題，假如每關(guān)兩個問題都答對，可進入下一關(guān)，第三關(guān)有三個問題，只要答對其中兩個問題，則闖關(guān)勝利．每過一關(guān)可一次性獲得價值分別為1000元，3000元，6000元的獎品(不重復(fù)得獎)用X表示小王所獲獎品的價值，寫出X的全部可能取值．[錯解]X的可能取值為0,1000,3000,6000．X＝0表示一關(guān)沒過；X＝1000表示只過第一關(guān)；X＝3000表示只過其次關(guān)；X＝6000表示只過第三關(guān)．[辨析]①對題目背景理解不精確：競賽設(shè)三關(guān)，前一關(guān)不過是不允許進入下一關(guān)競賽的；②忽視題目中的條件：忽視不重復(fù)得獎，最高獎不會超過6000元．[正解]X的可能取值為0,1000,3000,6000．X＝0表示“第一關(guān)就沒有通過”；X＝1000表示“第一關(guān)通過，而其次關(guān)沒有通過”；X＝3000表示“第一關(guān)通過、其次關(guān)通過而第三關(guān)沒有通過”；X＝6000表示“三關(guān)都通過”．[誤區(qū)警示]理解題目背景，弄清各條件的含義，挖掘出隱含條件，精確寫出隨機變量的全部可能取值是本章學(xué)習(xí)的重要基本功．課堂達標(biāo)·固基礎(chǔ)1．下列變量中，不是隨機變量的是(B)A．一射擊手射擊一次命中的環(huán)數(shù)B．標(biāo)準狀態(tài)下，水沸騰時的溫度C．拋擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和D．某電話總機在時間區(qū)間(0，T)內(nèi)收到的呼叫次數(shù)[解析]標(biāo)準狀態(tài)下，水沸騰時的溫度是一個確定值，而不是隨機變量．故選B．2．若用隨機變量X表示從一個裝有1個白球、3個黑球、2個黃球的袋中取出的4個球中不是黑球的個數(shù)，則X的取值不行能為(A)A．0 B．1C．2 D．3[解析]由于白球和黃球的個數(shù)和為3，所以4個球不是黑球的個數(shù)分別可能是1,2,3，X不行能取0.故選A．3．在考試中，需回答三個問題，考試規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分，則這名同學(xué)回答這三個問題的總得分X的全部可能取值是__300,100，－100，－300__．[解析]可能回答全對，兩對一錯，兩錯一對，全錯四種結(jié)果，相應(yīng)得分為300分，100分，－100分，－300分．4．連綿不斷地射擊某一目標(biāo)，首次擊中目標(biāo)須要的射擊次數(shù)X是一個隨機變量，則X＝4表示的試驗結(jié)果是__前3次未擊中目標(biāo)，第4次擊中目標(biāo)__．[解析]由于隨機變量X表示首次擊中目標(biāo)須要的射擊次數(shù)，所以當(dāng)X＝k時，表示前k－1次均未擊中目標(biāo)，第k次擊